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2014年7月

数字とアルファベットの並べ方は何通り?(フェリス女学院中学 2014年)

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次の【約束1】、【約束2】をまもって、0から9までの10種類の数字と何種類かのアルファベットを合わせた中から3種類を横一列に並べます。

 

【約束1】 同じ数字やアルファベットをくりかえし使ってもよいです。

【約束2】 数字だけを3個並べたり、アルファベットだけを3個並べたりしてはいけません。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)アルファベットがA,B,C の3種類のとき、並べかたは何通りありますか。

 

(2)アルファベットが< ア >種類のとき、並べかたは5000通り以上あります。

< ア >にあてはまる数のうち最も小さい数を求めなさい。

Cb003cs

考え方と解法例はこちらに!

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食塩水の濃度は?その量は?(洛南高校附属中学 2014年)

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次の【 ア 】、【 イ 】に当てはまる数を答えなさい。

濃度が【 ア 】%の食塩水が【 イ 】g あります。

この食塩水を A とします。

A に20gの食塩を加え、よくかき混ぜた場合、

食塩水の濃度は(【 ア 】+9)% となります。

A に20gの水を加え、よくかき混ぜた場合、

食塩水の濃度は(【 ア 】-1)% となります。

Scl007s

考え方と解法例

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円すいの性質を考える!(函館ラ・サール中学 2011年)

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下の図1のような円すいがあります。図2はこの円すいの展開図です。この円すいの側面上に、点A から点B まで糸が最短になるように巻くと、糸の長さは25cm になりました。このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3133q

(1)底面の円の半径は何cmですか。

(2)糸上の点と、点Oを結んだ線のうち、一番短い線の長さは何cm ですか。

図解と解法例

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対象性と角度の関係をつかむ!(筑波大学附属中学 2014年)

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下の図のように、角アと点A があります。

直線OYについて、点A と対称な点をB,

直線OXについて点B と対称な点をEとします。

また、直線OX について点A と対称な点をC、

直線OYについて点C と対称な点をF とします。

3点E,O,F が一直線上にあるとき、角アの大きさを求めなさい。

       Pic_3806q

図解と解法例

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じゃんけんゲームの場合の数(雙葉中学 2014年)

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A,Bの2人が25段の階段の一番下からスタートして、ジャンケンで勝った方だけが移動するゲームをしました。あいこは考えません。グーで勝つと3段、チョキは4段、パーは5段移動します。移動したら1回と数えます。3回目を終えたとき、Aは下から9段目、Bは下から4段目にいました。6回目を終えたとき、下から12段目で初めて2人は並びました。その後、Aだけは一番上まで上っており始め、12回目を終えたときに下から23段目で、上ってきたBと並びました。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)3回目を終えたとき、Aはグー、チョキ、パーをそれぞれ何回出しましたか。

(2)4回目、5回目はBが勝ち、6回目はAが勝ちました。Bの4,5,6回目の出し方をすべて答えなさい。

(3)7回目から12回目までは、Aは3勝3敗でした。この6回でAはグー、チョキ、パーをそれぞれ何回出しましたか。考えられる場合を全て答えなさい。

2

考え方と解法例

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色の着いた立方体の数え方(女子学院中学 2011年)

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同じ大きさの立方体23個を図のように積み上げ,床についている面を除いた表面をすべて緑色のペンキで塗りました。次の立方体はそれぞれいくつありますか。

2221

①3つの面が緑色で塗られている立方体は

②2つの面が緑色で塗られている立方体は

③1つの面が緑色で塗られている立方体は

④どの面も緑色で塗られていない立方体は

図解と解法例はこちらに!

