ゲームをしたのは何回？（今年 ２０１９年 桜蔭 中学）

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３人の中から１人の勝者が決まるゲームのトーナ メントを考えます。

ゲームは必ず３人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに１から 順に番号をふります。

番号の小さい順に３人ずつ 組み、 １回戦を行います。

３人の組にならない子どもは２人以下とし、そのまま２回戦に進みます。

２回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、１番から １１番の参加者 １１人でトーナメントをするとき、

図１のように１回戦はａ、ｂ、ｃの３回ゲームを行い、

１０ 番と１１番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあと ｄ、ｅの２回ゲームを行うと 優勝者が１人決まります。

図１

（１）１番から８１番の参加者 ８１人で１回戦を図２のように行うと、

優勝者が１人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか？

図２

（２） １番から２３５番の参加者２３５人でトーナメントを行うと、

優勝者が１人決まるまでに 合計何回のゲームが行われますか？

（３）優勝者が１人決まるまでに合計 ２４　回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は 図３のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか？

図３

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解法例

（１）

８１÷３＝２７

２７÷３＝９

９÷３＝３

３÷３＝１

２７＋９＋３＋１＝４０回

（２）

２３５÷３＝７８・・・・・１

（７８＋１）÷３＝２６・・・・・１

（２６＋１）÷３＝９

９÷３＝３

３÷３＝１

７８＋２６＋９＋３＋１＝１１７回

（３）

逆に考えていきます。

（２＋１）÷３＝１

７÷３＝２・・・・・１

この７が１＋６か２＋５なのか調べます。

１＋６の場合、

（６＋１）÷３＝２・・・・・１

その前は、

（　　　）÷３＝６・・・・・１　なので、

（　　）＝１９

１９＝１８＋１　か　１７＋２　となって、

いずれの場合も２４ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

（５＋２）÷３＝２・・・・・１　なので、

その前は、

（　　）÷３＝５・・・・・２　より

（　　）＝１７

１７＝１６＋１　か　１５＋２　ですが、

２４ゲームになるのは、１６＋１なので、

（１６＋１）÷３＝５・・・・・２

その前は、

（　　）÷３＝１６・・・・・１　より、

（　　）＝４９人

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