中学入試算数６８分野別解法！

不思議な休憩室

2019年6月 3日 (月) つるかめ算, てんびん図, ぬり方, カード, クイズ, グラフ, ゲーム, サイコロ, ニュートン算, パズル, ベン図, 一筆書き, 中学入試, 仕事算, 体積, 倍数, 倍数算, 入れ方、並べ方、取り出し方、分け方, 分数, 分配算, 切り口, 割合と比, 単位換算, 周期性, 和差算, 回転体, 図形, 図形移動, 場合の数, 売買損益, 展開図, 差集め算, 平均算, 平面図形, 年齢算, 投影図, 折り紙, 操作計算, 数の性質, 方陣算, 旅人算, 日暦算, 日記・コラム・つぶやき, 時計算, 条件整理, 植木算, 比例, 水槽, 流水算, 消去算, 濃度, 点対称, 相似, 相当算, 立体のくりぬき, 立体図形, 算数, 算数オリンピック, 線分図, 虫食い算, 表面積, 見取り図, 規則性, 角度, 角度問題, 計算, 計算の工夫, 通過算, 速さ, 過不足算, 道順, 還元算, 集合算, 面積図, 面積比、長さ比, 食塩水, 魔方陣, Ｎ進法 | 固定リンク | コメント (1)

行き方は何通り？（栄光学園中学２０１８年　）

----------------------------------------------------

下の図のような、６つの正方形からなるマス目があります。

この正方形の辺を通って、点Ａから点Ｂへ行きます。

点Ａから点Ｂへ最短距離で行くときは５つの辺を通ることになりますが、

以下の問では最短距離では行かず、

７つや９つの辺を通る行き方を考えます。

ただし、同じ辺や頂点は２回以上通ってはいけないこととします。

（１）点Ａを右向きに出発します。

　　下の例のように行くと、点Ａから点Ｂまで７つの辺を通ることになります。

　　この行き方以外に、点Ａを右向きに出発して７つの辺を通って

　　点Ｂへ行く行き方は何通りありますか。

例

（２）点Ａを下向きに出発して、

　　７つの辺を通って点Ｂへ行く行き方をすべてかいてください。

Bandicam_20180211_101803912

（３）点Ａから点Ｂまで９つの辺を通る行き方は何通りありますか。

----------------------------------------------------

図解と解法例はこちらに！

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2019年5月10日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 算数, 中学入試, 場合の数, 道順, クイズ, パズル | 固定リンク | コメント (0)

ゲームをしたのは何回？（今年　２０１９年　桜蔭中学）

----------------------------------------------------

３人の中から１人の勝者が決まるゲームのトーナメントを考えます。

ゲームは必ず３人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに１から順に番号をふります。

番号の小さい順に３人ずつ組み、１回戦を行います。

３人の組にならない子どもは２人以下とし、そのまま２回戦に進みます。

２回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、１番から１１番の参加者１１人でトーナメントをするとき、

図１のように１回戦はａ、ｂ、ｃの３回ゲームを行い、

１０番と１１番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあとｄ、ｅの２回ゲームを行うと優勝者が１人決まります。

図１

2061

（１）１番から８１番の参加者８１人で１回戦を図２のように行うと、

優勝者が１人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか？

図２

（２）１番から２３５番の参加者２３５人でトーナメントを行うと、

優勝者が１人決まるまでに合計何回のゲームが行われますか？

（３）優勝者が１人決まるまでに合計２４　回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は図３のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか？

図３

----------------------------------------------------

解法例

（１）

８１÷３＝２７

２７÷３＝９

９÷３＝３

３÷３＝１

２７＋９＋３＋１＝４０回

（２）

２３５÷３＝７８・・・・・１

（７８＋１）÷３＝２６・・・・・１

（２６＋１）÷３＝９

９÷３＝３

３÷３＝１

７８＋２６＋９＋３＋１＝１１７回

（３）

逆に考えていきます。

（２＋１）÷３＝１

７÷３＝２・・・・・１

この７が１＋６か２＋５なのか調べます。

１＋６の場合、

（６＋１）÷３＝２・・・・・１

その前は、

（　　　）÷３＝６・・・・・１　なので、

（　　）＝１９

１９＝１８＋１　か　１７＋２　となって、

いずれの場合も２４ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

（５＋２）÷３＝２・・・・・１　なので、

その前は、

（　　）÷３＝５・・・・・２　より

（　　）＝１７

１７＝１６＋１　か　１５＋２　ですが、

２４ゲームになるのは、１６＋１なので、

（１６＋１）÷３＝５・・・・・２

その前は、

（　　）÷３＝１６・・・・・１　より、

（　　）＝４９人

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2019年3月 5日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 算数, 中学入試, クイズ, パズル, 数の性質 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

