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2015年7月

並べ方の場合の数(巣鴨中学 2012年)

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下の図1のように、マッチ棒で 0から9 までの十種類の数字を作ることができます。たとえば 「8」 はマッチ棒をちょうど7本使って作ることができます。このとき次の問に答えなさい。ただし、答えが求められないときは 「なし」 と答えなさい。

Pic_3026q

(1)マッチ棒をちょうど10本使って2ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(2)マッチ棒をちょうど10本使って3ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(3)下の図2は、①、②、③にそれぞれマッチ棒をちょうど10本ずつ使って作った計算式です。このとき、③に当てはまる最大の整数を求めなさい。ただし、①、②にはそれぞれ(1)で作った整数、③には(2)で作った整数が入ります。

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いくつに分けられますか?(慶應義塾中等部 2011年)

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1枚の画用紙があります。この画用紙に直線を1本引くと下の図A のように、【 ア 】、【 イ 】の2つの部分に分けることができます。直線を2本引くと、図B の場合は3つの部分にしか分けることができませんが、図C の場合は4つの部分に分けることができます。このとき、次の問に答なさい。

Pic_2740q

(1)直線を4本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、何個の部分にわけることができますか。

(2)直線を10本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、何個の部分にわけることができますか。

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算数解法の極意!学校、A地点、B地点、公園(筑波大学附属駒場中学 2008年)

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学校から公園までの道の途中に、A地点とB地点がこの順にあります。花子さんは、午前9時に徒歩で学校を出発し、公園に向かいました。途中、A地点で7分間、B地点で12分間休みました。太郎君は、午前9時20分に自転車で学校を出発し、途中休まずに公園に行き、そこで7分間休んだ後、学校に向けて公園を出発しました。この間、午前9時28分にA地点の手前のP地点で、太郎君は花子さんを追い抜きました。また、太郎君は公園を出発してから10分後にB地点を通過し、そのときちょうど花子さんがB地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。ただし、花子さんの歩く速さと太郎君の自転車の速さは、それぞれ一定であるものとします。

(1)太郎君の速さは花子さんの速さの何倍ですか。

(2)P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の何倍ですか。

(3)花子さんが公園に着いたのは午前何時何分ですか。

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算数解法の極意!角度と長さと面積は?(フェリス女学院中学 2009年)

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図の三角形ABCは,辺ABと辺ACの長さが等しく,辺BCの長さは6cmです。頂点Aから辺BCに垂直に引いた直線ADと,頂点Cから辺ABに垂直に引いた直線CEとが交わった点をFとします。次の問いに答えなさい。

(1)「あ」の角度を求めなさい。

(2)AFの長さを求めなさい・

(3)三角形AFCの面積を求めなさい。

1

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点Pの動く様子は?(東京農業大学第一中等部 2010年)

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(1)右の図のように、1辺の長さが1の正六角形のなかに、1辺の 長さが1の正三角形が置かれています。正三角形を正六角形の内側で矢印の向きに転がして一周させるとき、点Pの動く様子を表した図として正しいものを次のア~カの中から一つ選び、記号で答えなさい。 

2

(2)折り目のついていない正三角形の祈り紙を、下の①~④のように折っていきます。

3

④を開いたとき、ついている祈り目として正しいものを次のア~カの中から一つ選び、記号で答えなさい。

4

5 (3)右の図のように立方体の辺に沿って針金を祈り曲げます。この針金を動かし、上から光を当てたときにできる影のうち、決して現れない影の形を次のア~カの中から一つ選び、記号で答えなさい。

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さいころの目の出方は何通り?(法政大学中学 2009年)

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図のように、①~⑥の数字が円周上に並んでいます。いま①の場所からスタートし、さいころをふって出た目の数が3の倍数のときは時計回りに2つ進み、それ以外の場合は反時計回りに1つ進むゲームをします。このとき,次の問いに答えなさい。

(1)さいころを2回投げて⑤の場所にくるとき、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。 

(2)さいころを4回投げて⑥の場所にくるとき、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。 

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正方形の作図、何通り?(早稲田中学 2012年)

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たて1cm、横2cmの長方形2個と、1辺の長さが1cmの正方形5個を並べて、1辺の長さが3cmの正方形を作ります。1辺の長さが1cmの正方形が1辺の長さが3cmの正方形の真ん中にある並べ方は全部で何通りありますか。ただし、回転して同じ並べ方になるものは1通りとして数えます。

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本箱の幅は何cm?(雙葉中学 2010年)

