重なった立方体の切り口は?(久留米大学附設中学 2012年)
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下の図のように、1辺の長さが 6cmの立方体の上に、
1辺の長さが 3cmの立方体を置きます。
3点A,B,C を通る平面でこの立体を切ったとき、
次のような立体の体積を求めなさい。
ただし、点A,B,D は頂点、点C は辺の中点で、
点A から点Dまで結ぶ辺は一直線になっています。
(1)小さい方の立方体で、この平面より下側の部分
(2)大きい方の立方体で、この平面より下側の部分
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解法のヒント!
(1)まず、同一平面上にある点A と点B, 点A と点C を
下の図1のように直線で結ぶと、3点A,B,C を通る平面は
図1の点E,F を通ることがわかります。
ここで、点B と点F を結ぶと、
下の図2のように点G を通ることがわかります。
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解法例
すると、求める体積は、図2の三角すい台EGP-AFQ となります。
三角すいB-EGP と 三角すいB-AFQ の相似比が 1:2 なので
2つの三角すいの体積比は、1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8 で、
三角すい台 EGP-AFQ の体積は、三角すいB-EGP の7倍で、
1.5×1.5÷2×3÷3×7=63/8(立法cm)
と求められます。
(2)頂点B から、FC と平行に線を引くと、下の図3のように頂点H で交わります。
求める体積は、
大きい立方体から三角すい台BHR-FCS を除いたものになります。
求め方は(1)と同様にすれば求めることができますが、
また違う方法を考えてみると、三角すい台BHR-FCS が
(1)の三角すい台EGP-AFQ と相似であることに注目して、
相似比が 1:2 より、体積比は、1:8 なので、
三角すい台BHR-FCS の体積は、
63/8 × 8 =63立法cmとなります。
よって、求める体積は、6×6×6 - 63 = 153立法cm です。
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