算数解法の極意！: 2013年9月

分母はいくつ？（青山学院中）

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約分すると４/９になる分数で、分母の数から分子の数を引くと１０５になる分数の分母はいくつ？

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考え方と答え

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面積比を求める基本（慶應義塾中等部　２０１２年）

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図のように、平行四辺形ABCDの辺BC上にBE：EC＝２：１となる点Eをとり、AEとBDの交点をFとします。四角形FECDの面積と平行四辺形ABCDの面積の比を、最も簡単な整数の比で表すと何対何ですか。

図解と解法例

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同じ長さを見つける！（奈良学園中学　2011年）

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下の図は、辺の長さが同じ正五角形、正方形、正三角形からできています。赤線は、正三角形の頂点と正方形の頂点を結んでいます。図の中の角ア、イの大きさをそれぞれ求めなさい。

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参考イメージ図と解法例

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パターン分けの方法（筑波大学附属駒場中学　２０１３年）

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円の周上にある偶数個の点を，次の《きまり》にしたがって，２つずつ選んでまっすぐな線で結びます。

《きまり》

・円の周上にあるどの点も，必ず１回だけ選びます｡

・円の中にあるどの線も，交わらないようにします。

たとえば，円の周上に①から④の４個の点があるとき，このような線の引き方は，下の図の２通りです｡

円の周上に次のように点があるとき，線の引き方はそれぞれ何通りありますか。

（1）①から⑥の６個の点があるとき

（２）①から⑧の６個の点があるとき

（３）①から⑩の１０個の点があるとき

パターンのイメージ図と解法例

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扇形の回転イメージをつかむ！（麻布中学　2000年）

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半径３ｃｍ、中心角６０度の扇形ＡＢＣの１辺が長方形に接しています。長方形のＤＥの長さは６ｃｍ、ＥＦの長さは扇形ＡＢＣの弧の長さと等しくなっています。

　　　　　 Pic_0777q

扇形がすべることなく長方形の周りを時計回りに移動して１周するとき、次の問に答えなさい。

（１）扇形が通った部分を図示しなさい。

（２）（１）で図示した部分の面積は、扇形ＡＢＣと三角形ＡＢＣの何個分の面積と等しくなるか答えなさい。

回転イメージ図と答え

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どの三角形を使うか→頻出問題（灘中学　２０１３年）

下の図は１辺の長さが１２ｃｍの正方形ABCDと、それぞれの辺を３等分する点を１つおきに結んでできる図形です。このとき斜線部分の八角形の面積は何ｃ㎡ですか。

補助線入イメージ図と解法

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その年の数を使った問題は頻出！（武蔵中学　２０１１年）

２０１１を割ると１余る整数はいくつありますか？

そのうち小さいほうから７番目の数はいくつですか？

解法例と答え

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毎年どこかの中学で出題される三角数の法則（栄東中学　２０１２年）

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○を図のように正三角形の形に並べたときの○の総数1，３， 6， 10，…を三角数といいます。このとき，次の問いに答えなさい。

（１）50番目の三角数はいくつですか。

（２）1番目から７番目までの三角数の和はいくつですか。必要であれば，下の図を参考にして考えて下さい。

（３）１番目から３０番目までの三角数の和はいくつですか。

覚えておきたい法則と答え

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円周率が３より大きいことがわかる作図法（逗子開成中学　２００９年）

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円周の長さを，その円の直径の長さで割って得られる値を円周率と呼びます。下の２つの円はどちらも半径が１の円です。【図①】は円が正方形にぴったりと納まっている図で，この図から円周率は４未満であることが分かります。これにならって，円周率が３より大きいことが分かるような【図②】を解答用紙に完成させなさい。
ただし，図は描いた意図がはっきり分かるようにていねいに描きなさい。そうすれば，定規やコンパスは使っても使わなくても構いません。

解説と作図

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線分図で考える旅人算（麻布中学　２０１３年）

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Ａ君とＢ君がＸ地点を同時に出発して,Ｙ地点までそれぞれ一定の速さで歩
き続けました。
Ｃ君は２人が出発して５分後にＸ地点を出発し,一定の速さで走り続けて２人を追いかけました。
Ｃ君は出発して５分後にＢ君に追いつき，その１０分後にＡ君に追いつきました。

（１）Ａ君,Ｂ君,Ｃ君の速さの比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

Ｃ君はＡ君に追いついて,すぐに来た道を同じ速さで引き返しました。

（２）次にＣ君がＢ君に出会うのは，Ｃ君がＡ君に追いついてから何分後ですか。

（３）Ｃ君はＢ君に出会って,すぐにまた同じ速さでＹ地点に向かったところ,Ａ君
と同時にＹ地点に到着しました。
Ｃ君の走った道のりの合計が５ｋｍのとき,Ｘ地点からＹ地点までの距離を求めなさい。

考え方と解法例

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等しい部分を置き換えて考える！（ラ・サール中学　２００８年）

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三角形ABCは正三角形です。円は３つとも半径が３ｃｍです。

斜線部分の周の長さと、面積をそれぞれ求めなさい。

ただし、円周率は３．１４とします。

イメージ図と解法例

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出題頻度の高い正６角形の分割問題（田園調布学園中等部　２００９年）

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図のように正六角形ＡＢＣＤＥＦの頂点を結んで２つの正三角形をつくったところ、斜線部分の面積が10ｃ㎡でした。このとき次の問いに答えなさい。

（１）正三角形ＡＣＥの面積は何ｃ㎡ですか。

（２）正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は何ｃ㎡ですか。

正六角形の分割イメージと答え

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反射問題の作図法（本郷中学　２０１２年）

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図のような１辺の長さが30cmの正三角形ＡＢＣがあります。PB＝10cmである点Ｐから発射された球は辺に当たると、図のように反射し、点Ｃに到達して止まります。このときのＣＱの長さは何cmですか。

イメージ参考図と答え

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直角三角形の合同条件は？（市川中学　2010年）

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正方形ＡＢＣＤがあり、下の図のように辺ＡＢ，ＢＣ上に、（あ）と（い）の角度が等しくなるように点Ｅ，点Ｆをとります。また、辺ＢＣの延長上に点Ｇをとると、ＤＧ＝１３ｃｍになりました。ＤＥ＝１３ｃｍ、ＡＥ＝５ｃｍのとき、ＦＣの長さを求めなさい。

　 Pic_2289q

イメージ参考図と解法例

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点の移動の考え方

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図のような、たて３０ｍ、よこ１２０ｍの長方形の土地ＡＢＣＤがあり、高いへいで囲まれています。甲は毎秒６ｍ、乙は毎秒５ｍの速さで同時にＡを出発し、Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→･･････の順に、へいにそってまわり続けます。乙が最初の１周をするまでの間に、乙から甲が見えなくなっていた時間の合計は何秒間ですか。

イメージ図解と答え

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玉数を推理する手順

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大小２種類の玉が全部で31個あります。大１個の重さは36ｇ、
小１個の重さは24ｇです。31個の玉を、Ａ、Ｂ、Ｃ３つの箱に分
けて入れました。入れ方については、次のことがわかっています。
　・Ａの箱には大の玉だけが入っている。
　・Ｂの箱には小の玉だけが入っている。
　・Ｃの箱には大と小の玉がまざって入っている。
　・どの箱の玉の重さも同じである。
（1）1つの箱に入っている玉の重さは何ｇですか。
（2）大、小の玉はそれぞれ何個ずつありますか。