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2013年10月

流れるプールの流水算(滝中学 2010年)

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A、Bの2人は1周270mの流れるプールで泳ぎました。プールの流れの速さが毎分25mのとき、Aは流れに逆らって100mを2分で泳ぎました。次の問いに答えなきい。

(1)Aは、流れのない状態で100mを何分何秒で泳ぎますか。

(2)このプールの流れの速さが変わったとき、2人は同じ地点から同時lこ、Aは流れと同じ方向に、Bは流れと反対の方向に泳ぎました。Bは、流れのない状態では毎分60mの速さで泳ぎます。2人が出会ったとき、AはBよりも154m多く泳いでいました。このときプールの流れの速さは毎分何mですか。

1

考え方と解法例

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底面積が違うのにどう比較するのか?(明治大学付属明治中学 2011年)

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2つの円柱形の容器A,Bがあり,Aには高さ18cm,Bには高さ6cmまで水が入っています。Aに入っている水の3/8をBに移したところ,AとBの水の高さは同じになりました。このとき,最初に入っていたAとBの水の量を最も簡単な整数の比で表すと,(ア):(イ)です。

図解と解法例

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参考イメージ図と解法例

正八面体の展開図(慶應義塾普通部 2009年)

正三角形を8枚使って、図1のような立体を作りました。次に、A,Bのように各辺の真ん中の点を結んで線を引いた後、図2のように展開しました。このとき、線AB以外の部分の線を展開図に書き込みなさい。

Pic_0453

イメージ図と答え

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同じものから同じものを引くと?(暁星中学 2009年)

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図のように長方形と2つの円があります。長方形のたての長さは10cmで、2つの円の半径はともに4cmです。図のアとイとウとエの部分の面積の和が図のオの部分の面積と等しいとき、長方形の横の長さを求めなさい。

1224zu1

考え方とこたえ

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参考イメージ図と解法例

中学入試にも出題されたフィボナッチ数列の規則性(大阪桐蔭中学 2010)

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次のように、1番目と2番目は共に1で、3番目よりあとは1つ前の整数と2つ前の整数との和になるという決まりにしたがって整数を並べていきます。

1,1,2,3,5,8,13,21,34,・・・

このとき、次の問に答えなさい。

(1)11番目の整数を答えなさい。

(2)6で割り切れる整数が2回目に出てくるのは何番目ですか。

(3)2010番目までに、6で割って5あまる整数は何個ありますか。

規則性と解法例

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休みが入る旅人算(豊島岡女子学園中学 2008年)

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A地点に豊子さんが,B地点に花子さんがいます。A地点とB地点の間の距離は5550mです。豊子さんはB地点に向かって,花子さんはA地点に向かって同時に歩き始めました。豊子さんは分速60mの一定の速さで歩き続け,花子さんは分速90mの一定の速さで4分歩いたあとに1分間休けいすることをくり返します。2人が出会うのは同時に歩き始めてから何分何秒後ですか。

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考え方と解法例

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参考イメージ図と解法例

頻出の有名な四面体イメージを頭に!(芝中学 2013年)

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下の図は、1辺が12cmの立方体で、点P,Q はそれぞれ辺AD,CD のまん中の点です。

       Pic_3477q

(1)3点 E,P,Q を通る平面で この立方体を2つの立体に分けたとき、頂点D を含む立体の体積を求めなさい。

(2)三角すい H-PQD の表面積を求めなさい。

四面体のイメージ図と解法例

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地道に計算して答えを見つける場合もあります!(横浜共立学園中学 2013年)

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100 を 1 以上 99 以下の 99種類の整数で割ったとき、

商は全部で何通りできますか。

ただし、商は整数のものだけを考えるものとします。

100÷(1~99)=○←何通り?

計算と解法例

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参考イメージ図と解法例

相似と合同な三角形をみつけて解く!(武蔵中学 2007年)

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下図の四角形ABJI,CDKJ,EFLK,GHIL,IJKLは、

どれも1辺が12cmの正方形です。

Pic_0474

(1)AQの長さを求めなさい。

(2)PTの長さを求めなさい。

(3)四角形PRSGの面積を求めなさい。

イメージ図解と解法例

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差集め算のポイント!(横浜共立学園中学 2010年)

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みかんとりんごを子どもたちに分けます。みかんはりんごより7個多くあります。みかんを1人5個、りんごを1人3個ずつ分けたところ、みかんがちょうどなくなり、りんごは15個残りました。最初に、みかんとりんごは合わせて何個ありましたか。

Ilm04_ab13001s Ilm04_ab13001sIlm04_ab13001s Ilm23_ba02001s

考え方と答え

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参考イメージ図と解法例

はね返るボールの比例関係は?(ラ・サール中学 2010年)

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落ちた高さの 8分の5 だけはね返るボールがあります。

下の図のようにボールがはね返ったとき、X を求めなさい。

 Pic_2464q

図解による解法例

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タイル模様の面積と場合の数(明星中学 2011年)

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下の図1、図2のような1辺の長さが4cmの正方形のタイルが何枚もあります。図1のタイルには正方形の対角線が1本、太線で引かれており、図2のタイルには円周を4等分したものが太線で引かれています。このタイルを次のルールに従って並べます。

