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2015年4月

算数解法の極意!円柱に巻きつけた糸がつくる面積は?(栄光学園中学 2009年)

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底面の半径が4cm,高さが18cmの円柱があります。図のように,上下それぞれの底面の円周を8等分して,側面に糸をたるみがないように張ります。このとき,図の影をつけた部分の面積を小数で答えなさい。ただし,円周率は3.14とします。

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算数解法の極意!重さの異なるおもりの入った箱は?(早稲田実業学校中等部 2007年)

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1番から5番までの異なる番号のついた5個の箱があり,それぞれの箱には同じ重さのおもりが10個ずつ入っています。1番の箱からは1個,2番の箱からは2個,3番の箱からは3個,4番の箱からは4個,5番の箱からは5個のおもりを取り出して,合計15個の重さを量りました。次のそれぞれの場合について答えなさい。

①5個の箱のうち,4個の箱には1つ5gのおもりが10個ずつ入っていて,残りの1個の箱には1つ3gのおもりが10個入っていました。取り出した合計15個の重さが65gのとき,3gのおもりが入っていたのは何番の箱ですか。

②5個の箱のうち,3個の箱には1つ5gのおもりが10個ずつ入っていて,1個の箱には1つ3gのおもりが10個入っていて,残りの1個の箱には1つ8gのおもりが10個入っていました。取り出した合計15個の重さが81gのとき,3gのおもりが入っていたのは何番の箱ですか。

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算数解法の極意!ビンの容積は?(豊島岡女子学園中学 2009年)

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図1は高さが20cmあるビンです。このビンのちょうど真ん中より下の部分は、底面の半径が2cmの円柱の形をしています。また、真ん中よりも上の部分は、円柱でも円すいでもない形をしています。このビンに図2のように水を入れ、水平な台の上に置いたところ、水面の高さは8cmになりました。次に、図2のビンにふたをして、ビンをひっくり返したところ、図3のように水面の高さは13cmになりました。このビンの容積は何立法cmですか。

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算数解法の極意!回転体の体積比は?(灘中学 2011年1日目)

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下の図は,たて6cmよこ4cmの長方形の紙1枚と,直角をはさむ2辺の長さがどちらも3cmの直角二等辺三角形の紙4枚をはりあわせて作ったものです。ただし,のりしろは考えません。この紙がEFを軸として1回転する間に通過する部分の体積をV立法cmとすると,Vは円周率の何倍ですか。また,この紙がABを軸として1回転する間に通過する部分の体積をW立法cmとすると,Wは円周率の何倍ですか。

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算数解法の極意!ひもの長さは?(桜蔭中学 2010年)

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下の図のように半径2cmの円が6個あります。となり合う円はすべてぴったりとくっついているとします。周りにひもをたるまないようにかけました。このひもの長さを求めなさい。

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算数解法の極意!1/4の円弧、面積は?(麻布中学 2008年)

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円の1/4の部分の図形OABがあります。

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(1)上の図において、斜線部分の面積と図形OABの面積の比を求めなさい。ただし、直線OA、CD、EFは平行です。

(2)下の図のように図形OABの弧AB(曲線の部分)を5等分した各点からOAに平行な直線を引きました。0Aを5cmとしたとき、2つの斜線部分の面積の和を求めなさい。

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算数解法の極意!短針が角を二等分する時刻は?(筑波大学附属中学 2011年)

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午前10時30分から午前11時までの間に12時の方向と長針が指す方向とが作る角を考えます。この角を短針がちょうど2等分する時刻は、午前10時何分ですか?

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算数解法の極意!切り口の面積は?(専修大学松戸中学 2010年)

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下の図は,1辺の長さが5cmの立方体を2つ組み合わせた立体です。このとき,3つの点A,B,Cを結んでできる三角形ABCの面積は何c㎡ですか。

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算数解法の極意!回転移動した図形の軌跡は?(慶應義塾中等部 2010年)

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下の図のように,辺ABの長さが8cmで,辺BCの長さが4cmの長方形ABCDが,辺BCが直線Lと重なるようにあります。長方形ABCDを,直線Lの上で頂点Cを動かさないように右に90度回転させました。このとき,次の問いに答えなさい。ただし,円周率は3.14とします。

(1)対角線ACを1辺とする正方形をかくと,その面積は何c㎡ですか。

(2)図の色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

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算数解法の極意!魔方陣の中心は?(栄東中学 2010年)