不合格だった人の数は？（２０１７年　海城中学）

----------------------------------------------------

４０人のクラスでＡ、Ｂの２種類のテストを行いました。

どちらのテストも１００点満点であり、６０点以上で合格です。

Ａの合格者は２７人、Ｂの合格者は２１人で、

Ａだけ合格した人の数はＢだけ合格した人の数の２倍でした。

また、Ａを８０点以上で合格した人は１３人で、

そのうちＢも合格した人は６人でした。

（１）ＡもＢも不合格だった人は何人ですか。

（２）Ａを８０点未満で合格したが、Ｂが不合格だった人は何人ですか。

----------------------------------------------------

（１）両方合格した人数を□とすると、

２７－□＝２×（２１－□）

２７－□＝４２－２×□

□＝４２－２７＝１５人

黄＝２７－１５＝１２人

緑＝２１－１５＝６人

両方とも不合格だった人数＝４０－（１２＋１５＋６）＝７人

（２）

Aが８０点以上でBは不合格だった人は、

１３－６＝７人　なので、

Ａを８０点未満で合格したが、Ｂが不合格だった人は

１２－７＝５人

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2019年1月20日 (日) 日記・コラム・つぶやき, 算数, 中学入試, クイズ, パズル, 集合算 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

この三角形の面積は何ｃ㎡？（今年　２０１７年　洗足学園中学）

----------------------------------------------------

面積が６ｃ㎡の正六角形をすき間なく敷き詰め、

図のように、三角形をかきました。

この三角形の面積は何ｃ㎡ですか？

3121

----------------------------------------------------

図のように等積移動して、

緑、水色、赤の３つの三角形に分けます。

3122

3123

緑＝３×２＋６＝１２ｃ㎡

水色＝３×２＋１×２＝８ｃ㎡

赤＝６×２＋３×４＋１＝２５ｃ㎡

求める面積＝１２＋８＋２５＝４５ｃ㎡

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2018年12月30日 (日) 日記・コラム・つぶやき, 算数, 中学入試, 平面図形, クイズ, パズル | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

光が通る部分の体積は？（２０１６年２日目　灘中学）

----------------------------------------------------

１辺の長さが６ｃｍの正方形のガラス板を６枚使って、

図のような立方体の形をした箱を作り、水平な床に置きます。

上面ＡＢＣＤの部分のガラス板は、

１辺の長さが３ｃｍの斜線部分の正方形の２辺が

箱の辺ＡＢ、ＡＤと重なるように置かれています。

ガラス板の斜線部分は光を通さず、斜線部分以外の部分は光を通します。

点ＱはＤの真上６ｃｍのところにあります。

ガラス板の厚さ、電球の大きさは考えないとすると、

電球が点Ｑの位置にあるとき、

箱の内部で、電球の光が通る部分の体積は何立方ｃｍですか。

Bandicam_20160127_092036959

----------------------------------------------------

光が届かない部分は、

図のように、青い正方形の下の緑部分になります。

Bandicam_20160127_090759792

この部分の体積は、

底辺が３×６÷２＝９ｃ㎡、高さが６ｃｍの三角柱から、

底辺が３×３＝９ｃ㎡、高さが６ｃｍの四角すいを引いたものです。

９×６－９×６÷３＝３６立方ｃｍ

したがって、光が通る部分は、

６×６×６－３６＝１８０立方ｃｍ

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2018年12月22日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 算数, 中学入試, 立体図形, クイズ, パズル | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

面積とグラフの関係は？（２０１７年　桐蔭学園中学校男子部）

----------------------------------------------------

【図１】のような辺ＡＤの長さが８ｃｍである長方形ＡＢＣＤがあります。

辺ＢＣ上に点Eをとります。

点Ｐは長方形ＡＢＣＤの辺上を毎秒１ｃｍの速さで、

点Ａを出発し、点Ｂを通って、点Ｃまで動くとします。

また、【図２】は、点Ｐが点Ａを出発してから点Ｃに着くまでの

時間と三角形ＡＰＥの面積の関係を表したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）辺ＡＢの長さは何ｃｍですか。

