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場合の数

進み方は何通り?(海陽中等教育学校 2014年)

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Pic_4069q

上の図1のように正方形のマス目がたくさん並んでいます。 

左下のマス目から出発して、上下左右のマス目に1マスずつ移動していきます。

移動したマス目はぬりつぶし、一度通ったマス目は通らないことにします。 

たとえば、右→上と進むと、下の図2のようにぬりつぶされ、

また、下の図3のようにぬりつぶされる進み方は、

 右→上→左 、 上→右→下

の2通りがあります。

     Pic_4070q

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_4071q

(1)上の図4のようにぬりつぶされる進み方は何通りありますか。 

(2)上の図5のようにぬりつぶされる進み方は何通りありますか。

(3)左下も含めて 6マスぬしつぶすと、

  それがちょうど立方体の展開図になるような進み方があります。

  このうち、はじめに右に進む進み方は 4通りあります。

  進み方をすべて描きなさい。

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ちょっと難問! 何通りあるでしょうか?(2014年 麻布中学)

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決められた何種類かの整数を足し合わせて1つの整数を作る方法を考えます。

例えば,1,2,3のみを用いて5を作る方法は,

3+2,3+1+1,2+2+1,2+1+1+1,1+1+1+1+1

の5通り考えられます。ただし,足す順序が異なるだけのものは同じ方法とします。

2,3,5のみを用いて30を作る方法は全部で何通りありますか。

Apf0507s

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Photo_2

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面の値はいくつ?(2017年 筑波大学附属駒場中学)

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立方体の各頂点に0または1をおきます。

立方体のそれぞれの面について、

頂点においた4つの数の和を 『面の値』ということにし、

6個の『面の値』の合計を考えます。

例えば、1個の1と7個の0を下図のように頂点においたとき、

2181

『面の値』が1である面が3個、 0である面が3個なので、

6個の『面の値』の合計は3です。

次の問いに答えなさい。

(1) 6個の『面の値』の合計が6になりました。

(ア) 1をおいた頂点は何個ありますか。

(イ)『面の値』が奇数である面は何個ありますか。

   考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)6個の『面の値』の合計が12になりました。

   8個の頂点への0と1のおき方は何通りありますか。

   ただし、立方体を動かすと重なるものや、

   鏡にうつすと重なるものは同じおき方とします。

   例えば、下の例1、例2はそれぞれ同じおき方です。

2182

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操作計算の規則性と場合の数(灘中学 2014年)

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4ケタの整数ABCDに次の①、②、③の【操作】を行って

新しい整数を作ります。

【操作】

① A×A、B×B、C×C、D×D をそれぞれ計算する

② ①でできた4個の数をそれぞれ 14 で割り、余りを求める

   ただし、0を14で割ったときの余りは 0 である

③ ②で求めたあまりを順に並べて整数を作る

たとえば、下のように 2014 に【操作】を行うと、4012が作られ、

1513に【操作】を行うと、11119 が作られます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3814a_2 

(1)下の表の空欄に数を入れて表を完成させなさい。

Pic_3815q

(2)【操作】を行っても値が変化しないような4ケタの整数は

   全部で何個ありますか。

(3)【操作】を行うと値が小さくなるような4ケタの整数は

   全部で何個ありますか。

(4)【操作】を行うと値が大きくなるような4ケタの整数は

   全部で何個ありますか。

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                        考え方と解法例

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パズルに用いる図形の個数(開成中学 2010年)

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下図のように、1辺1cmの正三角形を4つ使った平行四辺形A,Bと、

1辺1cmの正三角形を3つ使った台形Cが、それぞれたくさんあります。

1辺4cmの正六角形の内部を、

これらの平行四辺形と台形を合計26個用いてしきつめることができました。

このとき、台形Cを何個用いたか答えなさい。

Bandicam_20160108_073439055

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Photo

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何通りできますか?(今年、2016年  田園調布学園中等部)

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同じ大きさの正三角形の紙を、

図のように辺と辺がぴったり重なるようにして机の上に並べます。

この正三角形4枚を並べて一つの平面図形を作るとき、

何通りの平面図形ができますか。

Bandicam_20160331_070528742

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支払う方法は何通り?(中央大学附属横浜中学 2014年)

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100円、50円、10円の硬貨がたくさんあります。

これら3種類の硬貨を少なくとも1枚ずつ使って、

420円をおつりがでないように支払う方法は何通りありますか。

Bandicam_20151002_081951865

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一筆書きの書き方は何通りあるか(フェリス女学院中学 2005年)

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線からエンピツを離さずに、

同じ線を1回しか通らないで形を描くことを一筆書きといいます。

たとえば、下の図1を点A から始めて一筆書きする仕方は、

左回りと右回りの2通りあります。

【ア】 図2を点Bから始めて一筆書きする仕方は何通りですか。

【イ】 図3を点Cから始めて一筆書きする仕方は何通りですか。

Pic_11601q_2

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111

一筆書きの書き方と解法例

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ぬり分け方は何通り? (渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

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赤、青、緑、黄、紫の5色の絵の具があります。

このうちから何色か使って、下の図の①~⑤の部分をすべてぬり分けようと思います。

ただし、それぞれの部分は、この5色のうちの1色だけでぬり、

となり合った部分は違う色をぬることとします。

 このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_4052q

(1)赤、青、緑の3色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

(2)赤、青、緑、黄の4色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

(3)全部で何通りのぬり方がありますか。

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図形の場合の数は?(筑波大学附属駒場中学 2013年)

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円の周上にある偶数個の点を,次の《きまり》にしたがって,2つずつ選んでまっすぐな線で結びます。

《きまり》

・円の周上にあるどの点も,必ず1回だけ選びます。

・円の中にあるどの線も,交わらないようにします。

たとえば,円の周上に①から④の4個の点があるとき,このような線の引き方は,下の図の2通りです。

1_2 

円の周上に次のように点があるとき,線の引き方はそれぞれ何通りありますか。

(1)①から⑥の6個の点があるとき

2

(2)①から⑧の6個の点があるとき

3

(3)①から⑩の10個の点があるとき

4

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Gifa1

パターンのイメージ図と解法例

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