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正三角形をしきつめた平面幾何を考える! (麻布中学 2014年)

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下の図は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。

また、下の図で表されるような位置に、点O,点X,点Y,直線XY があります。

Pic_3912q

点Y を中心にして、直線XY を反時計回りに 60度回転させたとき、

点X が移る先の点を Z とします。

(1)点 Z を図1に黒丸で書き入れなさい。

   また、書き入れた黒丸の近くに Z と書きなさい。

(2)角XOZ の大きさを答えなさい。

 

次に、下の図2のような正六角形ABCDEF の形をした紙を考え、

直線BD と直線CF の交点を I とします。

点A と点 I が重なるようにこの紙を折り、元にもどします。

すると、折り目は2つの辺 EF,AB と交わりました。

このとき、折り目と辺EF との交点をP,辺AB との交点をQ とするとき、

次の問に答えなさい。

   Pic_3913q

(3)EP と PF の長さの比、

   およびAQ とQB の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(4)四角形AQPF の面積は、正六角形ABCDEF の面積の何倍になりますか。

   分数で答えなさい。

 

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