（２）ＢＥの長さは何cmですか。

（３）【図２】の(ア) (イ)にあてはまる数は、それぞれいくつですか。

（４）三角形ＡＰＥの面積が８㎠になるのは、

　　点Ｐが点Ａを出発してから何秒後ですか。すべて答えなさい。

----------------------------------------------------

（１）Bは、PがAからEまで動く中で、

△APEが最大になるときなので、９㎠のとき、

つまり、６秒後なので、６ｃｍです。

（２）９×２÷６＝３ｃｍ

（３）アはPがEに来たときで、ア＝６＋３＝９秒後

イはPがCに来たときで、（８－３）×６÷２＝１５㎠

（４）△APEが８㎠になるときは図のように３回あります。

１回目→８×２÷３＝５と１/３秒後

２回目→８×２÷６＝２と２/３ｃｍなので、

　　　　　　６＋（３－２と２/３）＝６と１/３秒後

３回目→９＋２と２/３＝１１と２/３秒後

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2018年12月17日 (月) 日記・コラム・つぶやき, 算数, 中学入試, グラフ, クイズ, パズル | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

時計算の難問！（開成中学　2014年）

----------------------------------------------------

ある世界では、１日が１０時間（午前５時間、午後５時間）、

１時間が２５分、１分が２５秒に区切られていて、

下の図のような時計を用いて時間を計っています。

現在の時間は午後２時５分０秒で、

時計の短針（黒）、長針（白）、秒針は正しい時刻を指しています。

この時計はこれからも正確に動くものとして、次の問に答えなさい。

　 Pic_3693q

（１）これから時間が進んで最初に短針と長針が重なる時刻を求め、

そのときの時計の３本の針を図に表しなさい。

（２）さらに時間が進んで

最初に短針と長針がちょうど反対向きになる時刻を求め、

そのときの時計の３本の針を図に表しなさい。

（３）現在（午後２時５分０秒）から、

３本の針がすべて同じ向きになって重なる回数を数えます。

ちょうど１００回目となるのは何日後で、

午前、午後のどちらの何時何分何秒ですか。

ただし、現在から２時間２０分後の午前０時から１日後が始まるものとします。

----------------------------------------------------

解法例

（１）秒針は１秒で、３６０÷２５＝１４．４度　進みます。

長針は、１分で、１４．４度　進みます。

短針は、１時間で、３６０÷５＝７２度進み、１分で、７２÷２５＝２．８８度進みます。

まず、長針と短針が重なる時刻を求め、そのときに秒針が重なるかどうかで判断します。

２時の時点で、長針と短針は、１４４度はなれているので、重なるのは、

　 １４４÷（１４．４－２．８８）

＝１４４÷１１．５２

＝１２．５分後

です。

長針の位置は、１２．５×１４．４＝１８０度のところで、

　 １２．５分＝１２分１２．５秒後（この世界では）

なので、秒針の位置も同じとなります。

よって、長針、短針、秒針が重なるのは、

午後２時１２分１２．５秒で、下の図１のようになります。

　（２）図１の状態から、長針と短針の作る角度が１８０度に

なる時刻を求めると、

　 １８０÷（１４．４－２．８８）＝１５と５/８分後

とわかります。

１２．５＋１５と５/８＝２８と１/８より、２時２８分と１/８分で、

１時間が２５分なので、３時３分と１/８分。

１/８分＝２５×１/８＝３と１/８秒なので、長針と短針が

反対向きになるのは、午後３時３分３と１/８秒です。

また、秒針と分針が重なることがわかります。

３時３分３と１/８秒を図に表すと、下の図２のようになります。

　（３）（２）より、長針が短針と１８０度はなれるとき、

長針と秒針が重なることがわかります。

つまり、この後、長針と短針が重なるとき、必ず秒針も重なる

ということになります。

（２）より、長針と短針が重なるのは、

　　 １５と５/８　×２　＝　３１と１/４分ごと

とわかります。

午後２時１２分１２．５秒を１回目として、３本の針が１００回目に

重なるのは、

　　３１と１/４　×　９９　＝１２５×９９/４＝１２３７５/４

　＝３０９３と３/４分後

　　３/４分＝２５×３/４＝１８と３/４秒

　　３０９３分＝３０９３÷２５＝１２３時間１８分

　　１２３時間＝１２３÷１０＝１２日と３時間

より、１２日と３時間１８分１８と３/４秒後が１００回目で、

　　　　 午後２時１２分１２と１/２秒の

　　１２日と３時間１８分１８と３/４秒後は、

　　１２日と午後５時３０分３１と１/４秒後で、

　　１３日後の午前１時６分６と１/４秒

です。

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2018年12月 9日 (日) 日記・コラム・つぶやき, 算数, 中学入試, クイズ, パズル, 時計算 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

