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2016年10月

2016年10月26日 (水)

てんびん図で食塩水の濃度を考えると?

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天びん図で食塩水を考える場合は、

両方に食塩水をつるして、

つりあったところが両方の食塩水を混ぜたあとの濃度と考えます。

まず図を見てください。↓

113061

ある食塩水Agと別の食塩水Bgを混ぜるとCgの食塩水ができます。

ですからAg+Bg=Cgになります。

そして、この食塩水の重さの比が、

つりあうてんびんの長さの逆比になるところがポイントです。

113062

つまり、A:B=イ:アになるわけです。

A:B=2:3なら、イ:アの長さも2:3です。

重い方が短く、軽い方が長い、と考えればわかりやすいと思います。

たとえば、こんな場合で↓

113063

Aが200gでBが300gの場合、

食塩水の重さの比はA:B=200:300=2:3、

Aが10%、Bが15%ならAの方の長さが3でBの方の長さは2になります。

AからBまで5%ですから

それを3:2に分けるところは10+3=13%です。

混ぜたあとの食塩水の濃度は13%ということになります。

Aは200gで10%、Bは300gで15%ですから、

Aに含まれる食塩は200×0.1=20g、

Bに含まれる食塩は300×0.15=45gですから、

Cは(20+45)÷(200+300)×100=13%ですね。

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ここで重要なのは、食塩を100%の食塩水と考えること。

そして、水は0%の食塩水と考えることです。

たとえば、食塩が10gで水が90gの場合、

混ぜると何%の食塩水ができるでしょう?

食塩の重さと水の重さの比は1:9、

つりあう長さの比は逆比になって、食塩の方は9で水の方は1です。

つまり100%を(9+1)で分けて、

0%+100÷10×1=10%になります。

ではイメージで、てんびん図を見てください。

10261

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2016年10月24日 (月)

通過算の考え方

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おなじみの通過算ですが、基本的に3つのケースに分けられます。

一番目のケース

列車が人や電柱、木など長さを持たないものの前を通過するケースで、

列車の長さだけを考えればいい場合です。

Bandicam_20161024_085056512
たとえば、列車の長さが100mで、

先頭が木にさしかかった瞬間から

最後尾が通過するまで10秒かかったとすれば、

100÷10=10 で

列車の速さは秒速10mということになります。

二番目のケース

よく出題されるのが鉄橋などを渡る場合です。

Bandicam_20161024_085116749

この場合は、列車の先頭が鉄橋にさしかかった瞬間から、

最後尾が渡り終えるまでを考えます。

列車の先頭だけに気をとられていると間違ってしまいます。

列車の長さを含めるわけです。

つまり、鉄橋の長さと列車の長さをたした距離が移動距離になります。

たとえば、列車の長さが100m、

鉄橋の長さが200mで渡り終えるまで15秒かかったとすれば、

100+200=300m が移動距離になりますから、

(100+200)÷15=20 で、

列車の速さは秒速20mということになります。

三番目のケース

こんどはトンネルなどに入る場合です。

Bandicam_20161024_085137018

列車が完全にトンネルに入り見えなくなってから、

先頭がトンネルから見えた瞬間までを問う問題がよく出題されます。

たとえば、300mのトンネルに、

100mの列車の最後尾が完全に入ってから、

先頭が顔を出す瞬間まで10秒かかったとすれば、

列車の移動距離は300-100=200m

つまり、この場合は列車の長さを引かなければなりません。

(300―100)÷10=20で、

列車の速度は秒速20mと計算されます。

このように、通過算は列車の長さが注目ポイントです。

列車の長さを考えなくていいケース。

列車の長さを加えて考えるケース。

列車の長さを引いて考えるケース。

これをしっかりおさえておきましょう。

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では実際の中学入試で出題された問題を例にして考えてみましょう。


ある列車が510mの鉄橋を渡るのに21秒かかりました。

また、線路のすぐそばで見ていたA子さんの前を列車が通るのに

6秒かかりました。

この列車の長さを求めなさい。

ただし、列車は鉄橋を渡るときも、

A子さんの前を通るときも同じ一定の速度で走ったとものとします。

考え方と答えは↓こちらです。

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2016年10月21日 (金)

数列の規則性を考えてみよう!

