色のついた図形の面積は?(今年 2018年 栄東中学東大クラス選抜 改題)

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下の図は、正十二角形に対角線を引いて作った図形です。

色のついた図形の周囲の長さが72cmのとき、

色のついた図形の面積は何㎠ですか?


3261_2

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3262

正十二角形の1つの内角は150°

六角形、AHIJKLの内角の和は720°なので、

∠PAL=(720-150×4)÷2=60°より、

∠PAB=90°

したがって、△ABXは正三角形、

四角形ABQPは正方形になります。

六角形QRSTUは正六角形なので、

内部の水色の正三角形6個を緑部分に移動すると、

求める面積は、正方形6個分になります。

正十二角形の1辺の長さは、

72÷24=3cmなので、

求める面積は、3×3×6=54㎠

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682

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直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF=90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。 

AG=5cm、GD=15 cm のとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

1  

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解法例

 

下図のように、

 

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

 

正方形FHBEを作ります。

 

さらに、この正方形FHBEを

 

直角三角形EBCと、それと合同な三角形3個の計4個で囲んで、

 

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

 

2

 

ここで、JF=LI=BC=20 cm。

 

いま、LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40 cm-①

 

次に、三角形ABGと三角形LBFは相似なので、

 

LF:LB=AG:AB=5:20=1:4

 

これにより、LB=JK=④

 

JI=JKより、40cm-①=④ 

 

⑤=40cm → ①=8cm。

 

JK=KC=IC=JI=40cm-8cm=32 cm、

 

HK=BC=IE=JF=20 cmなので、

 

KB=EC=FI=JH=32cm-20cm=12 cm

 

以上から、

 

直角三角形BEF

 

=正方形FHBE÷2

 

=(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

 

=(32×32-20×12÷2×4)÷2

 

=(1024 - 480)÷2=272c㎡

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682

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切断される立方体の個数は?(今年、2018年 浦和明の星女子中学)

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1辺の長さが1cmである小さな立方体をいくつか組み合わせて、

直方体を作ります。

(ア) 図1のような3辺の長さがそれぞれ2cm、2cm、3cmの直方体を作り、

  3つの頂点A、B、C を通る平面で切断します。

  このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図1

1201

(イ)図2のような3辺の長さがそれぞれ4cm、4cm、6cmの直方体を作り、

  3つの頂点D、E、F を通る平面で切断します。

  このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図2

1203

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(ア)

Bandicam_20180120_080648466

一番上の段は図のように3個、

Bandicam_20180120_080814630_2

2段目も3個、

Bandicam_20180120_080924769

一番下の段は1個

Bandicam_20180120_081019378

合計、3+3+1=7個

(イ)

上の段から順番に数えていきますが、

2段目が難しいですね。

Bandicam_20180120_162931174_2

1段目➡7個

2段目➡9個

3段目➡5個

4段目➡3個

5段目➡3個

6段目➡1個

合計、7+9+5+3+3+1=28個

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682

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この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)

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下の図のような底面が正六角形で、

側面がすべて合同な長方形でできた立体があり、

底面積は324㎠、高さは12cmです。

この立体の6つの点A、B、C、D、E、Fを結んでできる立体Pを考えます。 

このとき、次の各問いに答えなさい。


ただし、三角すいの体積は (底面積) ×(高さ) ÷3で求めることができます。

11261 



(1)立体Pの体積は何立方cmですか。 

(2)底面DEFから高さが4cmのところで底面と平行な面で立体Pを切った とき、

  底面DEFを含む立体の体積は何立方cmですか。

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11262

(1)全体から、△黄を底面とし、高さ12cmの三角すいを6つ引くと

立体Pの体積が求められます。

△黄は正六角形の1/6なので、

324÷6=54㎠

したがって、

P=324×12-54×12÷3×6=2592立方cm

(2)△赤は△黄と相似で、

各辺の長さは1/3なので、

1:1/3=3:1→面積比は3×3:1×1=9:1

54×1/9=6㎠

△青は△黄と相似で、

各辺の長さは2/3なので、

1:2/3=3:2→面積比は3×3:2×2=9:4

54×4/9=24㎠

求める立体の体積は、高さ4cmの正六角柱から、

高さ4cm、底面積6㎠の三角すい3つと、

高さ12cm、底面積54㎠の三角すいから

高さ8cm、底面積24㎠の三角すいを引いた円すい台3つを引きます。

324×4-6×4÷3×3+(216-24×8÷3)×3

=1296-(24+456)

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682

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=816立方cm

開いている?閉まっている?(2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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