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光 が通る部分の体積は？（２０１６年２日目 灘中学）

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１辺の長さが６ｃｍの正方形のガラス板を６枚使って、

図のような立方体の形をした箱を作り、 水平な床に置きます。

上面ＡＢＣＤの部分のガラス板は、

１辺の長さが３ｃｍの斜線部分の正方形の２辺が

箱の辺ＡＢ、ＡＤと重なるように置かれています。

ガラス板の斜線部分は光を通さず、斜線部分以外の部分は光を通します。

点ＱはＤの真上６ｃｍのところにあります。

ガラス板の厚さ、電球の大きさは考えないとすると、

電球が点Ｑの位置にあるとき、

箱の内部で、電球の光 が通る部分の体積は何立方ｃｍですか。

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光が届かない部分は、

図のように、青い正方形の下の緑部分になります。

この部分の体積は、

底辺が３×６÷２＝９ｃ㎡、高さが６ｃｍの三角柱から、

底辺が３×３＝９ｃ㎡、高さが６ｃｍの四角すいを引いたものです。

９×６－９×６÷３＝３６立方ｃｍ

したがって、光が通る部分は、

６×６×６－３６＝１８０立方ｃｍ

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重なった立方体の切り口は？（久留米大学附設中学 2012年）

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下の図のように、１辺の長さが ６ｃｍの立方体の上に、

１辺の長さが ３ｃｍの立方体を置きます。

３点Ａ，Ｂ，Ｃ を通る平面でこの立体を切ったとき、

次のような立体の体積を求めなさい。

ただし、点Ａ，Ｂ，Ｄ は頂点、点Ｃ は辺の中点で、

点Ａ から点Ｄまで結ぶ辺は一直線になっています。

　　　　　

（１）小さい方の立方体で、この平面より下側の部分

（２）大きい方の立方体で、この平面より下側の部分

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解法のヒント！

（１）まず、同一平面上にある点Ａ と点Ｂ， 点Ａ と点Ｃ を

下の図１のように直線で結ぶと、３点Ａ，Ｂ，Ｃ を通る平面は

図１の点Ｅ，Ｆ を通ることがわかります。

　　　　　

ここで、点Ｂ と点Ｆ を結ぶと、

下の図２のように点Ｇ を通ることがわかります。

　　　　　

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解法例

 

すると、求める体積は、図２の三角すい台ＥＧＰ－ＡＦＱ となります。 

三角すいＢ－ＥＧＰ と 三角すいＢ－ＡＦＱ の相似比が １：２ なので

２つの三角すいの体積比は、１×１×１　：　２×２×２ ＝ １ ： ８ で、

三角すい台 ＥＧＰ－ＡＦＱ の体積は、三角すいＢ－ＥＧＰ の７倍で、

１．５×１．５÷２×３÷３×７＝６３/８（立法ｃｍ）

と求められます。

（２）頂点Ｂ から、ＦＣ と平行に線を引くと、下の図３のように頂点Ｈ で交わります。

　　　　　

求める体積は、

大きい立方体から三角すい台ＢＨＲ－ＦＣＳ を除いたものになります。

求め方は（１）と同様にすれば求めることができますが、

また違う方法を考えてみると、三角すい台ＢＨＲ－ＦＣＳ が

（１）の三角すい台ＥＧＰ－ＡＦＱ と相似であることに注目して、

相似比が １：２ より、体積比は、１：８ なので、

三角すい台ＢＨＲ－ＦＣＳ の体積は、

６３/８ × ８ ＝６３立法ｃｍとなります。

よって、求める体積は、６×６×６ － ６３ ＝ １５３立法ｃｍ です。

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影の長さは？（２０１７年 芝中学）

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８０ｃｍの棒に光をあてると、地面に１ｍの影ができます。（図１）