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問題の意味が難しい問題(智辯学園和歌山中学 2012年)

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1から20までの整数を2つずつ10組に分けます。

これら10組の中で、

最大公約数が1となる組の個数が最も少なくなるような分け方をしたとき、

最大公約数が1となる組の個数は何組になりますか。

Apf0107s_2

考え方と解法例

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数の性質の規則性は?(学習院中等科 2012年)

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4ケタの整数があります。いま、この整数の千の位と十の位の数字を交換し、百の位と一の位の数字を交換した整数を考えます。ただし、交換してできた整数は4ケタの整数になるとは限りません。

たとえば、元の整数が 1203 のとき、交換してできる整数は 312になると考えます。

元の整数と数字を交換してできる整数の和を考えるとき、次の問に答えなさい。

(1)この和は、常にある整数の倍数になります。この整数を答えなさい。

(2)この和が 15857 になりました。もとの整数として考えられる数の中で、最も大きい数を答えなさい。

(3)この和が 5ケタ の整数の中で最も小さい数になりました。元の整数として考えられる数の中で最も大きい数を答えなさい。

Pce022s

規則性と解法例

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等積移動で解く面積比問題(早稲田大学高等学院中学部 2014年)

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下の図の四角形ABCDは面積が24c㎡の平行四辺形です。辺AD上に点E,辺AB上に点F,辺CD上に点Gをとります。さらに,3点H,F,Eと3点H,B,Cがそれぞれ一直線上に並ぶように点Hをとります。

AF=FB,AE=ED=BH,CG:GD=3:2のとき,

色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

1

図解と解法例

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線の引き方の場合の数を考える問題(慶應義塾中等部)

図のように,5つの点A,B,C,D,Eのうちの3点と3つの点F,G,Hのいずれかを結ぶまっすぐな線を3本ひきます。ただし,1つの点と2つ以上の点を結ぶことはできません。このとき、次の問いに答えなさい。

1

(1)3本の線のひき方は全部で何通りありますか。

(2)結んだ3本の線のうち、少なくとも2本が交わるような線のひき方は全部で何通りありますか。

考え方と解法例

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和と差の活用法、3つの荷物の重さは?(早稲田実業学校中等部 2014年)

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3つの荷物があります。

2つずつ重さを量ったら,155g,270g,365gでした。

3つの荷物の中で2番目に軽い荷物の重さは何gですか。

Cmv601s

考え方と解法例はこちらに!

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勝敗表のうめ方 (大阪女学院中学 2011年)

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下の表1は、あるゲームの勝ち負けの表です。一番左のたての列の人が上の列の人とゲームをして、勝ったときは○、負けたときには×を書き入れます。表のア、イ、ウには、○×どちらが入りますか。また、E の人の勝ち数、負け数を答えなさい。

Pic_3183q

表のうめ方と解法例

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貯水池のニュートン算(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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1500t (1t =1000kg)の水がたまっている貯水池があります。この貯水池には毎日一定の量の水が流入していることがわかっているので、毎日一定の量の水を放水して 30日間で貯水池を空にする計画を立てました。ところが大雨が降り、放水を始めてから最初の5日間は水の流入量が普段の1.4倍になってしまいました。そのため、天候が良くなり流入量が普段どおりに戻った6日目に計画を変えて、6日目から放水量を前日までの1.2倍にしたところ全部で 25日間かかって貯水池を空にすることができました。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)普段の1日あたりの水の流入量は何 t ですか。

(2)6日目以降の1日あたりの放水量は何 t ですか。

(3)当初の予定通り 30日間で貯水池を空にするには、6日目以降の放水量を1日あたり何 t にすればよかったですか。

401

考え方と解法例

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規則性に周期性を見つける!(2014年 筑波大学附属駒場中学)

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次のように4けたの数が並んでいます。

     1番目の数 1111

     2番目の数 5432

     3番目の数 9753

     4番目の数 3074

これらの数の一の位は,

1から1ずつ増えていく数1,2,3,4,…の一の位の数です。

十の位は,

1から2ずつ増えていく数1,3,5,7,…の一の位の数です。

百の位は,

1から3ずつ増えていく数1,4,7,10,…の一の位の数です。

千の位は,

1から4ずつ増えていく数1,5,9,13,…の一の位の数です。

(ア)100番目の数を答えなさい。

(イ)1番目から100番目までの数のうち,6の倍数は何個ありますか。

規則性と解法例

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ちょっと難しいカード配りの論理問題(東海中学 2011年)