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今回は数列の規則性について考えてみましょう。

1、4、7、10、13・・・・ こんな数列があって、

10番目の数を求める問題です。

実際に10番目まで書いてみて、

答えを見つける子もいるのではないかと思いますが、 これも基本です。

実際に書いてみて規則性を見つけているわけです。

1、4、7、10、13、16、19、22、25、28 答えは28。

では計算で求めるにはどうするか。

そうですね。まず差に注目します。

1、4、7、10、13・・・

3 3 3  3・・・・

このように差が3になっていることを発見して、

次にその差がいくつあるか考えます。

ここで植木算が登場!

両端のある間隔の数は1つ少なくなります。

10番目までなら、間隔は10-1=9個。

差の3が9個ですから3×9=27

最初の1を忘れずにたして、27+1=28。

公式は1+3×(n-1)ですから、

n=10なら、1+3×(10-1)=28になります。

では、10番目までの数を全部たしたらいくつになるか、と問われたら?

1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=

1+4+7+10+13+16+19+22+25+28

28+25+22+19+16+13+10+7+4+1

こんな風に書いてみると、29(=1+28)が10個あることがわかります。

ですから、(1+28)×10÷2=145が答えです。

これ、数学者のガウスが子供のころ発見した計算法でガウス算とも呼ばれています。

台形の面積の出し方もこの原理に基づいています。

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次に等差数列ではない数列について考えてみましょう。

1、3、7、13、21、・・・・・・の数列で、20番目の数はいくつですか。

誰もが差を考えますよね。

1、3、7、13、21、・・・・  

2、4、6、8・・・・ 等差数列ではありません。

ではこの差の差をみてみると・・・

2、4、6、8・・・  

2、2、2、・・・・ 3段目で等差数列が出てきました。

20番目までで3段目の差「2」がいくつあるか?

ここで間違えやすいですね。

2段目の差が20-1=19

3段目の差は19-1=18

3段目の差の合計は2×18=36

すると2段目の19番目は2+36=38になります。

1段目の20番目は 1+(2+4+6+8+・・・・+38)

ここまで来て間違えやすいのが、2~38までの偶数の個数!

(38-2)÷2=18個としないこと!

38÷2=19個、指を折って数えてもいいかもしれません。

あとはガウス算を使って、

1+(2+38)×19÷2=381

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2016年10月17日 (月)

求積の工夫をしよう!

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今回は図形をずらせて面積を求める問題2例をご紹介します。

求積問題では一見、ちょっとわかりにくい図形が出てきます。

たとえば↓このような、半円が一方の端を中心に回転し、

その軌跡部分の面積を求める問題。

Bandicam_20161017_083657220_2

全体から半円を引けばいいのですが、その全体がまずわかりません。

そこで、無理やり全体を求めるのでなく、工夫が必要になります。

では解き方の流れを見てください。

このように、全体図形を一つのシルエットとして見ると、

半円は下の部分にあるだけでなく、

元の左上部分にあることに気がつきます。

その半円を取ると、なんとそこにはおうぎ形が残ります。

つまり、このおうぎ形の面積だけを求めればよいことになります。

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次に正方形内に2つの半円がある問題。

Bandicam_20161017_084149028

どのように区切ってわかりやすい図形にしたら良いでしょうか?

右下の木の葉形部分に注目してください。

木の葉の真ん中に筋があるように、木の葉を2つの部分に分けてみましょう。

そしてそのそれぞれの部分を左上の凹んだ部分にうめてみると・・・

おお! 三角形になってしまいますね。

つまり、ちょっと複雑な形が正方形を2分する直角二等辺三角形に!

