68分野細目記事リスト

不思議な休憩室

クイズ

ゲームをしたのは何回?(今年 2019年 桜蔭 中学)

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3人の中から1人の勝者が決まるゲームのトーナ メントを考えます。

ゲームは必ず3人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに1から 順に番号をふります。

番号の小さい順に3人ずつ 組み、 1回戦を行います。

3人の組にならない子どもは2人以下とし、そのまま2回戦に進みます。

2回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、1番から 11番の参加者 11人でトーナメントをするとき、

図1のように1回戦はa、b、cの3回ゲームを行い、

10 番と11番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあと d、eの2回ゲームを行うと 優勝者が1人決まります。

図1

2061

(1)1番から81番の参加者 81人で1回戦を図2のように行うと、

優勝者が1人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか?

図2

2062

(2) 1番から235番の参加者235人でトーナメントを行うと、

優勝者が1人決まるまでに 合計何回のゲームが行われますか?

(3)優勝者が1人決まるまでに合計 24 回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は 図3のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか?

図3

2063

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解法例

106

(1)

81÷3=27

27÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

27+9+3+1=40回

(2)

235÷3=78・・・・・1

(78+1)÷3=26・・・・・1

(26+1)÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

78+26+9+3+1=117回

(3)

逆に考えていきます。

(2+1)÷3=1

7÷3=2・・・・・1

この7が1+6か2+5なのか調べます。

1+6の場合、

(6+1)÷3=2・・・・・1

その前は、

(   )÷3=6・・・・・1 なので、

(  )=19

19=18+1 か 17+2 となって、

いずれの場合も24ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

(5+2)÷3=2・・・・・1 なので、

その前は、

(  )÷3=5・・・・・2 より

(  )=17

17=16+1 か 15+2 ですが、

24ゲームになるのは、16+1なので、

(16+1)÷3=5・・・・・2

その前は、

(  )÷3=16・・・・・1 より、

(  )=49人

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682

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不合格だった人の数は?(2017年 海城中学)

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40人のクラスでA、Bの2種類のテストを行いました。

どちらのテストも100点満点であり、60点以上で合格です。

Aの合格者は27人、Bの合格者は21人で、

Aだけ合格した人の数はBだけ合格した人の数の2倍でした。

また、Aを80点以上で合格した人は13人で、

そのうちBも合格した人は6人でした。

(1)A も Bも不合格だった人は何人ですか。

(2)Aを80点未満で合格したが、Bが不合格だった人は何人ですか。

2203

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8311

(1)両方合格した人数を□とすると、

27-□=2×(21-□)

27-□=42-2×□

□=42-27=15人

黄=27-15=12人

緑=21-15=6人

両方とも不合格だった人数=40-(12+15+6)=7人

(2)

8312

Aが80点以上でBは不合格だった人は、

13-6=7人 なので、

Aを80点未満で合格したが、Bが不合格だった人は

12-7=5人

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682

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この三角形の面積は何c㎡?(今年 2017年 洗足学園中学)

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面積が6c㎡の正六角形をすき間なく敷き 詰め、

図のように、三角形をかきました。

この三角形の面積は何c㎡ですか?

3121

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図のように等積移動して、

緑、水色、赤の3つの三角形に分けます。

3122

3123

緑=3×2+6=12c㎡

水色=3×2+1×2=8c㎡

赤=6×2+3×4+1=25c㎡

求める面積=12+8+25=45c㎡

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682

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光 が通る部分の体積は?(2016年2日目 灘中学)

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1辺の長さが6cmの正方形のガラス板を6枚使って、

図のような立方体の形をした箱を作り、 水平な床に置きます。

上面ABCDの部分のガラス板は、

1辺の長さが3cmの斜線部分の正方形の2辺が

箱の辺AB、ADと重なるように置かれています。

ガラス板の斜線部分は光を通さず、斜線部分以外の部分は光を通します。

点QはDの真上6cmのところにあります。

ガラス板の厚さ、電球の大きさは考えないとすると、

電球が点Qの位置にあるとき、

箱の内部で、電球の光 が通る部分の体積は何立方cmですか。

Bandicam_20160127_092036959

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光が届かない部分は、

図のように、青い正方形の下の緑部分になります。

Bandicam_20160127_090759792

この部分の体積は、

底辺が3×6÷2=9c㎡、高さが6cmの三角柱から、

底辺が3×3=9c㎡、高さが6cmの四角すいを引いたものです。

9×6-9×6÷3=36立方cm

したがって、光が通る部分は、

6×6×6-36=180立方cm

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682

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面積とグラフの関係は?(2017年  桐蔭学園中学校男子部)