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11,12,13 の数字が書かれたカードが、それぞれ 4枚ずつあります。この12枚のカードをA君、B君、C君の3人に 4枚ずつ配ります。持っている 4枚のカードに書かれた数字の和を得点① とし、得点① の約数の個数を得点② とします。初めに配ったとき、得点① は全員同じで、B君のカードは 4枚とも同じ数字でした。このとき、次の問に答えなさい。

(1)3人のカードを1枚ずつ集めて配り直したところ、A君とB君の得点② の差が 7点でした。C君の得点② を求めなさい。

(2)(1)の配り直されたカードを元にもどし、3人のカードを2枚ずつ集めて配り直したところ、3人の得点① がすべて異なり得点② の最高点は 4点でした。3人の得点① を小さい順に書きなさい。

11 12 13

推理と解法例

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和差算を使う平均算(桐朋中学 2014年)

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A君,B君,C君の3人が算数のテストを受たところ,

3人の得点の合計は228点でした。

A君の得点はB君の得点より18点高く,

A君とB君の平均点はC君の得点と同じでした。

A君の得点は何点でしたか。

2203

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時計算の応用問題を考える!(神戸女学院中学部 2014年)

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円周上に1時間で1周する点A と、5時間で1周する点B があります。下の図のように、円周を5等分する点を①、②、③、④、⑤とし、円の中心を点Oとします。はじめ、点A,Bは、①から同時に時計回りに出発し、再び点A,Bが同時に①にくるまで回り続けます。このとき、次の問に答えなさい。

 Pic_3760q

(1)点Bは1分間に点Oを中心として何度回転しますか。

(2)いま、点Bが②と③の間にあり、点Aが④と⑤の間にあります。2つの点がしばらく動き続けると、AとBの位置が入れかわります。入れかわるまでにかかる時間を求めなさい。

(3)(2)で入れかわった位置に点A,Bがくるのは、スタートから何時間何分後ですか。

考え方と解法例

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穴のあいた立体の表面積(浦和明の星女子中学 2012年)

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立方体に,底面が正方形の四角柱の形をした穴をあけて,下の図のような立体を作りました。そして,この立体全体をペンキが入った容器に沈めて色を付けました。このとき,立体の色の付いた部分の面積を求めなさい。

1

計算と解答例

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三角形の面積比の求め方(鴎友学園女子中学 2011年)

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図のような、AE:ED=1:3、AF:FB=1:2の平行四辺形ABCDがあります。

(1)三角形FBIと三角形CHIの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)三角形CHIと三角形EGDの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

1215

考え方と答え

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折り紙の規則性を見つける!(筑波大学附属駒場中学 2007年)

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正方形の紙に次のような操作を行います。

Pic_2732q

上の操作を1回と数え、操作を何回か続けて行います。操作を何回か続けて行ってできた正方形を下の図1のようにハサミで4つの同じ大きさの正方形に切り離してから、折られて重なっている紙は全て広げます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2733q

(1)操作を1回行ってからハサミで切り離し、広げると、どのような紙ができますか。下の図2に元となる正方形が描かれています。切れ目を線で示しなさい。なお、正方形の各辺は4等分されています。

          Pic_2734q

(2)操作を何回か続けて行ってからハサミで切り離し、広げると面積の異なる紙が何枚かずつできますが、そのうち一番大きい紙が1000枚以上ありました。操作を行った回数として考えられる最も小さい数を答えなさい。

(3)操作を何回か続けて行ってからハサミで切り離し、広げると一番大きい紙が10000枚以上ありました。このとき2番目に大きい紙は何枚できていますか。考えられる枚数のうち、最も小さい数を答えなさい。

規則性と解法例

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