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重なった立方体の切り口は?(久留米大学附設中学 2012年)

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下の図のように、1辺の長さが 6cmの立方体の上に、

1辺の長さが 3cmの立方体を置きます。

3点A,B,C を通る平面でこの立体を切ったとき、

次のような立体の体積を求めなさい。

ただし、点A,B,D は頂点、点C は辺の中点で、

点A から点Dまで結ぶ辺は一直線になっています。

     Pic_3462q

(1)小さい方の立方体で、この平面より下側の部分

(2)大きい方の立方体で、この平面より下側の部分

Paper_2

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解法のヒント!

(1)まず、同一平面上にある点A と点B, 点A と点C を

 

下の図1のように直線で結ぶと、3点A,B,C を通る平面は

 

図1の点E,F を通ることがわかります。

 

     Pic_3463a

 

ここで、点B と点F を結ぶと、

下の図2のように点G を通ることがわかります。

 

 

 

     Pic_3464a

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解法例

 Pic_3464a

すると、求める体積は、図2の三角すい台EGP-AFQ となります。 

三角すいB-EGP と 三角すいB-AFQ の相似比が 1:2 なので

2つの三角すいの体積比は、1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8 で、

三角すい台 EGP-AFQ の体積は、三角すいB-EGP の7倍で、

1.5×1.5÷2×3÷3×7=63/8(立法cm)

と求められます。

(2)頂点B から、FC と平行に線を引くと、下の図3のように頂点H で交わります。

 

     Pic_3465a_2

求める体積は、

大きい立方体から三角すい台BHR-FCS を除いたものになります。

求め方は(1)と同様にすれば求めることができますが、

また違う方法を考えてみると、三角すい台BHR-FCS が

(1)の三角すい台EGP-AFQ と相似であることに注目して、

相似比が 1:2 より、体積比は、1:8 なので、

三角すい台BHR-FCS の体積は、

63/8 × 8 =63立法cmとなります。

よって、求める体積は、6×6×6 - 63 = 153立法cm です。

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食塩水濃度と重さは?(筑波大学附属駒場中学 2014年)

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大きな水槽に、濃度12%の食塩水が1kg入っています。

この水槽に、水と濃度12%の食塩水を、交互に次のように入れていきます。

1回目:水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を2kgにします。

2回目:水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を3kgにします。

以下同様に、

水と食塩水を交互に入れて、水槽の食塩水を1kgずつ増やしていきます。

そして、うすめるために一度に入れる水がちようど1kgになったとき、

その後は、食塩水と水を交互に1kgずつ入れ続けます。

(1)水槽の食塩水が2kgになったとき、濃度は何%ですか。

(2)うすめるために一度に入れる水が、初めてちょうど1kgになったとき、

   その1kgの水を入れて、 水槽の食塩水は何kgになりましたか。

(3)水槽の食塩水の濃度が最も低くなるとき、その濃度は何%ですか。

Ilm05_cb10028s

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(1)濃度を4/5倍にするためには、食塩水の重さを5/4倍にすればいいので、

加えた水の量は、1/4kgです。

以下、水と12%の食塩水の重さを考えます。

          水          12%の食塩水

最初                      1kg

1回目     1/4kg          3/4kg        =2kg

2回目     2/4kg          2/4kg        =3kg

3回目     3/4kg          1/4kg        =4kg

4回目     4/4kg                       =5kg

2kgのとき、水:12%の食塩水=1/4:(1+3/4)=1:7

12%×7/8=10.5%

(2)4回目に水を1kg入れて、食塩水は5kgになりました。

(3)水を1kg入れた時点で、

水:12%の食塩水=(1/4+2/4+3/4+4/4):(1+3/4+2/4+1/4)

=10/4:10/4=10:10=1:1

水と12%の食塩水は1:1、つまり、2.5kgずつなので、

濃度は12×1/2=6% です。

次からは、12%の食塩水1kgと水1kgが繰り返されるので、

6%の食塩水2kgが入れ続けられる、と考えれば、

最低濃度は、6%です。

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列車の速さは?コースの長さは?(今年、2018年 武蔵中学)

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おもちゃの列車を走らせる円形のコースがあります。

ただし
コースの一部は長さ 69cmの トンネルになっています。

同じ長さの列車を何両かつなげて、このコースを走らせるときに、

列車の一部または全部が見えている時間を「見える時間」と呼び、

列車がトンネル内にあって、まったく見えない時間を

「見えない時間」と呼ぶことにします。

列車を3両つなげて走らせると、見える時間41秒と

見えない時間7秒をくリ返します。

また、列車を5両つなげて走らせると、見える時間は44秒になります。

列車の速さは一定で、何両つなげても速さは変わりません。

列車の速さは毎秒何cmですか?

また、列車1両の長さとコースの全長はそれぞれ何cmですか?

Toytrain154101_640

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解法のヒント

291

図のように、2両増やすと見える時間が3秒増えるので、

 

列車は1両分進むのに1.5秒かかることがわかります。

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解法例

291

 

3両のとき、トンネルに入り始めて、出かかるまでに、

 

7+1.5×3=11.5秒かかるので、

 

列車の速さは、毎秒、69÷11.5=6cm

 

列車1両の長さは、6×1.5=9cm

 

コースの長さは、6×(41+7)=288cm

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影の長さは?(2017年 芝中学)

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80cmの棒に光をあてると、地面に1mの影ができます。(図1)

ただし、光のあて方は同じです。

黒い太線はそれぞれ影を表します。

(1)5mの棒に光をあてると、地面に何mの影ができますか。

(2)何mの棒に光をあてると、

   地面と壁に合わせて5mの影ができますか。(図2)

(3)(2)の棒に光をあてると、

   地面と段差に合わせて|何mの影ができますか。(図3)

9051

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Gifa1

図解と解法例はこちらに!

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受けたテストの回数は?(2015年 逗子開成中学)

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花子さんは算数のテストをN回受けました。

花子さんのとった点数の平均点はちょうど81点でした。

このうち、最高点97点と最低点53点の2回のテストの得点を除いた平均点は

ちょうど83点でした。Nにあてはまる数を求めなさい。

1

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25

958

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682

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帰リは何時間何分かかった?(2017年 ラ・サール中学)

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自転車でA町からB町へ行くのに30分走っては5分休んで行ったところ、

3時間かかりました。

帰りは行きの5/6の速さにして、 40分走っては8分休みました。

帰リは何時間何分かかりましたか。

Ilm13_aa08004s

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Gifa6

考え方と解法例はこちらに!

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玉は全部で何個?(今年 2018年 大阪星光学院中学)

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下の図のように正六角形状に玉を並べます。

一番外側にある玉の数が156個のとき、

玉は全部で何個ありますか?


211

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Gifc1

図解と解法例はこちらに!

31

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

棒はどのように見えますか?(今年 2018年 筑波大学附属中学)

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下の図は、中身の見える立方体の容器の中に入れた棒を、

正面と真上から見たものです。

Bandicam_20180508_093637968

下の見取図において、棒はどのように見えますか。

解答用紙にかきなさい。

Bandicam_20180508_094217519

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26

図解と解法例はこちらに!

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