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数列の規則性を考えてみよう!

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今回は数列の規則性について考えてみましょう。

1、4、7、10、13・・・・ こんな数列があって、

10番目の数を求める問題です。

実際に10番目まで書いてみて、

答えを見つける子もいるのではないかと思いますが、 これも基本です。

実際に書いてみて規則性を見つけているわけです。

1、4、7、10、13、16、19、22、25、28 答えは28。

では計算で求めるにはどうするか。

そうですね。まず差に注目します。

1、4、7、10、13・・・

3 3 3  3・・・・

このように差が3になっていることを発見して、

次にその差がいくつあるか考えます。

ここで植木算が登場!

両端のある間隔の数は1つ少なくなります。

10番目までなら、間隔は10-1=9個。

差の3が9個ですから3×9=27

最初の1を忘れずにたして、27+1=28。

公式は1+3×(n-1)ですから、

n=10なら、1+3×(10-1)=28になります。

では、10番目までの数を全部たしたらいくつになるか、と問われたら?

1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=

1+4+7+10+13+16+19+22+25+28

28+25+22+19+16+13+10+7+4+1

こんな風に書いてみると、29(=1+28)が10個あることがわかります。

ですから、(1+28)×10÷2=145が答えです。

これ、数学者のガウスが子供のころ発見した計算法でガウス算とも呼ばれています。

台形の面積の出し方もこの原理に基づいています。

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次に等差数列ではない数列について考えてみましょう。

1、3、7、13、21、・・・・・・の数列で、20番目の数はいくつですか。

誰もが差を考えますよね。

1、3、7、13、21、・・・・  

2、4、6、8・・・・ 等差数列ではありません。

ではこの差の差をみてみると・・・

2、4、6、8・・・  

2、2、2、・・・・ 3段目で等差数列が出てきました。

20番目までで3段目の差「2」がいくつあるか?

ここで間違えやすいですね。

2段目の差が20-1=19

3段目の差は19-1=18

3段目の差の合計は2×18=36

すると2段目の19番目は2+36=38になります。

1段目の20番目は 1+(2+4+6+8+・・・・+38)

ここまで来て間違えやすいのが、2~38までの偶数の個数!

(38-2)÷2=18個としないこと!

38÷2=19個、指を折って数えてもいいかもしれません。

あとはガウス算を使って、

1+(2+38)×19÷2=381

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