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下の図で、それぞれの○には、1~15のいずれかの数字が入り、同じ数字は1度しか入りません。図のたて、横、右ななめ、左ななめの数字の和は、それぞれ等しいとき、図の「ア」に入ることができる数字をすべて足すといくらになるか答えなさい。

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算数解法の極意!グラフからわかることは?(聖セシリア女子中学 2010年)

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工場Aと工場Bでは、ある製品を一定の割合で作っています。工場Aは1時間の休みをとり、工場Bは休まず作ります。下のグラフは、そのときの時刻と作られる製品の個数の関係を表したものです。次の各問いに答えなさい。

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(1)工場Aは製品を1時間に何個作りますか。

(2)工場Aと工場Bの作った個数が等しくなるのは何時何分ですか。

(3)工場Aと工場Bの作った個数が合わせて126個になるのは何時何分ですか。

グラフの読み取りと答え

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算数解法の極意!点の移動と面積は?(明治大学付属明治中学 2009年)

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図のような3個の正六角形をくっつけた図形があり、三角形AEIの面積は12c㎡です。3点P、Q、Rはそれぞれ六角ABCMKL、 RFGMCD、IJKMGHの周上を矢印の方向に一定の速さで動く点です。3点P、Q、Rは、それぞれ点A、E、Iを同時に出発し、6秒後に出発した点にもどります。このとき,次の各問いに答えなさい。

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(1)出発して1秒後の三角形PQRの面積は何c㎡ですか。

(2)出発して1.5秒後の三角形PQRの面積は何c㎡ですか。

(3)三角形PQRの面積が1/3c㎡となるのは出発してから何秒後ですか。

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算数解法の極意!等積移動の基本は?(頌栄女子学院中学 2010年)

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図のように,長方形ABCDを点Cを中心に45゜回転させました。

かげのついた部分の面積は何c㎡ですか。

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算数解法の極意! 大きさの推理は?(逗子開成中学 2009年)

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4つの正の数A,B,C,Dに対して,次の3つの関係が成り立っています。このときA,B,C,Dを小さい順に左から並べなさい。

A+B<C+D,2×A=B+D,2×B=C+D

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推論と答え

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算数解法の極意!青い数字はどれですか?(東洋英和女学院中学 2010年)

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1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが10枚あり、そのうち5枚は青字で、残りの5枚は赤字で書かれています。10枚のカードの中から5枚のカードを取り出して、青字で書かれた数字をすべて足すことにします。それぞれの5枚の組み合わせに対して、青い数字の和は矢印の右側の数になります。青字で書かれた数字を小さい順にすべて答えなさい。

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算数解法の極意!正八面体の展開図は?(慶應義塾普通部 2009年)

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正三角形を8枚使って、図1のような立体を作りました。

次に、A,Bのように各辺の真ん中の点を結んで線を引いた後、図2のように展開しました。

このとき、線AB以外の部分の線を展開図に書き込みなさい。

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算数解法の極意!つるかめ算を利用して、(桐朋中学 2011年)

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たての長さが2cm,横の長さが4cmの長方形のタイルAと,1辺の長さが3cmの正方形のタイルBがそれぞれ何枚かあります。A,Bすべてのタイルの面積の和は172c㎡で,A,Bすべてのタイルの周の長さの和は240cmです。A,Bはそれぞれ何枚ありますか。

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算数解法の極意!回転体の形は?(春日部共栄中学 2011年)

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図のような三角形ABCを、辺ACを軸にして1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし、答えは四捨五入して小数第1位まで求めること。

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算数解法の極意!平行四辺形の基本的性質は?(東邦大学付属東邦中学 2009年)

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図のように平行四辺形を4つの三角形に分けました。

3つの三角形の面積が4c㎡、5c㎡、8c㎡のとき、

残りの斜線部分の三角形の面積は何c㎡ですか。

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算数解法の極意!大きさの推理(女子学院中学 2008年)

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体積の違う4種類の鉄の玉ア、イ、ウ、エがあります。

同じ量の水の入った同じ形の容器A,Bに鉄の玉を入れて

水面の高さを調べたところ、下の表のようになりました。

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ア、イ、ウ、エを体積の小さい順に並べなさい。

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算数解法の極意!連続した数の掛け算(筑波大学附属駒場中学 2012年)