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表のような3種類の本A、B、Cがあります。このうち何冊かを本箱に一列に並べます。まず、できるだけ多く本を並べると26冊になり、27冊目は並びません。次に、本箱の幅ぴったりに並べたところ、全部で23冊になり、そのうちBは14冊でした。A、Cは何冊でしたか。本箱の幅は何cmですか。

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扇形の回転(麻布中学 2000年)

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半径3cm、中心角60度の扇形ABCの1辺が長方形に接しています。長方形のDEの長さは6cm、EFの長さは扇形ABCの弧の長さと等しくなっています。

Pic_0777q

扇形がすべることなく長方形の周りを時計回りに移動して1周するとき、次の問に答えなさい。

(1)扇形が通った部分を図示しなさい。

(2)(1)で図示した部分の面積は、扇形ABCと三角形ABCの何個分の面積と等しくなるか答えなさい。

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算数解法の極意!三角形の面積比と長さは?(市川中学 2011年)

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図のように,ABとCDは点0で直角に交わっています。三角形OACと三角形OBDの面積の和が30c㎡,三角形OBEと三角形OAFの面積の和が14c㎡のとき,ABの長さを求めなさい。

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立方体のくりぬき(筑波大学附属中学 2012年)

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125個の立方体が,縦横5つずつ5段に積み重ねられています。下の図のように,となり合う2つの面の色のついた部分で,表面に垂直な方向に型抜きをすると,残った立方体はいくつになりますか。

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算数解法の極意!正六角形と面積比 (白百合学園中学 2004年)

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正六角形があり、各頂点を線で結び、さらに交点どうしを線で結んで、下図のように色をつけました。色の付いた部分と、元の正六角形の面積比を求めなさい。  

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算数解法の極意!川の流れと船の速さは?(武蔵中学 2007年)

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21kmはなれた川のA地点とB地点を船で往復しました。AからBへ上るときは2時間6分かかり、BからAへ下るときは、川の流れが1時間あたり1.4km速くなっていたので、1時間15分ですみました。次の問に答えなさい。

(1)水の流れがないとき、この船の速さは時速何kmですか。

(2)BからAへ下るときの川の流れが、もし上りのときより1時間あたり0.4kmおそくなっていたとすると、下りにはどれくらいの時間がかかりますか。

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算数解法の極意!大人と子どもの人数は?(六甲中学 2010年)

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大人と子ども合わせて77人が遊園地に行きます。交通費は大人1000円,子ども500円で,遊園地の入園料は大人3000円,子ども2000円です。また,大人全体の費用と子ども全体の費用の比は4:3です。大人,子どもはそれぞれ何人ですか。

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算数解法の極意!トーナメント戦の計算問題 (慶應義塾湘南藤沢中等部 2008年)

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2,4,8,16,・・・,のように、2をいくつかかけ合せた数のチーム数が参加するトーナメント(勝ち抜き戦)を考えます。1つのトーナメントで行われる各試合が何回戦かを示す各数字をすべて加えた数を N で表します。たとえば、チーム数が8のときには、下の図のようなトーナメントになり、1回戦が4試合、2回戦が2試合、3回戦が1試合行われ、N=1+1+1+1+2+2+3=11となります。このとき、次の問に答えなさい。

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(1)チーム数が16のトーナメントでは、Nはいくつになりますか。

(2)6回戦が決勝戦となるトーナメントでは、Nはいくつになりますか。

(3)あるチーム数のトーナメントでは、N=4083 になりました。この2倍のチーム数のトーナメントでは、N=8178 になります。N=4083 となるときのチーム数を求めなさい。

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算数解法の極意!持っていたタイルの枚数は?(浦和明の星女子中学 2008年)

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Aさんは,たての長さlcm,横の長さ2cmの長方形の形をしたタイルを敷き詰めて,正方形の形に並べることにしました。例えば,18枚のタイルを並べると,下の図のようになります。Aさんがいま持っているタイルをすべて使うと,ある大きさの正方形の形に並べられますが,さらに30枚のタイルかあれば,その正方形より1辺の長さが2cm長い正方形の形に並べられます。持っているタイルは何枚でしょうか。

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算数解法の極意!長方形の分割(筑波大学附属駒場中学 2001年)

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縦40cm、横128cmの長方形の紙があります。この紙を縦または横の辺に平行に切り、面積が小さい方の紙を捨て、大きい方の紙だけ残します。2枚の紙の面積が同じ場合は、どちらか一方を残します。下の図1のようなこの操作を1回と数え、残った長方形の紙に対して、同じ操作をくり返し行います。何回かの操作の後、残った紙が正方形になるようにするとき、次の問に答えなさい。

