算数解法の極意！: 2015年7月

学校から公園までの道の途中に、Ａ地点とＢ地点がこの順にあります。花子さんは、午前９時に徒歩で学校を出発し、公園に向かいました。途中、Ａ地点で７分間、Ｂ地点で１２分間休みました。太郎君は、午前９時２０分に自転車で学校を出発し、途中休まずに公園に行き、そこで７分間休んだ後、学校に向けて公園を出発しました。この間、午前９時２８分にＡ地点の手前のＰ地点で、太郎君は花子さんを追い抜きました。また、太郎君は公園を出発してから１０分後にＢ地点を通過し、そのときちょうど花子さんがＢ地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。ただし、花子さんの歩く速さと太郎君の自転車の速さは、それぞれ一定であるものとします。

（１）太郎君の速さは花子さんの速さの何倍ですか。

（２）Ｐ地点とＢ地点の間の距離は、Ｂ地点と公園の間の距離の何倍ですか。

（３）花子さんが公園に着いたのは午前何時何分ですか。

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算数解法の極意！角度と長さと面積は？（フェリス女学院中学　２００９年）

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図の三角形ABCは，辺ABと辺ACの長さが等しく，辺BCの長さは６ｃｍです。頂点Ａから辺BCに垂直に引いた直線ADと，頂点Cから辺ABに垂直に引いた直線CEとが交わった点をＦとします。次の問いに答えなさい。

（１）「あ」の角度を求めなさい。

（２）AFの長さを求めなさい・

（３）三角形AFCの面積を求めなさい。

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点Ｐの動く様子は？（東京農業大学第一中等部　２０１０年）

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（１）右の図のように、１辺の長さが１の正六角形のなかに、１辺の長さが１の正三角形が置かれています。正三角形を正六角形の内側で矢印の向きに転がして一周させるとき、点Ｐの動く様子を表した図として正しいものを次のア～カの中から一つ選び、記号で答えなさい。

（２）折り目のついていない正三角形の祈り紙を、下の①～④のように折っていきます。

④を開いたとき、ついている祈り目として正しいものを次のア～カの中から一つ選び、記号で答えなさい。

（３）右の図のように立方体の辺に沿って針金を祈り曲げます。この針金を動かし、上から光を当てたときにできる影のうち、決して現れない影の形を次のア～カの中から一つ選び、記号で答えなさい。

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さいころの目の出方は何通り？（法政大学中学　２００９年）

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図のように、①～⑥の数字が円周上に並んでいます。いま①の場所からスタートし、さいころをふって出た目の数が３の倍数のときは時計回りに２つ進み、それ以外の場合は反時計回りに１つ進むゲームをします。このとき，次の問いに答えなさい。

（１）さいころを２回投げて⑤の場所にくるとき、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。　

（２）さいころを４回投げて⑥の場所にくるとき、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。　

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正方形の作図、何通り？（早稲田中学　２０１２年）

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たて１ｃｍ、横２ｃｍの長方形２個と、１辺の長さが１ｃｍの正方形５個を並べて、１辺の長さが３ｃｍの正方形を作ります。１辺の長さが１ｃｍの正方形が１辺の長さが３ｃｍの正方形の真ん中にある並べ方は全部で何通りありますか。ただし、回転して同じ並べ方になるものは１通りとして数えます。

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本箱の幅は何ｃｍ？（雙葉中学　２０１０年）

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表のような３種類の本Ａ、Ｂ、Ｃがあります。このうち何冊かを本箱に一列に並べます。まず、できるだけ多く本を並べると26冊になり、27冊目は並びません。次に、本箱の幅ぴったりに並べたところ、全部で23冊になり、そのうちＢは14冊でした。Ａ、Ｃは何冊でしたか。本箱の幅は何ｃｍですか。

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扇形の回転（麻布中学　2000年）

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半径３ｃｍ、中心角６０度の扇形ＡＢＣの１辺が長方形に接しています。長方形のＤＥの長さは６ｃｍ、ＥＦの長さは扇形ＡＢＣの弧の長さと等しくなっています。

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扇形がすべることなく長方形の周りを時計回りに移動して１周するとき、次の問に答えなさい。

（１）扇形が通った部分を図示しなさい。

（２）（１）で図示した部分の面積は、扇形ＡＢＣと三角形ＡＢＣの何個分の面積と等しくなるか答えなさい。

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算数解法の極意！三角形の面積比と長さは？（市川中学　２０１１年）

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図のように，ＡＢとＣＤは点０で直角に交わっています。三角形ＯＡＣと三角形ＯＢＤの面積の和が３０ｃ㎡，三角形ＯＢＥと三角形ＯＡＦの面積の和が１４ｃ㎡のとき，ＡＢの長さを求めなさい。

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立方体のくりぬき（筑波大学附属中学　２０１２年）

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125個の立方体が，縦横５つずつ５段に積み重ねられています。下の図のように，となり合う２つの面の色のついた部分で，表面に垂直な方向に型抜きをすると，残った立方体はいくつになりますか。

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算数解法の極意！正六角形と面積比　（白百合学園中学　2004年）

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正六角形があり、各頂点を線で結び、さらに交点どうしを線で結んで、下図のように色をつけました。色の付いた部分と、元の正六角形の面積比を求めなさい。　　

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算数解法の極意！川の流れと船の速さは？（武蔵中学　２００７年）

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２１ｋｍはなれた川のＡ地点とＢ地点を船で往復しました。ＡからＢへ上るときは２時間６分かかり、ＢからＡへ下るときは、川の流れが１時間あたり１．４ｋｍ速くなっていたので、１時間１５分ですみました。次の問に答えなさい。

