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食塩水濃度と重さは?(筑波大学附属駒場中学 2014年)

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大きな水槽に、濃度12%の食塩水が1kg入っています。

この水槽に、水と濃度12%の食塩水を、交互に次のように入れていきます。

1回目:水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を2kgにします。

2回目:水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を3kgにします。

以下同様に、

水と食塩水を交互に入れて、水槽の食塩水を1kgずつ増やしていきます。

そして、うすめるために一度に入れる水がちようど1kgになったとき、

その後は、食塩水と水を交互に1kgずつ入れ続けます。

(1)水槽の食塩水が2kgになったとき、濃度は何%ですか。

(2)うすめるために一度に入れる水が、初めてちょうど1kgになったとき、

   その1kgの水を入れて、 水槽の食塩水は何kgになりましたか。

(3)水槽の食塩水の濃度が最も低くなるとき、その濃度は何%ですか。

Ilm05_cb10028s

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(1)濃度を4/5倍にするためには、食塩水の重さを5/4倍にすればいいので、

加えた水の量は、1/4kgです。

以下、水と12%の食塩水の重さを考えます。

          水          12%の食塩水

最初                      1kg

1回目     1/4kg          3/4kg        =2kg

2回目     2/4kg          2/4kg        =3kg

3回目     3/4kg          1/4kg        =4kg

4回目     4/4kg                       =5kg

2kgのとき、水:12%の食塩水=1/4:(1+3/4)=1:7

12%×7/8=10.5%

(2)4回目に水を1kg入れて、食塩水は5kgになりました。

(3)水を1kg入れた時点で、

水:12%の食塩水=(1/4+2/4+3/4+4/4):(1+3/4+2/4+1/4)

=10/4:10/4=10:10=1:1

水と12%の食塩水は1:1、つまり、2.5kgずつなので、

濃度は12×1/2=6% です。

次からは、12%の食塩水1kgと水1kgが繰り返されるので、

6%の食塩水2kgが入れ続けられる、と考えれば、

最低濃度は、6%です。

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