Pic_2618q

(1)2回の操作で残った紙が正方形になるようにするには、1回目の操作でどこを切ればよいですか。切ってもよい部分を下の図2の長方形に描きこんで色をつけなさい。また、その部分の位置がわかるように、長さも書きなさい。

Pic_2619q

(2)3回の操作で、1辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。この正方形の1辺の長さを答えなさい。

(3)13回の操作で、1辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。このとき、捨てた紙の面積の合計を求めなさい。

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算数解法の極意!長方形の中のおうぎ形(洗足学園中学 2009年)

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図のように、横の長さが30cmの長方形があります。

この長方形の4つの頂点を中心に、それぞれ円の一部をかいたところ、

EIの長さが12cmになりました。

AG:GB=7:5のとき、DEの長さは何cmですか。

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算数解法の極意!仕事のスピードと時間の関係は?(栄光学園中学 2011年)

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A君、B君、C君、D君の4人で、千羽鶴(せんばづる)を折ることにしました。1人250羽ずつ折ります。ある日の正午に4人同時に折り始めたところ、A君が80羽を仕上げたのが、その日の午後2時台(2時から3時の間)、B君が120羽を仕上げたのが、その日の午後4時台、C君が160羽を仕上げたのが、その日の午後6時台、D君が240羽を仕上げたのが、その日の午後8時台でした。ただし、それぞれ250羽を仕上げるまで、休みなく同じペースで折り続けたものとします。このとき、次の問に答えなさい。

(1)250羽を仕上げた順番として考えられるものを、下の例にならって全て答えなさい。ただし、だれかとだれかが同時に仕上げたということはなかったものとします。

【例】A,B,C,D の順番で仕上げた場合:(A,B,C,D)

(2)千羽鶴は、最も早くて午後何時何分何秒に仕上がったと考えられますか。

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算数解法の極意!等分線の書き込まれた数(滝中学 2010年)

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下の図のように1本のひもがあります。そのひもを2等分する1ヶ所に「2」を書きこみ,次に3等分する2ヶ所に「3」を書きこみます。次にひもを4等分するところに「4」を書きこみますが,すでに2等分されているちょうど真ん中の点には「2」が書きこまれているため,それ以外の4等分するところに「4」を書きこみます。つまり,「4」を書きこむ場所は2ヶ所で,数を重ねて書きこむことはありません。同様にして,ひもに「5」,「6」,「7」,「8」,・・・と数を順に「16」まで書きこんでいきます。

(1)6等分したとき,「6」を書きこんだ場所は何ケ所ですか。

(2)8等分したとき,「8」を書きこんだ場所は何ケ所ですか。

(3)8等分までしたとき,左から数えて6番目と9番目の数はそれぞれいくつですか。

(4)16等分までしたとき,いくつかの数は6ケ所に書きこまれました。それらの数をすべて答えてください。

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算数解法の極意!面積比と長さ比は?(城北中学 2012年)

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下の図で,四角形ABCDは台形,四角形ABEDは平行四辺形です。また,台形ABCDの面積は28c㎡,三角形ABCの面積は22c㎡です。このとき,DFは何cmですか。

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数字の入れ方は何通り?(早稲田実業中等部 2006年)解法の極意!

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下の条件(ア)、(イ)、(ウ)を満たすように、Aから I の9個のマスに1から9までの異なる整数を入れます。数字の入れ方として考えられるのは何通りあるか答えなさい。

(ア)B,D,F,Hに入る整数は連続する4つの整数で、数字の大きさは、小さい順にB,D,F,Hです。

(イ)E,C,Gに入る整数は連続する3つの整数で、数字の大きさは、小さい順にE,C,Gです。

(ウ)A,E,I に入る整数の和は14です。

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難問に挑戦→正四面体の切断(慶應義塾中等部 2012年)

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1辺の長さが 6cm の正三角形を4枚はり合わせて、下の図アのような立体を作りました。点P は辺AD上、点Q は辺AB上、点R は辺CD上にあり、AP=2cm、BQ=1cm、CR=3cmです。3点P,Q,R を通る平面でこの立体を切り、2つの立体に分けるとき、次の問に答えなさい。

Pic_2829q_2

(1)3点P,Q,R を通る平面が辺BC を切る点をS とするとき、BS の長さを求めなさい。

(2)2つの立体の表面の面積の差は、正三角形ABC の何倍ですか。

図解と解法例はこちらに!

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