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立体図形

面の値はいくつ?(2017年 筑波大学附属駒場中学)

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立方体の各頂点に0または1をおきます。

立方体のそれぞれの面について、

頂点においた4つの数の和を 『面の値』ということにし、

6個の『面の値』の合計を考えます。

例えば、1個の1と7個の0を下図のように頂点においたとき、

2181

『面の値』が1である面が3個、 0である面が3個なので、

6個の『面の値』の合計は3です。

次の問いに答えなさい。

(1) 6個の『面の値』の合計が6になりました。

(ア) 1をおいた頂点は何個ありますか。

(イ)『面の値』が奇数である面は何個ありますか。

   考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)6個の『面の値』の合計が12になりました。

   8個の頂点への0と1のおき方は何通りありますか。

   ただし、立方体を動かすと重なるものや、

   鏡にうつすと重なるものは同じおき方とします。

   例えば、下の例1、例2はそれぞれ同じおき方です。

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2015年、東大寺学園中学の立体図形問題から

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図のようなAB=20cm,BC=10cm,CG=12cmの,

面ADHEだけが空いている直方体の容器ABCDEFGHが

水平な床の上に置いてあります。

PQ=16cm,QR=12cm,RS=18cmで

PQとSRが平行である台形PQRSの板を図のように,

Qが辺BCの真ん中に,Rが辺FGの真ん中にくるように,

容器の底BCGFにまっすぐに立て,この容器いっぱいに水を満たしました。

辺BFを床につけたまま,

この容器を矢印の方向にゆっくりと45°傾けて水を流し出して,

また底BCGFが床にピッタリついたもとの状態にゆっくりともどしました。

ただし,板PQRSと容器はすきまなくくっついているものとし,

板PQRSと容器の厚みは考えないものとします。

(1)何立方cmの水が流れ出たか求めなさい。

(2)残った水は板PQRSによって2つの部分に分けられますが,

頂点Cと同じ側に入っている水の水面の高さを求めなさい。

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切り口の形と立体の大きさは?(桐蔭学園中学 1975年)

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図の立方体でBは辺の中点です。

対角線ACと点Bを通る平面でこの立方体を切ります。

切り口をかき入れてください。

この平面で分けられた立体のうち

点Fの側の立体の体積は立方体の体積の何分のいくつですか。

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切り口の作図方と解法例

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水の体積は何立方cm?(2016年 洛星中学)

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上の図のように、1辺の長さが12cmで、

上の口が開いている立方体の容器があり、

●印のついた頂点を結ぶ三角形の形の仕切りが入っています。

この容器に上から水を注ぎ、

水の高さが6cmになるまで入れました。

このとき容器に入っている水の体積は何立方cmですか?

ただし、容器と仕切りの厚さは考えないものとし、

仕切りは水を通さないものとします。

また、三角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求められます。

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箱の組み立て(東京学芸大学附属世田谷中学 入試算数問題 2003年)

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1辺12cmの正方形の紙があります。

この紙の四隅(よすみ)からハサミで同じ大きさの正方形を切り取り、

残った紙を組み立てると、ふたのない直方体の容器ができます。

Pic_0812q

(1)切り取る紙の1辺を3cmとしたとき、できる立体の体積を答えなさい。

(2)できる立体が立方体のとき、その体積を答えなさい。

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何種類の立体ができる?(2015年 渋谷教育学園幕張中学)

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同じ大きさの立方体をいくつか使って、

立方体の面どうしをはり合わせることで新しい立体をつくります。

立方体の面どうしをはり合わせるときは、

どこもずれずにぴったり重なるようにします。

このようにしてできる立体のうち、

回転したりひっくり返したりして同じ形になる立体は同じ種類の立体とします。

例えば、3個の立方体を使ってできる新しい立体は、

下の図のような2種類です。

では4個の立方体を使うと何種類の立体ができますか?

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空いている面に入る数字は?(今年 2017年 栄光学園中学)

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図1は、あるサイコロを2方向から見た図です。

このサイコロの展開図が図2です。

図2の空いている面に入る数字を、向きも考えて書き入れてください。

なお、サイコロの向かい合う面の数の和は7です。

3031_2



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立方体の箱の中に入るかな?(女子学院中学 2008年)

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下の図1のような三角柱があります。底面は1つの角が直角の二等辺三角形で、

一番長い辺の長さは20cmです。側面のうち2つの面は正方形です。

Pic_2969q

この三角柱を下の図2のような立方体の箱に入れて、

ふたを しっかり閉めることが、できるかできないか、理由をつけて答えてください。

Pic_2970q

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立体の表面積は?(神戸女学院中学部 2014年)

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1辺1cmのの立方体を下図のように、

下から16個、9個、4個、1個と積み上げました。

それぞれの立方体の頂点は、下の段の各立方体の面のまん中にあります。

(1)この立体の表面積を求めなさい。

(2)次に、白い5個の立方体を取り除き、新たな立体を作りました。

この立体の表面積を求めなさい。

ただし、立方体を取り除いても、立体はくずれないものとします。

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立方体の切り口を考える(早稲田中学 2010年)

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下の図は、1辺の長さが 6cm の立方体です。この立方体を3つの点 A,B,C を通る平面で切断します。AQ=3cm、BQ=2cm、CR=2cm のとき、次の問に答えなさい。

Pic_2972q

(1)切り口は何角形ですか。

(2)ア~ニは辺上の点で、たがいに1cmずつ離れて並んでいます。切り口の多角形のA,B,C 以外の頂点をア~ニからすべて選びなさい。

(3)PQ の延長と CB の延長が交わる点をD とします。切り口の多角形の面積は三角形ADB の面積の何倍ですか。

(4)できた2つの立体のうち、点R を含む方の立体の体積を求めなさい。

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