重なった立方体の切り口は？（久留米大学附設中学　2012年）

----------------------------------------------------

下の図のように、１辺の長さが６ｃｍの立方体の上に、

１辺の長さが３ｃｍの立方体を置きます。

３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面でこの立体を切ったとき、

次のような立体の体積を求めなさい。

ただし、点Ａ，Ｂ，Ｄは頂点、点Ｃは辺の中点で、

点Ａから点Ｄまで結ぶ辺は一直線になっています。

　　　　　 Pic_3462q

（１）小さい方の立方体で、この平面より下側の部分

（２）大きい方の立方体で、この平面より下側の部分

----------------------------------------------------

解法のヒント！

（１）まず、同一平面上にある点Ａと点Ｂ，点Ａと点Ｃを

下の図１のように直線で結ぶと、３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面は

図１の点Ｅ，Ｆを通ることがわかります。

ここで、点Ｂと点Ｆを結ぶと、

下の図２のように点Ｇを通ることがわかります。

----------------------------------------------------

解法例

すると、求める体積は、図２の三角すい台ＥＧＰ－ＡＦＱとなります。

三角すいＢ－ＥＧＰと三角すいＢ－ＡＦＱの相似比が１：２なので

２つの三角すいの体積比は、１×１×１　：　２×２×２＝１：８で、

三角すい台ＥＧＰ－ＡＦＱの体積は、三角すいＢ－ＥＧＰの７倍で、

１．５×１．５÷２×３÷３×７＝６３/８（立法ｃｍ）

と求められます。

（２）頂点Ｂから、ＦＣと平行に線を引くと、下の図３のように頂点Ｈで交わります。

求める体積は、

大きい立方体から三角すい台ＢＨＲ－ＦＣＳを除いたものになります。

求め方は（１）と同様にすれば求めることができますが、

また違う方法を考えてみると、三角すい台ＢＨＲ－ＦＣＳが

（１）の三角すい台ＥＧＰ－ＡＦＱと相似であることに注目して、

相似比が１：２より、体積比は、１：８なので、

三角すい台ＢＨＲ－ＦＣＳの体積は、

６３/８ × ８＝６３立法ｃｍとなります。

よって、求める体積は、６×６×６－６３＝１５３立法ｃｍです。

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2018年11月14日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 算数, 中学入試, 立体図形, クイズ, パズル | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

食塩水濃度と重さは？（筑波大学附属駒場中学　２０１４年）

----------------------------------------------------

大きな水槽に、濃度１２％の食塩水が１ｋｇ入っています。

この水槽に、水と濃度１２％の食塩水を、交互に次のように入れていきます。

１回目：水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の４/５倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度１２％の食塩水を加えて、水槽の食塩水を２ｋｇにします。

２回目：水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の４/５倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度１２％の食塩水を加えて、水槽の食塩水を３ｋｇにします。

以下同様に、

水と食塩水を交互に入れて、水槽の食塩水を１ｋｇずつ増やしていきます。

そして、うすめるために一度に入れる水がちようど１ｋｇになったとき、

その後は、食塩水と水を交互に１ｋｇずつ入れ続けます。

（１）水槽の食塩水が２ｋｇになったとき、濃度は何％ですか。

（２）うすめるために一度に入れる水が、初めてちょうど１ｋｇになったとき、

　　　その１ｋｇの水を入れて、水槽の食塩水は何ｋｇになりましたか。

（３）水槽の食塩水の濃度が最も低くなるとき、その濃度は何％ですか。

Ilm05_cb10028s

----------------------------------------------------

（１）濃度を４/５倍にするためには、食塩水の重さを５/４倍にすればいいので、

加えた水の量は、１/４ｋｇです。

以下、水と１２％の食塩水の重さを考えます。

　　　　　　　　　　水　　　　　　　　　　１２％の食塩水

最初　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１ｋｇ

１回目　　　　　１/４ｋｇ　　　　　　　　　　３/４ｋｇ　　　　　　　　＝２ｋｇ

２回目　　　　　２/４ｋｇ　　　　　　　　　　２/４ｋｇ　　　　　　　　＝３ｋｇ

３回目　　　　　３/４ｋｇ　　　　　　　　　　１/４ｋｇ　　　　　　　　＝４ｋｇ

４回目　　　　　４/４ｋｇ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５ｋｇ

２ｋｇのとき、水：１２％の食塩水＝１/４：（１＋３/４）＝１：７

１２％×７/８＝１０．５％

（２）４回目に水を１ｋｇ入れて、食塩水は５ｋｇになりました。

（３）水を１ｋｇ入れた時点で、

水：１２％の食塩水＝（１/４＋２/４＋３/４＋４/４）：（１＋３/４＋２/４＋１/４）

＝１０/４：１０/４＝１０：１０＝１：１

水と１２％の食塩水は１：１、つまり、２．５ｋｇずつなので、

濃度は１２×１/２＝６％　です。

次からは、１２％の食塩水１ｋｇと水１ｋｇが繰り返されるので、

６％の食塩水２ｋｇが入れ続けられる、と考えれば、

最低濃度は、６％です。

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