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ある世界では、１日が１０時間（午前５時間、午後５時間）、
１時間が２５分、１分が２５秒に区切られていて、
下の図のような時計を用いて時間を計っています。
現在の時間は午後２時５分０秒で、
時計の短針（黒）、長針（白）、秒針は正しい時刻を指しています。
この時計はこれからも正確に動くものとして、次の問に答えなさい。
（１）これから時間が進んで最初に短針と長針が重なる時刻を求め、
そのときの時計の３本の針を図に表しなさい。
（２）さらに時間が進んで
最初に短針と長針がちょうど反対向きになる時刻を求め、
そのときの時計の３本の針を図に表しなさい。
（３）現在（午後２時５分０秒）から、
３本の針がすべて同じ向きになって重なる回数を数えます。
ちょうど１００回目となるのは何日後で、
午前、午後のどちらの何時何分何秒ですか。
ただし、現在から２時間２０分後の午前０時から１日後が始まるものとします。
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解法例
（１）秒針は１秒で、３６０÷２５＝１４．４度 進みます。
長針は、１分で、１４．４度 進みます。
短針は、１時間で、３６０÷５＝７２度進み、１分で、７２÷２５＝２．８８度進みます。
まず、長針と短針が重なる時刻を求め、そのときに秒針が重なるかどうかで判断します。
２時の時点で、長針と短針は、１４４度はなれているので、重なるのは、
１４４÷（１４．４－２．８８）
＝１４４÷１１．５２
＝１２．５分後
です。
長針の位置は、１２．５×１４．４＝１８０度 のところで、
１２．５分＝１２分１２．５秒後（この世界では）
なので、秒針の位置も同じとなります。
よって、長針、短針、秒針が重なるのは、
午後２時１２分１２．５秒 で、下の図１のようになります。
（２）図１の状態から、長針と短針の作る角度が１８０度に
なる時刻を求めると、
１８０÷（１４．４－２．８８）＝１５と５/８分後
とわかります。
１２．５＋１５と５/８＝２８と１/８ より、２時２８分と１/８分で、
１時間が２５分なので、３時３分と１/８分。
１/８分＝２５×１/８＝３と１/８秒 なので、長針と短針が
反対向きになるのは、午後３時３分３と１/８秒です。
また、秒針と分針が重なることがわかります。
３時３分３と１/８秒を図に表すと、下の図２のようになります。
（３）（２）より、長針が短針と１８０度はなれるとき、
長針と秒針が重なることがわかります。
つまり、この後、長針と短針が重なるとき、必ず秒針も重なる
ということになります。
（２）より、長針と短針が重なるのは、
１５と５/８ ×２ ＝ ３１と１/４分ごと
とわかります。
午後２時１２分１２．５秒を１回目として、３本の針が１００回目に
重なるのは、
３１と１/４ × ９９ ＝１２５×９９/４＝１２３７５/４
＝３０９３と３/４分後
３/４分＝２５×３/４＝１８と３/４秒
３０９３分＝３０９３÷２５＝１２３時間１８分
１２３時間＝１２３÷１０＝１２日と３時間
より、１２日と３時間１８分１８と３/４秒後 が１００回目で、
午後２時１２分１２と１/２秒 の
１２日と３時間１８分１８と３/４秒後は、
１２日と午後５時３０分３１と１/４秒後で、
１３日後の午前１時６分６と１/４秒
です。
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