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2014年2月

使い方をマスターしたいてんびん図(洗足学園中学 2011年)

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4%の食塩水10gに6%と10%の食塩水を加えて,7%の食塩水を100g作りました。このとき,6%の食塩水は何g加えましたか。なお,この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

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てんびん図による解法例

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隠れた部分の表面積に注意!(神戸女学院中学部 2014年)

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1辺1cmのの立方体を下図のように、下から16個、9個、4個、1個と積み上げました。それぞれの立方体の頂点は、下の段の各立方体の面のまん中にあります。

(1)この立体の表面積を求めなさい。

(2)次に、白い5個の立方体を取り除き、新たな立体を作りました。この立体の表面積を求めなさい。ただし、立方体を取り除いても、立体はくずれないものとします。

Bandicam_20140124_080644437

図解と解法例

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参考イメージ図と解法例

正9角形の角度の求め方(北嶺中学 2005年、学習院女子中等科 2010年)

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9つの辺の長さがすべて3cmで、9つの角度がすべて等しい図1のような図形があります。

  Pic_1307q

(1)図1の角度Aの大きさを求めなさい。

(2)図2は、図1の図形の各頂点を中心として、半径3cmのおうぎ形を描いたものです。このとき、青い線の長さを求めなさい。

図解と解法例  

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つるかめ算の応用(早稲田実業学校中等部 2007年)

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1番から5番までの異なる番号のついた5個の箱があり,それぞれの箱には同じ重さのおもりが10個ずつ入っています。1番の箱からは1個,2番の箱からは2個,3番の箱からは3個,4番の箱からは4個,5番の箱からは5個のおもりを取り出して,合計15個の重さを量りました。次のそれぞれの場合について答えなさい。

①5個の箱のうち,4個の箱には1つ5gのおもりが10個ずつ入っていて,残りの1個の箱には1つ3gのおもりが10個入っていました。取り出した合計15個の重さが65gのとき,3gのおもりが入っていたのは何番の箱ですか。

②5個の箱のうち,3個の箱には1つ5gのおもりが10個ずつ入っていて,1個の箱には1つ3gのおもりが10個入っていて,残りの1個の箱には1つ8gのおもりが10個入っていました。取り出した合計15個の重さが81gのとき,3gのおもりが入っていたのは何番の箱ですか。

1_3

考え方と解法例

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参考イメージ図と解法例

文章題の条件を整理していく手順(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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K君は7時21分に徒歩でA地点を出発し,時速4kmでB地点に向かった。O君は7時16分に自転車でA地点から出発し,K君と同じ道を時速15kmでB地点に向かった。O君の自転車が出発してから10分後に故障してしまい,その場で10分間修理したが,うまく直せず,あきらめて時速1.5kmで自転車を押しながらB地点に向かった。何時何分にK君はO君に追いつきますか。

Ilm13_ac06005s   1_3

解き方の順序と答え

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立体表面の最短イメージを描くには

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図の立体は,OA=8cmで,OAとOB,OBとOC,OCとOD,ODとOE,OEとOF,OFとOAの間の角度は,それぞれ6°,8°,10°,11°,12°,13°です。図のように,この立体の側面上に,点Aから1周して点Aにもどるように糸を張ります。この糸が最短となるときの長さを求めなさい。

Saitan

イメージ図と答え

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参考イメージ図と解法例

立方体の切り開いたイメージをつかむ!(桜蔭中学 2009年)

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図1の立方体を図2の太い線の部分で切り開くと、図3になります。

1

立方体を切り開いた図が、(1)(2)のようになるには、それぞれどのように切り開いたらよいですか。図2のように右の立方体の見取り図に太い線で書き込みなさい。

2

イメージ図による答え

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グラフの書き方(桜蔭中学 2013年)

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ふもと駅と山頂駅を往復する2台のケーブルカーA,Bがあります。他に駅はありません。

0

2駅間の距離は6kmで,2kmごとにすれちがうためのポイントがあり,2台はこの2ヵ所のポイントでしかすれちがうことができません。同時にポイントに到着できなかった場合には,どちらかのケーブルカーがどちらかのポイントで待つことになります。待ち方は所要時間を短くするように決めることとします。また,すれちがうための時間はかかりません。ケーブルカーは,ふもと駅から山頂駅までの上りでは時速8km,山頂駅からふもと駅までの下りでは時速12kmで進むものとします。ケーブルカーは駅では5分ずつ停車します。AとBのケーブルカーは朝8時にAはふもと駅を,Bは山頂駅を出発します。このとき,次の問いに答えなさい。

(1)8時から10時までのAとBの動くようすを表すグラフをかきなさい。

(2)2台が5回目にすれちがうのは何時何分か求めなさい。

1_2 

グラフと答え

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参考イメージ図と解法例

多くの中学で出題された定番図形問題(慶應義塾中等部 2001年、大妻中学 2007年、他)