ただし、光のあて方は同じです。

黒い太線はそれぞれ影を表します。

（１）５ｍの棒に光をあてると、地面に何ｍの影ができますか。

（２）何ｍの棒に光をあてると、

　　　地面と壁に合わせて５ｍの影ができますか。（図２）

（３）（２）の棒に光をあてると、

　　　地面と段差に合わせて|何ｍの影ができますか。（図３）

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図解と解法例はこちらに！

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棒はどのように見えますか？（今年 ２０１８年 筑波大学附属中学）

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下の図は、中身の見える立方体の容器の中に入れた棒を、

正面と真上から見たものです。



下の見取図において、棒はどのように見えますか。

解答用紙にかきなさい。

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立方体は何個？（２０１８年度入試 海陽中等教育学校（特別給費））

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１辺が１ｃｍの透明な立方体を図のように縦８個、横６個、

高さ４個となるように規則正しく直方体となるように積み上げました。

（１）２つの頂点ＡとＢを通るようにレーザー光線で直線を引いたとき、

　　直線が内部を 通る立方体は何個ありますか。

　　ただし、頂点や辺のみを通る場合は内部を通らない ものとします。

（２）３つの頂点A、C、Dを通る平面で切ったとき、

　　２つの立体に分けられる立方体は何個ありますか。

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すき間部分の体積は？（中央大学附属中学 ２０１７年）

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図のように、底面の半径が６ｃｍ、高さが２４ｃｍの円柱を、

１辺が２４ｃｍの正方形の板からはみ出ないように４つ並べ、

その真ん中に１つ積み上げ ました。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３．１４とします。

（１）５つの円柱と板で囲まれてできたすき間の部分の体積は

　　何立方ｃｍですか。

（２）５つの円柱を真上から見たとき、

　　見える部分の面積は何㎠ですか。

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残された空間図形は？（駒場東邦中学 ２０１７年）

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１辺の長さが４ｃｍの立方体について、次のような[作業]を行います。

[作業]

①立方体の各辺を４等分します。

②１つの頂点に注目したとき、

　その頂点を端の点とする３つの辺上にある 分点(分ける点)のうち、

　頂点から最も離れている３つの分点を通る平面で切り取ります。

例えば、下の図は頂点Ａに対し、

３点Ｐ　Ｑ　Ｒを通る平面で切り取った図 です。

この「作業]を立方体の８個あるすべての頂点に対し、

同時に行った後に残る立体「あ」について考えます。

（１）立方体の面ＡＢＣＤ上にできる立体「あ」の面を

　解答用紙の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。



（２）三角形ＰＱＲ上にできる立体「あ」の面を面「い」とします。

　①面「い」の形の名前を答えなさい。

　②(三角形ＰＱＲの面積)：(面「い」の面積)を

　　　最も簡単な整数の比で求めな さい。

（３）立体「あ」の体積を求めなさい。

　ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷３で求めることができます。

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何回巻かれていますか？（２０１６年 お茶の水女子大学附属中学）

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新しいシングル巻きのトイレットペーパーが1本あります。

このトイレットペーパーは、芯の周りに長さ６０ｍの紙が巻かれています。

このとき、紙は芯の周りにおよそ何回巻かれていますか？

新しいトイレットペーパーの直径が１１．５ｃｍ、

芯の直径が３．８ｃｍとして答えてください。

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ABCDEはどこに？（２０１７年 灘中学 ２日目）

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図１のような長方形の細長い紙を３つの折り目で折り込み、

図２のようにしました。

５個の点　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを頂点とする五角形は正五角形です。

また、点ＦはＡＥの真ん中の点です。

（１）紙を折り込むと、下の図のすべての黒点は

図２の点A、B、C、D、Eのどれかの位置に来ます。

９か所の空欄にA B C D Eのうち当てはまるものを記入しなさい。

（２）図２の紙を直線ＣＦに沿ってはさみで切るとき、

切り口を下の図に書き込みなさい。

なお、 下の図の黒点は（１）の図と同じ位置にあります。

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