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2013年6月

旅人算で解く点の移動

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正方形ABCDの周上を点Pと点Qが点Aと点Cの位置から同時に出発します。点P,点Qの速さはそれぞれ毎秒16cm,毎秒6cm とします。

(1)点Pと、点Qの間の辺上ではかった距離がはじめて70cmになるのは、出発してから何秒後ですか。

(2)点Pと点Qがはじめて同じ辺上にくるのは、出発してから何秒後ですか。

1_4

解説と解放例

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等しい面積を利用して解く頻出問題

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半径6cmのおうぎ形があります。斜線部分の面積を求めなさい。

Toumen

イメージ図と答え

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相似形を利用して解く旅人算

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兄は家から3.6km離れた町まで1時間で歩きました。弟は兄より25分おくれて自転車で家を出発し、途中で兄を追い抜き町に20分で着きました。追い抜いた地点の家からの距離と時間を求めなさい。

Ilm23_hb03011s

裏技と答え

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食塩水問題をてんびん図で解く方法

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濃度6%の食塩水Aと,濃度8%の食塩水Bがあります。食塩水Aから6g,食塩水Bから10gをとりだし,水100gに混ぜ合わせてできる食塩水をCとします。食塩水Cと同じ濃度の食塩水を作るには,水100gに食塩水Aを何g混ぜ合わせればよいか答えなさい。

1_5

考え方と答え

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斜めに切った円柱や角柱の体積を求める方法

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斜めに切った円柱や角柱の体積を求めるには、どうすればいいでしょうか?

1_4

イメージアニメーションと答え

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売買損益の考え方

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仕入れ値の2割増しの定価が600円の商品があります。この商品を100個まとめて仕入れると、仕入れ値が1割引きになります。ただし、その場合売れ残っても返品できません。この商品を100個まとめて仕入れ、定価通りに1個600円で売ったところ、売れ残りそうなので、途中から1割引きで売り、全部で95個売って9000円の利益を得ました。

(1)割り引きのないときの仕入れ値は1個いくらですか。

(2)もし定価通りに全部売りきれたとしたら利益はいくらになったでしょう。

(3)600円で売れたのは何個ですか。

解説と解法例

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3で割ると1余り、5で割ると2余り、7で割ると3余る最小の数の求め方

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3で割ると1余り、

5で割ると2余り、

7で割ると3余る

最小の数を求めなさい。

求め方と解答例

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点の反射イメージをつかむ

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頂点から出発した点は毎秒、図アに示された矢印の速さで辺と45度の角の方向に進み、辺につきあたると進んできた方向と直角の方向に向きをかえて進むことにします。下図は辺ABが21cm、辺BCが15cmの長方形で点Pが頂点Aから出発して、Cに到着するまでの道順を示しています。このとき次の問いに答えなさい。

(1)点Pが辺BC上のEにつくのはAを出発してから何秒後ですか。

(2)点PがCにつくのはAを出発してから何秒後ですか。

(3)点PがAから、点QがCから同時に出発するとき、点Pと点Qとが出会うのは出発してから何秒後ですか。

(4)点PがAから、点RがBから同時に出発するとき、点Pと点Rとが2回目に出会うのは出発してから何秒後ですか。

(5)点PがAから、点SがDから同時に出発するとき、点PがCに到着するまでに点Pと点Sとは何回出会いますか。

Tenhansha

点の反射イメージと解法例

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面積差の求め方

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図のような辺ADと辺BCの長さの比が1:4の台形ABCDがあります。点Eは辺BCの上にあり、BEとECの長さの比は1:4です。また、点FはAEとBDの交わった点です。三角形DBCの面積が80c㎡であるとき、三角形FADと三角形FEBの面積の差は何c㎡ですか。

Mensa

考え方と解法例

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半円が回転した跡の面積を求める方法

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半円が回転してできた影の部分の面積はどうやって求めますか?

