数列の規則性を考えてみよう！

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今回は数列の規則性について考えてみましょう。

１、４、７、１０、１３・・・・ こんな数列があって、

１０番目の数を求める問題です。

実際に１０番目まで書いてみて、

答えを見つける子もいるのではないかと思いますが、 これも基本です。

実際に書いてみて規則性を見つけているわけです。

１、４、７、１０、１３、１６、１９、２２、２５、２８ 答えは２８。

では計算で求めるにはどうするか。

そうですね。まず差に注目します。

１、４、７、１０、１３・・・

３　３　３　　３・・・・

このように差が３になっていることを発見して、

次にその差がいくつあるか考えます。

ここで植木算が登場！

両端のある間隔の数は１つ少なくなります。

１０番目までなら、間隔は１０－１＝９個。

差の３が９個ですから３×９＝２７

最初の１を忘れずにたして、２７＋１＝２８。

公式は１＋３×（ｎ－１）ですから、

ｎ＝１０なら、１＋３×（１０－１）＝２８になります。

では、１０番目までの数を全部たしたらいくつになるか、と問われたら？

１＋４＋７＋１０＋１３＋１６＋１９＋２２＋２５＋２８＝

１＋４＋７＋１０＋１３＋１６＋１９＋２２＋２５＋２８

２８＋２５＋２２＋１９＋１６＋１３＋１０＋７＋４＋１

こんな風に書いてみると、２９(=１＋２８)が１０個あることがわかります。

ですから、（１＋２８）×１０÷２＝１４５が答えです。

これ、数学者のガウスが子供のころ発見した計算法でガウス算とも呼ばれています。

台形の面積の出し方もこの原理に基づいています。

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次に等差数列ではない数列について考えてみましょう。

１、３、７、１３、２１、・・・・・・の数列で、２０番目の数はいくつですか。

誰もが差を考えますよね。

１、３、７、１３、２１、・・・・ 　

２、４、６、８・・・・ 等差数列ではありません。

ではこの差の差をみてみると・・・

２、４、６、８・・・ 　

２、２、２、・・・・ ３段目で等差数列が出てきました。

２０番目までで３段目の差「２」がいくつあるか？

ここで間違えやすいですね。

２段目の差が２０－１＝１９

３段目の差は１９－１＝１８

３段目の差の合計は２×１８＝３６

すると２段目の１９番目は２＋３６＝３８になります。

１段目の２０番目は １＋（２＋４＋６＋８＋・・・・＋３８）

ここまで来て間違えやすいのが、２～３８までの偶数の個数！

（３８－２)÷２＝１８個としないこと！

３８÷２＝１９個、指を折って数えてもいいかもしれません。

あとはガウス算を使って、

１＋（２＋３８）×１９÷２＝３８１

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