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【図1】のような辺ADの長さが8cmである長方形ABCDがあります。

辺BC上に点Eをとります。

点Pは長方形ABCDの辺上を毎秒1cmの速さで、

点Aを出発し、点Bを通って、点Cまで動くとします。

また、【図2】は、点Pが点Aを出発してから点Cに着くまでの

時間と三角形APEの面積の関係を表したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

7271

(1)辺ABの長さは何cmですか。

(2)BEの長さは何cmですか。

(3)【図2】の(ア) (イ)にあてはまる数は、それぞれいくつですか。

(4) 三角形APEの面積が8㎠になるのは、

  点Pが点Aを出発してから何秒後ですか。すべて答えなさい。

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(1)Bは、PがAからEまで動く中で、

△APEが最大になるときなので、9㎠のとき、

つまり、6秒後なので、6cmです。

(2)9×2÷6=3cm

(3)アはPがEに来たときで、ア=6+3=9秒後

イはPがCに来たときで、(8-3)×6÷2=15㎠

(4)△APEが8㎠になるときは図のように3回あります。

7272

1回目→8×2÷3=5と1/3秒後

2回目→8×2÷6=2と2/3cmなので、

      6+(3-2と2/3)=6と1/3秒後

3回目→9+2と2/3=11と2/3秒後

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682

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時計算の難問!(開成中学 2014年)

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ある世界では、1日が10時間(午前5時間、午後5時間)、

1時間が25分、1分が25秒に区切られていて、

下の図のような時計を用いて時間を計っています。

現在の時間は午後2時5分0秒で、

時計の短針(黒)、長針(白)、秒針は正しい時刻を指しています。

この時計はこれからも正確に動くものとして、次の問に答えなさい。

 Pic_3693q

(1)これから時間が進んで最初に短針と長針が重なる時刻を求め、

そのときの時計の3本の針を図に表しなさい。

(2)さらに時間が進んで

最初に短針と長針がちょうど反対向きになる時刻を求め、

そのときの時計の3本の針を図に表しなさい。

(3)現在(午後2時5分0秒)から、

3本の針がすべて同じ向きになって重なる回数を数えます。

ちょうど100回目となるのは何日後で、

午前、午後のどちらの何時何分何秒ですか。

ただし、現在から2時間20分後の午前0時から1日後が始まるものとします。

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解法例

 

(1)秒針は1秒で、360÷25=14.4度 進みます。

 

長針は、1分で、14.4度 進みます。

 

短針は、1時間で、360÷5=72度進み、1分で、72÷25=2.88度進みます。

 

まず、長針と短針が重なる時刻を求め、そのときに秒針が重なるかどうかで判断します。

 

2時の時点で、長針と短針は、144度はなれているので、重なるのは、

 

  144÷(14.4-2.88)

 

=144÷11.52

 

=12.5分後

 

です。

 

長針の位置は、12.5×14.4=180度 のところで、

 

  12.5分=12分12.5秒後(この世界では)

 

なので、秒針の位置も同じとなります。

 

 

 

よって、長針、短針、秒針が重なるのは、

 

午後2時12分12.5秒 で、下の図1のようになります。

 

 Pic_3694a

 

 (2)図1の状態から、長針と短針の作る角度が180度に

 

なる時刻を求めると、

 

  180÷(14.4-2.88)=15と5/8分後

 

とわかります。

 

 

 

12.5+15と5/8=28と1/8 より、2時28分と1/8分で、

 

1時間が25分なので、3時3分と1/8分。

 

1/8分=25×1/8=3と1/8秒 なので、長針と短針が

 

反対向きになるのは、午後3時3分3と1/8秒です。

 

また、秒針と分針が重なることがわかります。

 

 

 

3時3分3と1/8秒を図に表すと、下の図2のようになります。

 

 Pic_3695a

 

 (3)(2)より、長針が短針と180度はなれるとき、

 

長針と秒針が重なることがわかります。

 

 

 

つまり、この後、長針と短針が重なるとき、必ず秒針も重なる

 

ということになります。

 

 

 

(2)より、長針と短針が重なるのは、

 

   15と5/8 ×2 = 31と1/4分ごと

 

とわかります。

 

 

 

午後2時12分12.5秒を1回目として、3本の針が100回目に

 

重なるのは、

 

  31と1/4 × 99 =125×99/4=12375/4

 

 =3093と3/4分後

 

  3/4分=25×3/4=18と3/4秒

 