1_3

イメージアニメーションと答え

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時間と距離を図解して解く方法

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A君がオートバイに乗って山に向かっています。山に向かってクラクションをならすと12秒後にこだまが聞こえてきました。それから10秒後に再びならすと、今度は8秒後にこだまが聞こえてきました。音の速さを毎秒340mとするとオートバイは山に向かって時速何kmで走っていますか。

Csmr007s

図解と答え

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移動グラフの読み方

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同じ道を通って、太郎君はA町からB町へ、花子さんはB町からA町へそれぞれ向かいました。2人は同時に出発し、途中、太郎君は10分間休憩をしましたが、花子さんは休憩をしませんでした。下のグラフは、2人が同時に出発してからかかった時間と、2人の間の距離との関係を表したものの一部です。ただし、動いているときの2人の速さはそれぞれ一定とします。つぎの問いの□の中にあてはまる数または記号を答えなさい。

(1)2人が同時に出発してから9分後の2人の間の距離は□mです。
(2)上のグラフの点ア、点イ、点ウ、点エのうちで、2人が出会ったときを表しているのは点□です。
(3)太郎君の速さは分速□mで、花子さんの速さは分速□mです。
(4)A町とB町は□m離れています。

Zi1

グラフの読み方と答え

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正三角形の使い方

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次の図で四角形ABCDは1辺が10cmの正方形です。正方形の内部に点Pを取ると、角PBCと角PCBがともに15度になりました。このときAPの長さは何cmですか。

1008_0401

イメージ参考図と解法例

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3つと2つの帽子問題の推理法

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3人で100m競争をします。白い帽子が3つ、赤い帽子が2つあることを3人に教えてから、3人の後ろから本人にはわからないように帽子をかぶせました。3人は他の2人の帽子の色はわかりますが、自分の色は見えません。自分の帽子の色が白ならスタートしてもよいことにします。ただし赤い帽子なのにスタートしたら失格です。

帽子をかぶせられた3人はしばらく考えていましたが、同時にスタートしました。どうして自分の帽子が白だとわかったのでしょうか?

1_2

推理と答え

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道順が何通りあるか数える方法

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図は等しい間かくで縦横につくられた道路図です。図のAより出発して最短コースを通ってBに行きます。図の中の数字はその地点に行くまでの道順が何通りあるかを示しています。図のア,イ,ウ,エにあてはまる数はいくつですか。

Zu1

数え方と答え

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相似比の活用法(早稲田中学 2005年改題)

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底辺BCが7cm,高さACが8cmの三角形ABCがあります。

(1) 四角形PQCSが長方形でPQの長さが6cmのとき,QCの長さは何cmですか。

(2) 四角形PQCSが正方形のとき,QCの長さは何cmですか。

考え方と解法例

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玉入れの場合の数の考え方

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1から10までの番号がついている箱があります。この10個の箱の中に、区別のつかない10個の玉を全部入れていきます。ただし、玉が入っていない箱があってもよいものとし、また、1つの箱に入れることのできる玉の個数は、1個か2個であるものとします。このとき、次の問に答えなさい。

(1)玉が入っていない箱が1番の箱だけであるような玉の入れ方は何通りありますか。

(2)玉が入っていない箱が1番と2番の2つの箱だけであるような玉の入れ方は何通りありますか。

(3)玉が入っていない箱がちょうど2つの箱だけであるような玉の入れ方は何通りありますか。

場合の数の考え方と解答例

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割り算と分数の加工方法(西武学園文理中学 2012年 )

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0

のように、割り算は分数で表すことができます。

このことを利用すると、

1_3

のように表すことができます。

このとき、次の式をみたす整数Aの値を求めなさい。

2

変形方法と解答例

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円周率が3.14のときのおうぎ形の割合(灘中学 2007年)

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図のように正方形が2つあり、小さい正方形の中に円があります。
色部分の面積は何cm2ですか。

1_4

イメージ参考図による解法例

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表計算の考え方(早稲田実業学校中等部 1975年)

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下の表は次のことを表しています。

ア+イ+ウ=8、

A+B+C=10、

ア+A=5、

イ+B=6、

ウ+C=7

このような、1以上の整数の組(ア、イ、ウ、A、B、C)は何通りありますか。

1_2 

数え方と解法例

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倍数変化算の解き方

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兄と弟の持っているお金の比は4:3です。その後、兄が300円増えたので、その比が2:1になりました。兄と弟がはじめに持っていたお金はそれぞれいくらですか?

