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図形移動

かくれることのできる範囲は?(2015年 浅野中学)

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A君とB君は[図4]のような1辺の長さが1mの正方形のタイルで敷き詰められた部屋の中でかくれんぼをしました。

[図4]の白い部分は床、色の塗られた部分は柱です。

ただし、A君、B君の位置は点で表し、大きさは考えないものとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

4121

(1)A君がP地点にいるとき、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

(2)同じ部屋で[図5]のように、斜線を引いた正方形のどこにA君がいても、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

4122

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点の移動と旅人算(2016年 筑波大学附属駒場中学)

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6301

上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点A,Bあり、

OAとOBは垂直です。

3点P,Q,Rは、次のように円周上を動きます。

PはAを出発して、反時計回りに動き、6分で円を1周します。

QはBを出発して、反時計回りに動き、6分で円を2周します。

RはAを出発して、時計回りに動き、6分で円を3周します。

P,Q,Rは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を動き、

6分後に3点とも止まります。 

PとQ、QとR、RとPをまっすぐな線で結んで作った図形PQRについて、

次の問に答えなさい。 

(1)

P,Q,Rのうちの2点が重なり、

図形PQRが三角形ならないことが何度もあります。

初めて三角形にならないのは動き始めてから何秒後ですか?

また、2度目、3度目に三角形にならないのは、

動き始めてから、それぞれ何秒後ですか? 

(2)

図形PQRが三角形で、その辺上に中心Oがあるのは、

動き始めてから何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。 

(3)

図形PQRが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。

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決まった操作による移動(2016年 開成中学)

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図の正五角形は直線ℓに関して線対称です。

いま、点Aが正五角形の頂点①、②、③、④、⑤を、

操作1、操作2、操作3のいずれかに従い移動します。

操作1:時計回りに2つ移動する

操作2:時計回りの反対の方向に1つ移動する

操作3:直線ℓに関して線対称な頂点に移動する

Bandicam_20160202_083013569

たとえば②からスタートして、操作1、操作2、操作3、操作3、操作1 の

5回の操作による点Aの移動は、次の例のように表記します。

操作3、操作2、操作3、操作3、操作1による移動も同じ表記になります。

Bandicam_20160202_083033586
(1)点Aが②からスタートして

2回の操作の直後にいることができる頂点をすべて書きなさい。

(2)1回の操作の直後に点Aが④にいられるような頂点をすべて書きなさい。

(3)点Aが②からスタートして

5回の操作の直後に④にいる移動の表記は全部で何通りありますか。

さらに、その表記を上の例にならってすべて書きなさい。

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輪が通過した部分の面積は?(2017年 灘中学 1日目)

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平面上に辺ABの長さが6cmの直角二等辺三角形ABCの板があり、

半径が6cmの円の形をした輪をはじめ下の図1の位置に置きます。

図1
21211

この輪が、下の①、②、③の順に動き、

図1の位置にもどるまでの間に通過する部分の面積は何c㎡ですか?

ただし、板は動かず、輪の太さは考えないものとします。

また、回転の向きは時計まわりです。

①点Cの周りに60°回る。

②点Bの周りに30°回る。

③点Aの周りに60°回る。
Bandicam_20170212_150824427

なお、下図4は、図1、図2、図3の位置にある輪を

重ね合わせてかいたものです。


図4

21212

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重なった部分の面積は?(2016年 鴎友学園女子中学)

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図のように、直線上に長方形と直角三角形があります。

直角三角形が直線上を矢印の方向に毎秒2cmの速さで移動します。

三角形が動き出してから、

9秒後に2つの図形が重なっている部分の面積は何c㎡ですか?

3301

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23gif

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おうぎ形のころがるイメージはこれ!(中学受験算数 図形の移動)

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半径15cm、中心角24度のおうぎ形Aが、

図の位置からすべることなく転がって、

図のおうぎ形Bの位置まで移動するとき、

おうぎ形が通過した部分の面積を求めなさい。

(円周率の値を用いるときは、3.14として計算。)

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全部解答できる小学生いるのでしょうか?(東大寺学園中学 2014年)

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超激ムズレベル問題

下の図のような AB=2cm、AD=3cm、AE=4cm の

直方体ABCE-EFGH があります。

このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3831q

(1)

点Q が CH上を自由に動くとき、

AQ を AR:RQ=2:1に 分ける点 R が動くことのできる部分の長さは、

CHの長さの何倍ですか。

(2)

点P は AF上を自由に動き、

点Qは点P の動きとは無関係にCH上を自由に動きます。

PQを PR:RQ=2:1に分ける点をR とするとき、

点 R が動くことのできる範囲は、どのような図形になりますか。

最も適切な名称で答えなさい。

また、その図形の面積を求めなさい。

(3)

(ア)

三角すいACFH の体積を求めなさい。

ただし、三角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求めることができます。

(イ)

三角すいACFH と三角すいBDEG の共通部分

(どちらの三角すいにも含まれている部分)の体積を求めなさい。

(4)

(2)で求めた図形のうち、

(3)の(イ)の立体に含まれている部分の面積を求めなさい。

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Gifz

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円の中心が動く線の長さは?(2016年  清風南海中学)

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5211_2

図のように、半径1cmの半円を、

中心が一直線上にあるように5個っなげてで きた図形Aがあります。

図のように、半径3cmの円が (ア) の位置から (イ) の位置まで

図形Aと離れないように転がるとき、

この円の中心が動いてできる線の長さは何cmですか?

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Gifyajirusi_3

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半円の回転移動(横浜共立学園中学 2013年)

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半径4cmの半円が直線L 上を下の図のアの位置からウの位置まで、

すべらずに1回転します。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3579q

(1)

半円が図のイの位置からウの位置まで転がる間に

半円の曲線部分が通ってできる図形の周りの長さは何cmですか。

また、その面積は何c㎡ ですか。

(2)

半円が図のアの位置からウの位置まで転がるとき、

半円の中心が通ってできる線の長さは何cmですか。

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頂点Aの軌跡は?(大阪女学院中学 2008年)

Pic_1423q

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半径6cmの円があり、

その中に1辺の長さが6cmの正三角形ABCがあります。

いま、図のように、2つの頂点B,Cが円周上に重なるように置いてから、

正三角形を円の内部ですべることなく元の位置にもどるまで転がします。 

  Pic_1423q

このとき、頂点Aの動いた長さを求めなさい。

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17gif

                 軌跡と解法例

Fan300


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