立方体制作と場合の数（久留米大学附設中学 ２０１０年）

黒玉と白玉を合わせて８個と棒12本を使って立方体の形を作るとき、黒と白の異なる配置は何通りあるかを求めます。
ただし、回転を組み合わせて同じ位置に出来るときは、異なる配置とは考えません。たとえば、黒玉１個、白玉７個の場合、下のように一見①から⑧のように８通りありそうですが、①から適当に回転を組み合わせて②～⑧にすることができるので、この場合の異なる配置は、１通りです。

（１）黒玉２個、白玉６個の場合、異なる配置は３通りです。黒玉の場所を2ケ所塗ることで、異なる配置を書きなさい。
（２）黒玉４個、白玉４個の場合、異なる配置は何通りあるのかを、必ず異なる配置だけを書くことで答えなさい。
もし、同じ配置を２つ以上書いていたら、その配置はいずれも書いていないものとして採点します。上の例でいえば、①と②が書いてあれば，何も書いていないことになります。
（３）黒玉も白玉も必ず１個以上使うとき，異なる配置は全部で何通りですか。

イメージ図と答え

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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）