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2013年2月

二等辺三角形を見つける(共立女子第二中学 2010年 )

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下の図で,AB=CDであるとき,次の各問いに答えなさい。

(1) 角アは何度ですか。

(2) 角イは何度ですか。

(3) この図の中に二等辺三角形はいくつありますか。

1

参考イメージ図と答え

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周期性の特徴をつかむ(豊島岡女子学園中学 2009年)

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次のように21を2009個かけたときの下2けたの数はいくつですか。

1

計算と解法例

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時計の長針と短針の回転数(東海大学付属浦安高校中等部 2009年 )

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午前3時から午後3時までの12時間で長針と短針が重なる回数は何回ですか。

Ae24rdj403w_a

参考イメージ図と回転の性質

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回転体の体積の法則(灘中学 1970年 2日目)

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半径3cmの円の中心が直線ABから7cm離れています。この円をABの周りに1回転させたときにできる立体の体積は何立方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。

0810_0903

考え方と法則

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等積の活用方法

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図は長方形と1/4の円を組み合わせたものです。
「あ」と「い」の部分の面積が等しいとき、長方形の横の長さは何cmですか。
ただし、円周率は3.14とします。

1_2

等積の活用と計算

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割り算のあまりの性質

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ある森で、リスたち20匹が110個の栗を平等に分けようと相談していました。そこへ、ずるがしこいサルが通りかかり、知恵をかそうと言うのです。

「110÷20と11÷2は同じことだから、リス君1匹に5個ずつ分けて、あまりの1個は僕がもらう」

と言って、リスたちに5個ずつ配り、あまりを持っていってしまいました。本当にサルは1個だけ持っていったのでしょうか?

Ilm11_ab07008s

計算してみればすぐわかりますが、

110÷20=5・・・10

11÷2=5・・・1

商(1匹ずつの分け前)は同じなのですが、

あまりは元の小数点に従います。

サルはリスよりも多い10個の栗を持っていってしまったわけです。

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合同な図形による分割方法

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下の図は、正三角形と直角三角形を組み合わせた図形です。同じ合同な図形で4等分してください。

1_4

4等分した図形の解法例

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半円と等しい面積の扇形の中心角は?

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半径が3cmの半円を,図のように点Aを中心に回転させます。半円の面積と,斜線の部分の面積が等しいとき,角Xは何度ですか。円周率は3.14とします。

1102_0301

参考イメージ図と解法例

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7で割り切れる数の探し方(攻玉社中学 2009年)

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2009のように百の位と十の位が0である4けたの整数を考えます。
このような整数のうち2009のように7で割り切れるものは全部で何個ありますか。(ただし,2009は除きます)

考え方と解法例

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等積移動して求めやすい形にする(大阪星光学院中学 2012年)

下の図のように、点Oを中心、ABを直径とする半径6cmの円があります。角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

  

Pic_3243q_2

参考イメージ図と解法例

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三平方の定理、小学生バージョンの解き方(江戸川女子中 2009年)

図のように、1辺17cmの正方形から同じ形の直角三角形を4つ切り取ってできる正方形の1辺の長さは何cmですか。

1

2通りの解法例

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重なった部分の面積は1/4

一方の対角線の交点に、もう一方の頂点がくるように同じ正方形を重ねたら、重なった部分の面積は正方形の何分のいくつでしょう?

1

法則と答え

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サイコロの目の決まりを使う計算(藤女子中学 2010年 )

サイコロには,1から6の数がかかれており,向かい合う面にかかれている数の和は7になります。いま,サイコロを台の上にたてに積み重ね,台と接する面にかかれている数とサイコロどうしが接する面にかかれている数を「かくれている数」と呼ぶことにします。

(1) 図のように,サイコロを6個積み重ねたとき,「かくれている数」の和を求めなさい。

(2) 30個のサイコロを積み重ねたとき,「かくれている数」の和が207になりました。一番上の面の数を求めなさい。

(3) 14個のサイコロを2個,3個,4個,5個に分けて積み重ね,各組の一番上の数がすべて異なるようにしました。これら4組のすべての「かくれている数」の和が81になりました。一番上の面の数を4つとも求めなさい。

1008_0201

計算の仕方と答え

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トラック回りのすれ違い法則と考え方

図のような1周400mのトラックに150m離れた2つの地点P,Qがあります。A君は秒速3mで時計と反対回りにPから,B君は時計回りにQから同時に走りはじめました。A君はトラックを15周,B君は20周まわって,それぞれ出発地点のP,Qに同時に着きました。

(1) B君は秒速何mで走っていましたか。

(2) A君とB君が5回目にすれちがうのは,スタートしてから何秒後ですか。

(3) 走っている間に,A君とB君は何回すれちがいましたか。

1_2

考え方と法則

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30゜、60゜、90゜の直角三角形の分割方法(西大和学園中 2010年)

図の色のついた三角形は、一番大きな直角三角形の何倍になりますか?