  3093分=3093÷25=123時間18分

 

  123時間=123÷10=12日と3時間

 

より、12日と3時間18分18と3/4秒後 が100回目で、

 

      午後2時12分12と1/2秒 の

 

  12日と3時間18分18と3/4秒後は、

 

  12日と午後5時30分31と1/4秒後で、

 

  13日後の午前1時6分6と1/4秒

 

です。

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重なった立方体の切り口は?(久留米大学附設中学 2012年)

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下の図のように、1辺の長さが 6cmの立方体の上に、

1辺の長さが 3cmの立方体を置きます。

3点A,B,C を通る平面でこの立体を切ったとき、

次のような立体の体積を求めなさい。

ただし、点A,B,D は頂点、点C は辺の中点で、

点A から点Dまで結ぶ辺は一直線になっています。

     Pic_3462q

(1)小さい方の立方体で、この平面より下側の部分

(2)大きい方の立方体で、この平面より下側の部分

Paper_2

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解法のヒント!

(1)まず、同一平面上にある点A と点B, 点A と点C を

 

下の図1のように直線で結ぶと、3点A,B,C を通る平面は

 

図1の点E,F を通ることがわかります。

 

     Pic_3463a

 

ここで、点B と点F を結ぶと、

下の図2のように点G を通ることがわかります。

 

 

 

     Pic_3464a

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解法例

 Pic_3464a

すると、求める体積は、図2の三角すい台EGP-AFQ となります。 

三角すいB-EGP と 三角すいB-AFQ の相似比が 1:2 なので

2つの三角すいの体積比は、1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8 で、

三角すい台 EGP-AFQ の体積は、三角すいB-EGP の7倍で、

1.5×1.5÷2×3÷3×7=63/8(立法cm)

と求められます。

(2)頂点B から、FC と平行に線を引くと、下の図3のように頂点H で交わります。

 

     Pic_3465a_2

求める体積は、

大きい立方体から三角すい台BHR-FCS を除いたものになります。

求め方は(1)と同様にすれば求めることができますが、

また違う方法を考えてみると、三角すい台BHR-FCS が

(1)の三角すい台EGP-AFQ と相似であることに注目して、

相似比が 1:2 より、体積比は、1:8 なので、

三角すい台BHR-FCS の体積は、

63/8 × 8 =63立法cmとなります。

よって、求める体積は、6×6×6 - 63 = 153立法cm です。

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食塩水濃度と重さは?(筑波大学附属駒場中学 2014年)

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大きな水槽に、濃度12%の食塩水が1kg入っています。

この水槽に、水と濃度12%の食塩水を、交互に次のように入れていきます。

1回目:水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を2kgにします。

2回目:水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を3kgにします。

以下同様に、

水と食塩水を交互に入れて、水槽の食塩水を1kgずつ増やしていきます。

そして、うすめるために一度に入れる水がちようど1kgになったとき、

その後は、食塩水と水を交互に1kgずつ入れ続けます。

(1)水槽の食塩水が2kgになったとき、濃度は何%ですか。

(2)うすめるために一度に入れる水が、初めてちょうど1kgになったとき、

   その1kgの水を入れて、 水槽の食塩水は何kgになりましたか。

(3)水槽の食塩水の濃度が最も低くなるとき、その濃度は何%ですか。

Ilm05_cb10028s

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(1)濃度を4/5倍にするためには、食塩水の重さを5/4倍にすればいいので、

加えた水の量は、1/4kgです。

以下、水と12%の食塩水の重さを考えます。

          水          12%の食塩水

最初                      1kg

1回目     1/4kg          3/4kg        =2kg

2回目     2/4kg          2/4kg        =3kg

3回目     3/4kg          1/4kg        =4kg

4回目     4/4kg                       =5kg

2kgのとき、水:12%の食塩水=1/4:(1+3/4)=1:7

12%×7/8=10.5%

(2)4回目に水を1kg入れて、食塩水は5kgになりました。

(3)水を1kg入れた時点で、

水:12%の食塩水=(1/4+2/4+3/4+4/4):(1+3/4+2/4+1/4)

=10/4:10/4=10:10=1:1

水と12%の食塩水は1:1、つまり、2.5kgずつなので、

濃度は12×1/2=6% です。

次からは、12%の食塩水1kgと水1kgが繰り返されるので、

6%の食塩水2kgが入れ続けられる、と考えれば、

最低濃度は、6%です。

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こんなパズル、あんなパズル(分野別中学受験算数パズル)

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Photo

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