4271

線分図による解法例

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同じ分数をかけて整数にする方法

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8/9と4/15の両方に同じ分数をかけて整数にしたいのですが、かける分数のうち最も小さい分数はいくつですか?

Cocolog_oekaki_2013_06_08_10_59 

考え方と解法例

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曲線部分の法則

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底面の円の半径が5cmの円柱4つを下図のように糸でしばったときの長さを求めなさい。ただし,結び目の長さは考えません。

1_2

法則と解法例

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相似比と体積比の計算方法

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1辺の長さが1の立方体と、

1辺の長さが2の立方体の体積比は、何対何でしょうか?

1

相似比と体積比の関係

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立方体のくりぬき図形を考える!(ラ・サール中学 2009年)

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(1)下の図1の1辺が4cmの立方体について、長方形ABCDから向かい合う面までを垂直にくり抜いてできる図形の体積はいくらですか?

Mon1_2 

(2)(1)でできた図形について、さらに長方形EFGHから元の立方体の向かい合う面までを垂直にくり抜いてできる図形の体積はいくらですか?

Mon2_3

(3)(2)でできた図形を、3点P、Q、Rを通る平面で切ったときにできる切断面を図2に斜線で示しなさい。また、切り口の面積と三角形PQRの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

「ABCDでくり抜く立体の形は?」

「1cm×2cm×4cmの直方体」

(キャラの赤矢印をクリックしてみてください)

「これを全体から引けばいいね」

4×4×4-1×2×4=56立方cm

「EFGHでくり抜くと、もうくり抜かれたところが重なる」

「1cm×1cm×1cmの立方体が最初64個あったって考えて、上から1段ずつくり抜かれなかったものを数えてみるとわかりやすいよ」

「わかりやすくはないけど・・・、一番上の段は全部あるから16個」

Ue1

「次の段は?」

Ue2

「6個残ってる」

「3段目は?」

Ue3

「12個残ってる」

「一番下は?」

Ue4

「全部残ってるから16個」

「合計で?」

16+6+12+16=50立方cm

「(3)はイメージしにくい」

「△PQRはどんな三角形?」

「正三角形!」

「小さい立方体の切り口も全部正三角形になる」

「ほんと?」

「ただし、2段目と3段目はくり抜かれて、もうなくなってしまった立方体の場所を考えないとね」

「想像できない」

「緑の部分は正三角形11個分。三角形全体は16個分」

面積比は11:16

「ムズイ!」

「1段1段書いてみたら?」

「それができたら苦労しない」

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比の統一方法

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甲の袋と乙の袋に白い玉と黒い玉が混ぜて入れてあります。甲、乙の袋の中にある玉全体の数の比は8:3で、白い玉と黒い玉の数の比は、甲では1:3で、乙では4:5です。そして、甲、乙の玉をあわせた全体では白い玉は黒い玉より156個だけ少なくなります。甲の袋に入っている玉の個数はいくらですか。

比のそろえ方と解法例

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重なり部分の面積を考える(麻布中学 2013年)

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半径が3cmの円の周上に点Aがあります。点Aを中心として,この円を30°回転させてできる円が図のようにあります。斜線部の面積を求めなさい。

3

参考イメージ図と解法例

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平行線を利用した角度の求め方(鎌倉学園中学 2013年)

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下の図のように、平行な2直線と2個の正六角形があります。

図の角アの大きさを求めなさい。

 Pic_3417q

平行線の利用と解法例

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