【ルール】

図1、図2のタイルを合わせて4枚使い、たてに2枚、横に2枚並べます。このとき、図1、図2のタイルを何枚ずつ使ってもよく、また、タイルを自由に回転させてもよいが、それぞれのタイルの ●印 同士が必ずつながるように並べます。

下の図3は、上の【ルール】に従って並べた例です。

  Pic_3405q

(1)上の図3の太線で囲まれてできる色のついた部分の面積を求めなさい。

(2)この【ルール】に従ってタイルを並べ、タイルの太線で囲まれてできる図形のうち、最も面積が大きい図形と、最も面積が小さい図形の面積の差を求めなさい。

(3)この【ルール】に従ってタイルを並べ、タイルの太線で囲まれてできる図形の面積は、全部で何通りありますか。

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参考イメージ図と解法例

等積移動の極意!(四天王寺中学 2011年)

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半径 5cm の2つの円があります。下の図のように、円周を6等分する点を結びました。色のついた部分の面積の和を求めなさい。

Pic_3445q

図解と解法例

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比例関係を解く手順→二酸化炭素の排出量(神戸女学院中等部 2008年)

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同じ量のエネルギーを作り出すとき、石炭を使うと二酸化炭素の排出(はいしゅつ)量が最も多く、それに対して石油は石炭の8割、天然ガスは石炭の5割5分です。現在日本の上記エネルギー源の割合は、石油53%、石炭17%、天然ガス10%ですが、二酸化炭素の排出量を減らすため、この割合を10年後には石油42%、石炭18%、天然ガス15%にするという目標を立てています。もし現在この目標を達成したならば、上記のエネルギー源からの二酸化炭素の排出量は、全体として何%減らすことができますか。四捨五入して小数第1位まで答えなさい。

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考え方と解法例

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点が動く範囲を考える(公文国際学園中等部 2007年)

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平面上で長さ3cmの直線を4本組み合わせて折れ線を作ります。両側の点をA,Bとし、つなぎ目の点をP,Q,Rとします。このとき、直線AP、PQ、QR、RBは重なったり回転したり自由に動けます。円周率を3.14として次の問に答えなさい。

    Pic_0959q

(1)点Aを固定するとき、折れ線APQが通過できる部分の面積を求めなさい。折れ線APQは直線になることもあります。

(2)2点A,Bを6cm離れたところで固定するとき、折れ線APQRBのうち、直線RBが通過できる部分の面積を求めなさい。

(3)2点A,Bを6cm離れたところで固定するとき、点Qが通過できる部分の周の長さは何cmですか。

(4)2点A,Bを、ABの長さが、面積が36c㎡の正方形の対角線の長さに等しくなるように固定すると点Qが通過できる部分の面積を求めなさい。

点の移動範囲と解法例

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図形の対称性をイメージでとらえる!(普連土学園中学 2009年)

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1辺が6cmの正方形の2辺を3等分した点を,図のように直線で結びました。斜線部分の面積の和を求めなさい。

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イメージ参考図と解法例

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切り口問題の解法手順→正四面体の切断(慶應義塾中等部 2012年)

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1辺の長さが 6cm の正三角形を4枚はり合わせて、下の図アのような立体を作りました。点P は辺AD上、点Q は辺AB上、点R は辺CD上にあり、AP=2cm、BQ=1cm、CR=3cmです。3点P,Q,R を通る平面でこの立体を切り、2つの立体に分けるとき、次の問に答えなさい。

Pic_2829q_2

(1)3点P,Q,R を通る平面が辺BC を切る点をS とするとき、BS の長さを求めなさい。

(2)2つの立体の表面の面積の差は、正三角形ABC の何倍ですか。

参考イメージ図と解法

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規則性をみつけて計算式を作る(慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年)

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図のように1m間かくの平行な線があり,線には番号がついています。いま,K君が①の線からスタートして

①→②→①→②→③→②→①→②→③→④→③→②→①→・・・

という順番で,おのおのの線を1回ずつふみながら,線と垂直な方向に歩いていきます。

このとき、

(1)スタートしてから,はじめて⑥の線をふんで①の線にもどってきたとき,K君の歩いた道のりは何mですか。

(2)スタートしてから70m歩いたとき,K君は何番の線をふんでいますか。

(3)スタートしてから5回目に⑩の線をふんだとき,K君の歩いた道のりは何mですか。

規則性と解法例

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速さと時間の関係を図解して解く!(女子学院中学 2010年)

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花子さんは、自転車に乗って分速320mでJ町からG町に向かった。バスはJ町とG町を往復している。花子さんは、バスがG町を出発してから5分後にJ町を出発し、花子さんが出発してから20分後にバスと出会った。バスはJ町に到着してから5分後に出発し、花子さんと出会ってから35分後に花子さんを追いぬいた。

2_2 Ilm03_ba08038s

(1)バスの時速は何kmですか。

(2)J町からG町までの道のりは何kmですか。

図解と解法例

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相似を使ってと面積比問題を解く(開成中学 2013年)

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下の図のように、1辺の長さが 2cm の正方形ABCD があり、点E,Fはそれぞれ辺AB,BC を2等分する点です。直線DFと直線AF の交点をG,直線BD と直線AF の交点をH とするとき次の面積を求めなさい。

    Pic_3306q

(1)三角形HBF の面積

(2)四角形GEBH の面積

参考イメージ図と解法例

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