中学受験算数６８分野別解法例

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何個の○をぬることができますか？ （今年 ２０１８年 城北中学）

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５０個の○が円形に並んでいます。

図のように、まず１つの○に色をぬり、

次にその●から時計回りに６個進んで止まり、そこにある○をぬります。

さらにその●から 時計回りに６個進んで止まり、

そこにある○をぬり、以下同じ作業を くり返していきます。

すでに色がぬられた●に止まったときに終了とするとき、

何個の○をぬることができますか？

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面の値はいくつ？（２０１７年 筑波大学附属駒場中学）

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立方体の各頂点に０または１をおきます。

立方体のそれぞれの面について、

頂点においた４つの数の和を 『面の値』ということにし、

６個の『面の値』の合計を考えます。

例えば、１個の１と７個の０を下図のように頂点においたとき、

『面の値』が１である面が３個、 ０である面が３個なので、

６個の『面の値』の合計は３です。

次の問いに答えなさい。

（１） ６個の『面の値』の合計が６になりました。

（ア） １をおいた頂点は何個ありますか。

（イ）『面の値』が奇数である面は何個ありますか。

　　　考えられる個数をすべて答えなさい。

（２）６個の『面の値』の合計が１２になりました。

　　　８個の頂点への０と１のおき方は何通りありますか。

　　　ただし、立方体を動かすと重なるものや、

　　　鏡にうつすと重なるものは同じおき方とします。

　　　例えば、下の例１、例２はそれぞれ同じおき方です。

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開いている？閉まっている？（２０１７年 筑波大学附属駒場中学）

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扉のついたロッカーが２００個あり、

それぞれのロッカーに１から２００までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら２００個のロッカーに、次の１００回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

１回目 すべてのロッカーを開ける

２回目 番号が２の倍数であるすべてのロッカーを閉める

３回目 番号が３の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

４回目 番号が４の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

１００回目 番号が１００の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば２回目の操作の直後は、

番号が奇数である１００個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である１００個のロ ッカーは閉まっています。

１００回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

（１）番号が １から１０までの１０個のロ ッカーのうち、

　　　開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

（２）番号が９９、１００、１０１のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

　　　開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

（３）２００個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

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この記号の規則性は？（東京農業大学第一中等部 ２０１４年）

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図のように、ある規則にしたがって整数に記号を割り当てました。

この規則に従うと、図１はいくつですか。

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数並びの規則性は？（暁星中学 ２０１７年）

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2, 0, 1, 7, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 7, 7, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 7, 7, 7, . . . . . .



このように、２、０、１、７の数がそれぞ れ１つずつ増えながら、

並んでいる数の列があります。

このとき、３番目の数は１で、７番目の数は０です。

次の問い に答えなさい。

（１）３０番目の数は何ですか。

（２）１番目の数から６番目までの数を全部足すと、１４になります。

  では、１番目から何番目の数を全部足すと、５５０に なりますか。

（３）２０１７番目の数は何ですか。

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●が増える規則性は？（２０１６年 城西川越中学）

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図のように、黒マル●を三角形、正方形、正五角形の形に並べたときの

●の総数 を、それぞれ三角数、四角数、五角数と呼ぶことにします。

また、１番目の三角数を△１、２番目の三角数を△２、３番目の三角数を△３、

１番目の四角数を□１、２番目の四角数を□２、３番目の四角数を□３、

１番目の五角数を☆１、２番目の五角数を☆２、３番目の五角数を☆３、

で表すことにします。

例えば、△１＝１、□２＝４、☆３＝１２　です。

（１）△１０はいくつですか？

（２）□１＝１、□２＝１＋３、□３＝１＋３＋５、・・・となっていますが、、

　　□Ａ＝１＋３＋５＋・・・・・＋３９のとき、Ａにあてはまる数はいくつですか？

（３）△Ｂ＋□Ｃ＝☆５　のＢ、Ｃにあてはまる数はいくつですか？

　　このような関係が成り立つ理由を、図で説明してください。

（４）☆１２はいくつですか？

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点の移動と旅人算（２０１６年 筑波大学附属駒場中学）

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上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点Ａ，Ｂあり、

ＯＡとＯＢは垂直です。

３点Ｐ，Ｑ，Ｒは、次のように円周上を動きます。

PはＡを出発して、反時計回りに動き、６分で円を１周します。

ＱはＢを出発して、反時計回りに動き、６分で円を２周します。

ＲはＡを出発して、時計回りに動き、６分で円を３周します。

Ｐ，Ｑ，Ｒは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を動き、

６分後に３点とも止まります。 

ＰとＱ、ＱとＲ、ＲとＰをまっすぐな線で結んで作った図形ＰＱＲについて、

次の問に答えなさい。 

（１）

Ｐ，Ｑ，Ｒのうちの２点が重なり、

図形ＰＱＲが三角形ならないことが何度もあります。

初めて三角形にならないのは動き始めてから何秒後ですか？

また、２度目、３度目に三角形にならないのは、

動き始めてから、それぞれ何秒後ですか？ 

（２）

図形ＰＱＲが三角形で、その辺上に中心Ｏがあるのは、

動き始めてから何秒後ですか？

考えられるものをすべて答えなさい。 

（３）

図形ＰＱＲが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか？

考えられるものをすべて答えなさい。

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決まった操作による移動（２０１６年 開成中学）

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図の正五角形は直線ℓに関して線対称です。

いま、点Ａが正五角形の頂点①、②、③、④、⑤を、

操作１、操作２、操作３のいずれかに従い移動します。

操作１：時計回りに２つ移動する

操作２：時計回りの反対の方向に1つ移動する

操作３：直線ℓに関して線対称な頂点に移動する

たとえば②からスタートして、操作１、操作２、操作３、操作３、操作１ の

５回の操作による点Ａの移動は、次の例のように表記します。

操作３、操作２、操作３、操作３、操作１による移動も同じ表記になります。

（１）点Ａが②からスタートして

２回の操作の直後にいることができる頂点をすべて書きなさい。

（２）１回の操作の直後に点Ａが④にいられるような頂点をすべて書きなさい。

（３）点Aが②からスタートして

５回の操作の直後に④にいる移動の表記は全部で何通りありますか。

さらに、その表記を上の例にならってすべて書きなさい。

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●が増える規則性は？（今年、２０１６年 城西川越中学）

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図のように、黒マル●を三角形、正方形、正五角形の形に並べたときの

●の総数 を、それぞれ三角数、四角数、五角数と呼ぶことにします。

また、１番目の三角数を△１、２番目の三角数を△２、３番目の三角数を△３、

１番目の四角数を□１、２番目の四角数を□２、３番目の四角数を□３、

１番目の五角数を☆１、２番目の五角数を☆２、３番目の五角数を☆３、

で表すことにします。

例えば、△１＝１、□２＝４、☆３＝１２　です。

（１）△１０はいくつですか？

（２）□１＝１、□２＝１＋３、□３＝１＋３＋５、・・・となっていますが、、

　　□Ａ＝１＋３＋５＋・・・・・＋３９のとき、Ａにあてはまる数はいくつですか？

（３）△Ｂ＋□Ｃ＝☆５　のＢ、Ｃにあてはまる数はいくつですか？

　　このような関係が成り立つ理由を、図で説明してください。

（４）☆１２はいくつですか？

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