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不思議な休憩室

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時計算の難問!(開成中学 2014年)

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ある世界では、1日が10時間(午前5時間、午後5時間)、

1時間が25分、1分が25秒に区切られていて、

下の図のような時計を用いて時間を計っています。

現在の時間は午後2時5分0秒で、

時計の短針(黒)、長針(白)、秒針は正しい時刻を指しています。

この時計はこれからも正確に動くものとして、次の問に答えなさい。

 Pic_3693q

(1)これから時間が進んで最初に短針と長針が重なる時刻を求め、

そのときの時計の3本の針を図に表しなさい。

(2)さらに時間が進んで

最初に短針と長針がちょうど反対向きになる時刻を求め、

そのときの時計の3本の針を図に表しなさい。

(3)現在(午後2時5分0秒)から、

3本の針がすべて同じ向きになって重なる回数を数えます。

ちょうど100回目となるのは何日後で、

午前、午後のどちらの何時何分何秒ですか。

ただし、現在から2時間20分後の午前0時から1日後が始まるものとします。

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解法例

 

(1)秒針は1秒で、360÷25=14.4度 進みます。

 

長針は、1分で、14.4度 進みます。

 

短針は、1時間で、360÷5=72度進み、1分で、72÷25=2.88度進みます。

 

まず、長針と短針が重なる時刻を求め、そのときに秒針が重なるかどうかで判断します。

 

2時の時点で、長針と短針は、144度はなれているので、重なるのは、

 

  144÷(14.4-2.88)

 

=144÷11.52

 

=12.5分後

 

です。

 

長針の位置は、12.5×14.4=180度 のところで、

 

  12.5分=12分12.5秒後(この世界では)

 

なので、秒針の位置も同じとなります。

 

 

 

よって、長針、短針、秒針が重なるのは、

 

午後2時12分12.5秒 で、下の図1のようになります。

 

 Pic_3694a

 

 (2)図1の状態から、長針と短針の作る角度が180度に

 

なる時刻を求めると、

 

  180÷(14.4-2.88)=15と5/8分後

 

とわかります。

 

 

 

12.5+15と5/8=28と1/8 より、2時28分と1/8分で、

 

1時間が25分なので、3時3分と1/8分。

 

1/8分=25×1/8=3と1/8秒 なので、長針と短針が

 

反対向きになるのは、午後3時3分3と1/8秒です。

 

また、秒針と分針が重なることがわかります。

 

 

 

3時3分3と1/8秒を図に表すと、下の図2のようになります。

 

 Pic_3695a

 

 (3)(2)より、長針が短針と180度はなれるとき、

 

長針と秒針が重なることがわかります。

 

 

 

つまり、この後、長針と短針が重なるとき、必ず秒針も重なる

 

ということになります。

 

 

 

(2)より、長針と短針が重なるのは、

 

   15と5/8 ×2 = 31と1/4分ごと

 

とわかります。

 

 

 

午後2時12分12.5秒を1回目として、3本の針が100回目に

 

重なるのは、

 

  31と1/4 × 99 =125×99/4=12375/4

 

 =3093と3/4分後

 

  3/4分=25×3/4=18と3/4秒

 

  3093分=3093÷25=123時間18分

 

  123時間=123÷10=12日と3時間

 

より、12日と3時間18分18と3/4秒後 が100回目で、

 

      午後2時12分12と1/2秒 の

 

  12日と3時間18分18と3/4秒後は、

 

  12日と午後5時30分31と1/4秒後で、

 

  13日後の午前1時6分6と1/4秒

 

です。

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