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空いている面に入る数字は?(栄光学園中学 2017年)

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図1は、あるサイコロを2方向から見た図です。

このサイコロの展開図が図2です。

図2の空いている面に入る数字を、向きも考えて書き入れてください。

なお、サイコロの向かい合う面の数の和は7です。

3031_2



3032

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11gif

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進み方は何通り?(海陽中等教育学校 2014年)

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Pic_4069q

上の図1のように正方形のマス目がたくさん並んでいます。 

左下のマス目から出発して、上下左右のマス目に1マスずつ移動していきます。

移動したマス目はぬりつぶし、一度通ったマス目は通らないことにします。 

たとえば、右→上と進むと、下の図2のようにぬりつぶされ、

また、下の図3のようにぬりつぶされる進み方は、

 右→上→左 、 上→右→下

の2通りがあります。

     Pic_4070q

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_4071q

(1)上の図4のようにぬりつぶされる進み方は何通りありますか。 

(2)上の図5のようにぬりつぶされる進み方は何通りありますか。

(3)左下も含めて 6マスぬしつぶすと、

  それがちょうど立方体の展開図になるような進み方があります。

  このうち、はじめに右に進む進み方は 4通りあります。

  進み方をすべて描きなさい。

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点の移動と旅人算(2016年 筑波大学附属駒場中学)

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6301

上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点A,Bあり、

OAとOBは垂直です。

3点P,Q,Rは、次のように円周上を動きます。

PはAを出発して、反時計回りに動き、6分で円を1周します。

QはBを出発して、反時計回りに動き、6分で円を2周します。

RはAを出発して、時計回りに動き、6分で円を3周します。

P,Q,Rは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を動き、

6分後に3点とも止まります。 

PとQ、QとR、RとPをまっすぐな線で結んで作った図形PQRについて、

次の問に答えなさい。 

(1)

P,Q,Rのうちの2点が重なり、

図形PQRが三角形ならないことが何度もあります。

初めて三角形にならないのは動き始めてから何秒後ですか?

また、2度目、3度目に三角形にならないのは、

動き始めてから、それぞれ何秒後ですか? 

(2)

図形PQRが三角形で、その辺上に中心Oがあるのは、

動き始めてから何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。 

(3)

図形PQRが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。

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1gifyajirusi

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立方体を何個使っていますか?(鎌倉学園中学 2017年)

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同じ大きさの立方体をいくつか積み上げて立体を作りました。

その立体の

(A) 真正面から見た図

(B) 真上から見た図

(C)真横から見た図 を見て、

何個の立方体からできているか答えなさい。

ただし、使う立方体の個数は最も少ない個数を考えます。

例→  5個

5251


5252

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11gif

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6082

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Xの長さは何cm?(筑波大学附属中学 2012年)

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下の図のように半径2cmのおうぎ形と,

高さが2cmの台形が重なっています。

アの面積とイの面積か等しいとき,

Xの長さは何cmになりますか。

ただし,円周率は3.14とします。

1_2

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11
 

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魔方陣 (麻布中学 2006年) 

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下の図のAからGに、

1から9までの整数のうち異なる7つの
数を入れます。

このとき、たて、横、ななめにならぶ3つずつの
数の組が5組できます。

この5組の3つの数の和がすべて
等しくなるようにします。

このようにするとき、中央の「D」に
入る数が異なる場合を2通り書きなさい。

      Pic_1707q

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1gifyajirusi


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有名な魔六角陣(灘中学 2014年)

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魔六角陣の最も古い発見の記録は、

1887年のエルンスト・フォン・ハッセルベルグだそうです。

図の19個のOに1から19までの整数をひとつずつ入れて,

ア列からソ列までのそれぞれについて,

直線上に並んだ整数全部の和が列ごとにすべて38になるようにします。

例えば,ケ列では

11+1+7+19=38 です。

下の図に続けて整数を入れるとき,Aに入る整数とBに入る整数はいくつですか。

1

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Photo

考え方と解法例

Hakusi240

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6301

上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点A,Bあり、

OAとOBは垂直です。

3点P,Q,Rは、次のように円周上を動きます。

PはAを出発して、反時計回りに動き、6分で円を1周します。

QはBを出発して、反時計回りに動き、6分で円を2周します。

RはAを出発して、時計回りに動き、6分で円を3周します。

P,Q,Rは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を動き、

6分後に3点とも止まります。 

PとQ、QとR、RとPをまっすぐな線で結んで作った図形PQRについて、

次の問に答えなさい。 

(1)

P,Q,Rのうちの2点が重なり、

図形PQRが三角形ならないことが何度もあります。

初めて三角形にならないのは動き始めてから何秒後ですか?

また、2度目、3度目に三角形にならないのは、

動き始めてから、それぞれ何秒後ですか? 

(2)

図形PQRが三角形で、その辺上に中心Oがあるのは、

動き始めてから何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。 

(3)

図形PQRが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。

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正六角形の面積の何倍?(駒場東邦中学 2016年)

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図のような正六角形ABCDEFがあります。

辺BCのまん中の点をそれぞれGとしたとき、

三角形AGEの面積は正六角形ABCDEFの面積の何倍ですか。

2041

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Sakuraso1

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決まった操作による移動(2016年 開成中学)

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図の正五角形は直線ℓに関して線対称です。

いま、点Aが正五角形の頂点①、②、③、④、⑤を、

操作1、操作2、操作3のいずれかに従い移動します。

操作1:時計回りに2つ移動する

操作2:時計回りの反対の方向に1つ移動する

操作3:直線ℓに関して線対称な頂点に移動する

Bandicam_20160202_083013569

たとえば②からスタートして、操作1、操作2、操作3、操作3、操作1 の

5回の操作による点Aの移動は、次の例のように表記します。

操作3、操作2、操作3、操作3、操作1による移動も同じ表記になります。

Bandicam_20160202_083033586
(1)点Aが②からスタートして

2回の操作の直後にいることができる頂点をすべて書きなさい。

(2)1回の操作の直後に点Aが④にいられるような頂点をすべて書きなさい。

(3)点Aが②からスタートして

5回の操作の直後に④にいる移動の表記は全部で何通りありますか。

さらに、その表記を上の例にならってすべて書きなさい。

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