（１）水の流れがないとき、この船の速さは時速何ｋｍですか。

（２）ＢからＡへ下るときの川の流れが、もし上りのときより１時間あたり０．４ｋｍおそくなっていたとすると、下りにはどれくらいの時間がかかりますか。

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算数解法の極意！大人と子どもの人数は？（六甲中学　２０１０年）

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大人と子ども合わせて77人が遊園地に行きます。交通費は大人1000円，子ども500円で，遊園地の入園料は大人3000円，子ども2000円です。また，大人全体の費用と子ども全体の費用の比は４：３です。大人，子どもはそれぞれ何人ですか。

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算数解法の極意！トーナメント戦の計算問題　（慶應義塾湘南藤沢中等部　2008年）

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２，４，８，１６，・・・，のように、２をいくつかかけ合せた数のチーム数が参加するトーナメント（勝ち抜き戦）を考えます。１つのトーナメントで行われる各試合が何回戦かを示す各数字をすべて加えた数をＮで表します。たとえば、チーム数が８のときには、下の図のようなトーナメントになり、１回戦が４試合、２回戦が２試合、３回戦が１試合行われ、Ｎ＝１＋１＋１＋１＋２＋２＋３＝１１となります。このとき、次の問に答えなさい。

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（１）チーム数が１６のトーナメントでは、Ｎはいくつになりますか。

（２）６回戦が決勝戦となるトーナメントでは、Ｎはいくつになりますか。

（３）あるチーム数のトーナメントでは、Ｎ＝４０８３になりました。この２倍のチーム数のトーナメントでは、Ｎ＝８１７８になります。Ｎ＝４０８３となるときのチーム数を求めなさい。

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算数解法の極意！持っていたタイルの枚数は？（浦和明の星女子中学　２００８年）

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Ａさんは，たての長さｌｃｍ，横の長さ２ｃｍの長方形の形をしたタイルを敷き詰めて，正方形の形に並べることにしました。例えば，１８枚のタイルを並べると，下の図のようになります。Ａさんがいま持っているタイルをすべて使うと，ある大きさの正方形の形に並べられますが，さらに３０枚のタイルかあれば，その正方形より１辺の長さが２ｃｍ長い正方形の形に並べられます。持っているタイルは何枚でしょうか。

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算数解法の極意！長方形の分割（筑波大学附属駒場中学　2001年）

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縦４０ｃｍ、横１２８ｃｍの長方形の紙があります。この紙を縦または横の辺に平行に切り、面積が小さい方の紙を捨て、大きい方の紙だけ残します。２枚の紙の面積が同じ場合は、どちらか一方を残します。下の図１のようなこの操作を１回と数え、残った長方形の紙に対して、同じ操作をくり返し行います。何回かの操作の後、残った紙が正方形になるようにするとき、次の問に答えなさい。

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（１）２回の操作で残った紙が正方形になるようにするには、１回目の操作でどこを切ればよいですか。切ってもよい部分を下の図２の長方形に描きこんで色をつけなさい。また、その部分の位置がわかるように、長さも書きなさい。

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（２）３回の操作で、１辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。この正方形の１辺の長さを答えなさい。

（３）１３回の操作で、１辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。このとき、捨てた紙の面積の合計を求めなさい。

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算数解法の極意！長方形の中のおうぎ形（洗足学園中学　２００９年）

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図のように、横の長さが30cmの長方形があります。

この長方形の４つの頂点を中心に、それぞれ円の一部をかいたところ、

ＥＩの長さが12cmになりました。

ＡＧ：ＧＢ＝７：５のとき、ＤＥの長さは何cmですか。

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算数解法の極意！仕事のスピードと時間の関係は？（栄光学園中学　2011年）

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Ａ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君の４人で、千羽鶴（せんばづる）を折ることにしました。１人２５０羽ずつ折ります。ある日の正午に４人同時に折り始めたところ、Ａ君が８０羽を仕上げたのが、その日の午後２時台（２時から３時の間）、Ｂ君が１２０羽を仕上げたのが、その日の午後４時台、Ｃ君が１６０羽を仕上げたのが、その日の午後６時台、Ｄ君が２４０羽を仕上げたのが、その日の午後８時台でした。ただし、それぞれ２５０羽を仕上げるまで、休みなく同じペースで折り続けたものとします。このとき、次の問に答えなさい。

（１）２５０羽を仕上げた順番として考えられるものを、下の例にならって全て答えなさい。ただし、だれかとだれかが同時に仕上げたということはなかったものとします。

【例】Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの順番で仕上げた場合：（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）

（２）千羽鶴は、最も早くて午後何時何分何秒に仕上がったと考えられますか。

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算数解法の極意！等分線の書き込まれた数（滝中学　２０１０年）

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下の図のように１本のひもがあります。そのひもを２等分する1ヶ所に「２」を書きこみ，次に３等分する２ヶ所に「３」を書きこみます。次にひもを４等分するところに「４」を書きこみますが，すでに２等分されているちょうど真ん中の点には「２」が書きこまれているため，それ以外の４等分するところに「４」を書きこみます。つまり，「４」を書きこむ場所は２ヶ所で，数を重ねて書きこむことはありません。同様にして，ひもに「５」，「６」，「７」，「８」，・・・と数を順に「16」まで書きこんでいきます。

（１）6等分したとき，「6」を書きこんだ場所は何ケ所ですか。

（２）8等分したとき，「8」を書きこんだ場所は何ケ所ですか。

（３）8等分までしたとき，左から数えて６番目と９番目の数はそれぞれいくつですか。

（４）16等分までしたとき，いくつかの数は6ケ所に書きこまれました。それらの数をすべて答えてください。