開いている?閉まっている?(2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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立方体の切断と体積(東邦大学付属東邦中学 2017)

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図のような、1辺の長さが6cmの立方体ABCDEFGHがあります。

また、点Mは辺AEを2等分する点です。

このとき、次の問いに答えなさい。

Bandicam_20171231_081526574
(1)3点A、C、Fを通る平面でこの立方体を切り分けたとき、

  点Hを含む立体の体積を求めなさい。

(2)(1)で体積を求めた立体を、3点D、F、Mを通る平面で切り分けたとき、

  点Aを含む立体の面の数を求めなさい。

(3)(2)で面の数を求めた立体の体積を求めなさい。

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色のついた図形の面積は?(今年 2018年 栄東中学東大クラス選抜 改題)

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下の図は、正十二角形に対角線を引いて作った図形です。

色のついた図形の周囲の長さが72cmのとき、

色のついた図形の面積は何㎠ですか?


3261_2

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知っておきたい立体の体積の計算方法(芝中学 2012年)

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下の図1は1辺が 9cm の立方体です。

  Pic_3062q

下の図2は、この立方体をある平面で切り取った残りの立体を

A,B,C の方向から見た図です。

この切り取った残りの立体の体積を求めなさい。

      Pic_3063q

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こたえ

まず、簡単な C の方向から見た図を参考に、

切断された立体を考えると、下の図3のようになります。

  Pic_3064a

ここに、Bから見た図を描き加えると、下の図4のようになります。

  Pic_3065a

この立体は切断四角柱です。

まったく同じ立体を逆にして上に乗せると、

四角柱になります。

1 

高さは6+6=12cmですから、

残った立体の体積=9×9×12÷2=486立方cm です。

また、切断四角柱の体積は、

【 底面積 】 × 【 4辺の平均の高さ 】

として求めることもできるので、

B、Cの右辺の高さが9cmとわかれば、

残った立体の体積=(9×9)×{(3+6+6+9)÷4}

=81×6=486立法cm とも計算できます。

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口のタイルは何枚ある?(2016年 昭和女子大学附属昭和中学)

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○と口と×は、同じ大きさの正方形のタイルです。
 
これらを図のように、
 
ある規則に したがって全体の形が正方形になるように並べました。
5253
 
10番目の図の中に口のタイルは何枚ありますか?


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5番目は図のように並びます。

Bandicam_20160525_083729558
1番目

タイル→1×1
○→1×1

2番目

タイル→2×2
○→1×1
×→1×1

3番目

タイル→3×3
○→2×2
×→1×1

4番目

タイル→4×4
○→2×2
×→2×2

5番目

タイル→5×5
○→3×3
×→2×2

6番目

タイル→6×6
○→3×3
×→3×3

・・・・・・・・
10番目

タイル→10×10
○→5×5
×→5×5  なので、

□=100-25×2=50個

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