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1からA までの連続した整数をかけて数を作ります。このようにして作った数について、一の位から連続して並ぶ「0」の個数を記号<A>で表します。

例えば、

1×2×3×4=24   なので、<4> の数値は「0」で、

1×2×3×4×5=120 なので、<5> の数値は「1」です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)<10>、<15>の数値をそれぞれ答えなさい。

(2)<A> の数値にならない整数があります。それらのうち、小さい方から2つ答えなさい。

(3)<1>、<2>、<3>、・・・、<125> の数値の合計を求めなさい。

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算数解法の極意!約束記号計算の難問(開成中学 2012年)

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2以上150以下の整数Nに対して、<N>はNの約数の中で2番目に大きい整数を表すことにします。たとえば、6の約数は1,2,3,6 なので、<6>=3 であり、7の約数は1,7 なので<7>=1 です。このとき、次の問に答えなさい。

(1)2以上150以下のすべての偶数Nに対する<N>の和、すなわち、<2>+<4>+<6>+・・・+<150>を求めなさい。

(2)2以上150以下のすべての3の倍数Nに対する<N>の和、すなわち、<3>+<6>+<9>+・・・+<150>を求めなさい。

(3)A÷5=<A>、B÷7=<B>、C÷11=<C> となるような2以上150以下の整数A,B,C はそれぞれ何個ありますか。

(4)2以上150以下のすべての整数Nに対する<N>の和、すなわち、<2>+<3>+<4>+・・・+<150>を求めなさい。なお、2以上150以下の整数Nのうち、<N>=1 であるものは35個です。

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算数解法の極意!直角三角形の性質(早稲田実業学校中等部 2010年)

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図のように、点Oを中心とする2つの円があり、大きい円の半径は17cmです。点A、B、C、Dは大き円の周上の点で、四角形ABCDはAD=16cm、BC=30cmの台形です。点E、Fは小さい円の周上の点です。ごのとき、三角形FBCの面積を求めなさい。

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算数解法の極意!図形移動の工夫は?(フェリス女学院中学 2012年)

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図のようなおうぎ形の太線の長さの合計は何cmですか?

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算数解法の極意!規則性と法則を見つけていく難問(筑波大学附属駒場中学 2006年)

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次のように、輪ゴムを立方体の箱にかけます。

・輪ゴムは立方体の辺と直角に交わる

・向きが同じ輪ゴムは重ならない

かけた輪ゴムどうしの交点の個数について考えます。たとえば、下の図のように3本の輪ゴムをかけると、交点は4個できます。このとき、次の問に答えなさい。

(1)3本の輪ゴムをかけるとき、交点は最も多くて何個できますか。

(2)5本の輪ゴムをかけたところ、交点は12個ありました。さらに3本の輪ゴムをかけると、交点は全部で何個になりますか。最も多い場合と最も少ない場合の個数を答えなさい。

(3)100本の輪ゴムをかけるとき、交点は最も多くて何個できますか。

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算数解法の極意!平行線を利用した相似問題(栄東中学東大クラス選抜 2010年)

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2つの正三角形ABC,DCEがあります。下の図のように,3点B,C,Eが一直線上にあるような図形を考えます。さらに.ACとBDの交点をF,AEとBDの交点をGとします。BC:CE=5:2のとき,BF:FG:GDを最も簡単な整数の比で表しなさい。

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算数解法の極意!すごろくの算数問題(サレジオ学院中学 2009年)

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1個のさいころを使って,次のようなゲームをはじめます。図の中で,さいころをふって出た目の数だけ自分のコマをゴールに向かって移動させます。コマがゴールにちょうどたどり着いたときにゲームを終了します。ただし,ゴ-ルにちょうどたどり着かなかった場合には,残った数だけもどります。たとえば,⑪にコマがあるとき,次に6の目が出た場合には⑬に移動させます。そして,次に2の目が出ればゲームが終了になります。次の問いに答えなさい。

(1)⑩にコマがあるとき,そこから2回さいころをふってゲームが終了になる場合は,全部で何通りありますか。

(2)スタートから3回さいころをふってゲームが終了になる場合は,全部で何通りありますか。

(3)スタートから,何回さいころをふっても偶数の目しか出ない場合は,ゲームは終了できません。この理由を答えなさい。

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