面積は10×10=100c㎡の半分で50c㎡。

わかってしまえば、「なーんだ」ですけど、

一目でピンとくるように訓練したいものです。

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2016年10月15日 (土)

これで完ぺき、旅人算

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いろんなところに姿を変えて出てくる旅人算ですが、

結局、16のパターンのどれかに、あてはまります。

まず、大きく分けて4つあります。

第1が出会いです。

↓このようなパターン

どんどん近くなるパターンです。

道のりAを(速さa+速さb)で割れば出会うまでの時間が出ます。

A÷(a+b)=時間

ここには道のりAと速さaと速さbと時間の4つの要素がありますが、

問題では3つの要素がわかっていて、

あと一つの要素を計算で求めさせるわけです。

ですから4種類の問題ができます。

第2が別れ(?)です。

↓このようなパターン

どんどん遠ざかるパターンです。

この場合も2人の速さの和を求めて、

時間をかければ離れた道のりが求められます。

(a+b)×時間=道のりA

ここでもどれか1つ未知数を作れば問題は4種類できるわけです。

第3が差のついていくものです。

↓このようなパターン

だんだん差がついていくパターンです。

この場合は2人の速さの差が重要で、

時間をかければついた差が求められます。

(aーb)×時間=差B

これも4種類の問題が可能です。

第4が追っかけです。

↓このようなパターン

これも2人の速さの差を使って、

最初からついていた道のりの差を割れば追いつく時間が出ます。

B÷(aーb)=追いつく時間

これも未知数を4つのうちの1つにすれば、

4種類の問題ができます。

全部で4×4=16パターンになるわけです。

もっとも、子どもたちにとってはそれを見極めるのが難しいのですが、

イメージを頭に入れてパターン練習をくりかえすことで慣れていきます。

なんとか受験までにはこなせるようにしましょう。

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 では、応用問題です。

A君は分速120m、B君は分速100mで甲地から乙地へ、

C君は分速80mで乙地から甲地へ向けて同時に出発します。

A君とC君が出会ってから6分後にB君とC君が出会ったとすると

甲地から乙地までは何m離れていますか。

親子で考えた解法例はこちらです↓。

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2016年10月13日 (木)

速さと道のりの関係は?

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駅前からはじまる1本の道があります。

A、B 2人は駅から、またCは駅より何kmか先の地点から、

3人が同時に出発して同じ方向に走り出しました。

駅から7km先の地点でBとCが並びました。

駅から10km先の地点でAとCが並びました。

また、駅から16.8km先の地点にBが来たとき、

Cは駅から14km先の地点にいました。

このとき、Aは駅から何km先の地点にいましたか。

ただし、3人ともそれぞれ一定の速さで走りました。

Ilm03_bb01006s

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Gif10131_2
図解と解法例はこちらに!
2403_2

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2016年10月11日 (火)

面積が等しいときのケース(2012年 日本女子大学附属中学)

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図は長方形と1/4の円を組み合わせたものです。

AとBの部分の面積が等しいとき、長方形の横の長さは何cmですか。

ただし、円周率は3.14とします。

1_2 

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Gifa1

考え方とこたえ

2403_2

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2016年10月 8日 (土)

正方形を折ったイメージは?

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正方形の紙ABCDがあります。AB=30cm、BC=30cmです。
この紙を図のように折り重ねました。

(1)DHの長さとHIの長さを求めなさい。

(2)五角形EFIHGの面積は何c㎡ですか。

Monzu1

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Gif1076

解法例はこちらで!

4_2

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2016年10月 4日 (火)

時計算の解き方

1043

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3時と4時の間で

時計の長針の方向と12時の方向とのなす角を

短針が2等分するのは、何時何分ですか。

Bandicam_20161004_072717025

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Gifc3


図解と解法例はこちらに!

300

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2016年10月 1日 (土)

正三角形の個数の数え方

5005

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図のように一辺が1cmの正三角形を

1段目に1つ、2段目に3つ、3段目に5つ…と作っていくとき、

次の問いに答えなさい。

(1)1段目から15段目までに、

     一辺が1cmの正三角形が何個ありますか。

(2)5段目までに、

     大小の正三角形

     (一辺が1cm、2cm、3cm、4cm、5cmの正三角形)は

     全部で何個ありますか。

Zu1

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Gifa8

図解と解法例はこちらに!

1

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