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下の図アのような、半径6cm、中心角90度の扇形の円周上に、3等分する点A,Bがあります。このとき、図の色のついた部分の面積を求めなさい。

      Pic_0443_2

考え方と解法例

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相似を使って解く面積比問題(桐光学園中学 2010年)

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図のように、1辺が10cmの正方形ABCDの辺AB上に点EをBE=7cm、辺DC上に点FをCF=5cmとなるようにとります。このとき、斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

イメージ解説図と解法例

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参考イメージ図と解法例

速さの比と時間の比の考え方(開成中学 2013年)

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A地点からB地点に向かって一定の速さで流れている川があります。この川のA地点からボールを流し、同時にB地点からA地点に向けて船が出発しました。船がA地点で折り返して、B地点まで一往復したところ、船がB地点に到着してから42秒後にボールもB地点に到着しました。
船がB地点からA地点まで行くのにかかった時間は、船がA地点からB地点まで行くのにかかった時間の2.25倍でした。船の静水での速さは一定として以下の問いに答えなさい。

(1)ボールがA地点を出発してからB地点に到着するまでに何分何秒かかりましたか。

(2)船とボールが出発してから、

  (ア)最初に出会うまでにかかった時間、

  (イ)船がボールに追いつくまでにかかった時間、

をそれぞれ求めなさい。

Ilm20_aa08014s Ilm05_cb11014s

考え方と解法例

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計算結果の周期性を見つける!(立教池袋中学 2012年)

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下のように、4を順番に何回かかけた数を求めて、その数の下2ケタの数を考えます。このとき、次の問に答えなさい。

 

 1番目              4×4=   16

 2番目           4×4×4=   64

 3番目         4×4×4×4=  256

 4番目      4×4×4×4×4= 1024

 5番目    4×4×4×4×4×4= 4096

 6番目 4×4×4×4×4×4×4=16384

 

(1) 37番目の数の下2ケタの数はいくつですか

(2)1番目から55番目までの数の下2ケタの数だけすべてたすと、いくつになりますか。

規則性と解法例

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参考イメージ図と解法例

発想を柔軟にしてスマートな解法を!(早稲田中学 2008年)

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図は2つのおうぎ形を組み合わせたものです。Aのおうぎ形は半径が1cmで,面積が2c㎡です。Bのおうぎ形は半径が10cmです。Bのおうぎ形の面積は何c㎡ですか。ただし,円周率は3.14とします。

1

考え方と解法例

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操作計算の規則性を考える!(浅野中学 2005年)

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連続した奇数の和を求める方法を考えます。たとえば、1つの○、3つの×、5つの☆、7つの△を下の図1のようにカギ型に並べると、縦4つ、横4つの正方形状に並びます。このことを参考にして、次の問の【 B 】、【 C 】にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

         Pic_2611q

(ア) 1+3+5+・・・+49+51=【 B 】×【 B 】

(イ) 1+3+5+・・・+【 C 】=3600

規則性と解法例

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参考イメージ図と解法例

硬貨の組み合わせ方を考える!(白百合学園中学 2005年)

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ポケットの中に15枚の硬貨があります。それらの合計は、ちょうど980円です。500円、100円、50円、10円、5円、1円の6種類の硬貨がすべて混ざっているとき、それぞれの硬貨は何枚ずつありますか。考えられる場合をすべて答えなさい。

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考え方と解法例

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正方形内を回転する正三角形の軌跡を見る!(海城中学 2010年)

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1辺の長さが3cmの正三角形ABCが1辺の長さが9cmの正方形PQRSの内部にあり、頂点Bと頂点Pが重なっています。

  Pic_1294q

正三角形ABCが正方形PQRS内をすべることなく転がるとき、次の問に答えなさい。

(1)頂点Aの動いたあとをコンパスを用いて図に描きなさい。

(2)正方形PQRSの内部で、正三角形ABCと重ならない部分の周囲の長さを求めなさい。

軌跡と解法例

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参考イメージ図と解法例

平面と立体の重なりをつかむ!(洛星中学 2013年)

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3つの正方形の紙を重ねたところ、下の図1のようになりました。ただし、図1の角はすべて直角です。

Pic_3388q

(1)正方形の紙が3枚とも重なっている部分の面積を求めなさい。

(2)正方形の紙が2枚以上重なっている部分の面積を求めなさい。

立方体を使って、下の図2のように地面に穴をあけます。穴をあけるときは立方体を図2のように地表まで地面にうめ、取り出すものとします。

Pic_3389q

(3)3種類の立方体を1つずつ順番に使って穴をあけたところ、できた穴を上から見ると図1のようになりました。この穴の容積を求めなさい。

イメージ図解と解法例

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