1_2

参考イメージ図と解答

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四角すいと三角すいの組み合わせイメージ(栄光学園中 1998年 ).

どの辺の長さも3cmである四角すいをA、どの辺の長さも3cmである三角すいをBとします。AとBを何個か使って、すき間なく組み合わせると、どの辺の長さも6cmである四角すいができます。AとBはそれぞれ何個ずつ必要ですか。

0_2   

組み合わせた立体イメージ図

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「ヒポクラテスの三日月」の面積の求め方(関東学院六浦中 2007年)

図は、直角三角形ABCと、それぞれの辺を直径とする半円です。
AB=8cm、BC=10cm、AC=6cmのとき斜線の部分の面積は何cm2ですか。ただし、円周率は3.14とします。

0801_0402

参考イメージ図による解法

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平面植木算の考え方

1枚の画用紙があります。この画用紙に直線を1本引くと下の図A のように、【 ア 】、【 イ 】の2つの部分に分けることができます。直線を2本引くと、図B の場合は3つの部分にしか分けることができませんが、図C の場合は4つの部分に分けることができます。このとき、次の問に答なさい。

 Pic_2740q

(1)直線を4本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、何個の部分にわけることができますか。

(2)直線を10本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、何個の部分にわけることができますか。

規則性と答え

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正三角形の周りを動く円のイメージ(麻布中学 2011年)

図1のように,一辺が1cmの正三角形を底面とする三角柱が平面の上に固定されていて,半径1cmの円形の輪が,三角柱が内部にくるように平面上に置かれています。この輪を平面上で動かすことを考えます。図2は輪が動く様子を真上から見たものです。

3171

(1)輪が動けるところをすべて動いたとき,輪が通過した剖分を,図中に境界となる線をかいたうえで斜線で示しなさい。ただし,太線の正三角形を三角柱の底面とします。

3172

(2)(1)で答えた部分の面積を求めなさい。

アニメーションイメージと答え

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7で割ると同じ余りになる曜日の性質

下の図は2009年の4月のカレンダーです。この表で例えば金曜日の日付を7で割ると3あまり、土曜日の日付を7で割ると4あまるので、この2つの曜日の日付の和は7で割り切れ、積は7で割ると5あまります。

0908_0102

また、火曜日の日付は7で割り切れ、日曜日の日付は7で割ると5あまるので、この関係を(金)+(土)=(火)、(金)×(土)=(日)のように表すことにします。

ただし、引き算については、引き算ができる日付の組み合わせのみ考えます。

次の□にあてはまる曜日を答えなさい。

(1) (月)+(水)=(□)

(2) (金)-(日)=(□)

(3) (月)×(水)×(土)=(□)

(4) (木)×{(金)-(火)}-(水)×(日)=(□)

計算方法と答え

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同じ頂点を持つ正三角形の特質

下図において三角形ABEと三角形CDEはともに正三角形で,A,Cを結ぶ直線とB,Dを結ぶ直線は点Oで交わっています。

(1) OA,OB,OCの長さがそれぞれ8cm,5cm,1cmのときODの長さは何cmですか。

(2) アの角の大きさが23度のとき,イの角の大きさは何度ですか。

1003_1002

参考イメージ図による解説と解法

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タルタリアの三角形とは?

21+22+23+24 と同じ答えを、

連続した5つの整数の和で表してください。

タルタリアの三角形と答え

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正方形の分割方法

  • 次の図は正方形の頂点と辺の4等分点を結んだものです。正方形ABCDの面積は緑の小さな正方形の面積の何倍ですか。
  • 1

    参考イメージ図による解法

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    展開図から三角錐の体積を求める(開智中学 先端A改題 2009年)

    次の図1の正方形内の斜線部分と合同な二等辺三角形4枚で、図2のような展開図を作りました。この展開図を組み立てたときにできる三角錐の体積を求めなさい。

    0903_0706

    立体イメージ図と解法

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    正三角形の分割方法

    図のように、面積が8c㎡の正三角形ABCの高さを一辺とする正三角形ADEの面積は何c㎡ですか。

    1_2

    イメージ図と解法

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