算数解法の極意！

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表の世界、裏の世界

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ドラゴンクエストなどのゲームでよく、

表の世界、裏の世界というシチュエーションがでてきます。

算数では表の世界を実際の単位の世界、

裏の世界を比などの割合の世界と考えると、

整理がついてわかりやすくなります。

たとえばこんな問題。

以前、実際に中学入試で出題された問題です。

ディオファントスという数学者の墓石には、

次のようなことが書かれています。

「ディオファントスはその一生の１/６を少年、

一生の１/１２を青年、さらにその後は、一生の１/７を独身ですごした。

彼は結婚してから５年後に子どもが生まれ、

子どもは彼より４年前に、彼の寿命の半分でこの世を去った。｣

さて、ディオファントスは何歳まで生きましたか。

ここで表の世界は、５年、４年といった実際の単位です。

そして裏の世界は、１/６や１/１２などの割合です。

ディオファントスの一生を１として考えてみましょう。

１/６を少年。

１/１２を青年。

１/７が独身。

１/２が子どもの一生です。

結婚してから子どもが生まれるまでの５年間と、

子どもが亡くなってからディオファントスの寿命がつきるまでの４年間は

割合に入っていません。

５＋４＝９年間は、裏の世界、

つまり割合の世界ではどれだけになるでしょうか？

裏の世界でわかっている割合を全部加算して見ると、

１/６＋１/１２＋１/７＋１/２＝７５/８４です。

残りは、１－７５/８４＝９/８４＝３/２８。

これが表の世界の９年に該当するわけです。

表の世界の９÷３＝３年が裏の世界の３/２８÷３＝１/２８にあたるので、

裏の世界の１は、表の世界の３×２８＝８４年になります。

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では次の問題。

イチゴがいくつかあります。

A君は全体の１/４と３個もらい、

次にB君は残りの１/６と□個もらいました。

最後にC君が残りをもらうと、イチゴの数は３人とも同じになりました。

□は何個ですか？（聖光学院中学）

このように、裏の世界も一筋縄ではいかない問題も出てきます。

この比と、この比は全体の１に当たるものが違う！といった場合です。

上手に線分図などが描けるといいのですが、

これも訓練で、なるべく図を描く習慣を！

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計算の工夫

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中学受験の算数問題は

最初に計算問題が出題されるケースがとても多いです。

地道に計算すれば勉強してきた子はほとんど解けるのですが、

問題はその速さです。

最初の計算で時間を使ってしまうと、

後の問題に使える時間が足りなくなってしまいます。

そこで計算するのにも工夫が必要になってきます。

たとえばこんな問題。

（洛南高校附属中学　2009年）

１７３×９９＋２９７×９＝

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×１１×９＋２９７×９

＝（１７３×１１＋２９７）×９

９９を１１×９にしたのですが、もっと工夫できないでしょうか？

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×（１００－１）＋２９７×（１０－１）

＝１７３００＋２９７０－１７３－２９７

９９＝１００－１、９＝１０－１と考えたのですね。

やや進化しました。

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×９９＋２７×１１×９

＝１７３×９９＋２７×９９

＝（１７３＋２７）×９９

＝２００×９９

＝２００×（１００－１）

＝２００００－２００

＝１９８００

とてもすっきりしましたが、２９７＝２７×１１に気がつくかどうか？

２９７は９９でも割れますから・・・

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×９９＋９９×３×９

これでもいいですよね。

では次の問題です。

（高槻中学　2003年）

２００３×２００４－２００１×２００２＝

こんな図↓で考えてみたらどうでしょうか？

Bandicam_20161118_095034587

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ではこんな問題はどうでしょう。

０．３２×１２－０．０１８×３２＋１．４８×３．２＝

０．３２を１０倍して１２を１/１０にし、

０．０１８を１０倍して３２を１/１０にします。

つまり、全部３．２でそろえてみます。

３．２×（１．２－０．１８＋１．４８）

＝３．２×２．５

＝８

では最後の問題はどんな工夫が必要でしょうか？

６＋６６＋６６６＋６６６６＋６６６６６＋６６６６６６＝

この答え・・・

９＋９９＋９９９＋９９９９＋９９９９９＋９９９９９９＝

この２/３ですよね。

１０＋１００＋１０００＋１００００＋１０００００＋１００００００＝１１１１１１０

ですから、

９＋９９＋９９９＋９９９９＋９９９９９＋９９９９９９

＝１１１１１１０―６

＝１１１１１０４

１１１１１０４×２/３

＝７４０７３６

もっと進化した解答は・・・

６×（１＋１１＋１１１＋１１１１＋１１１１１＋１１１１１１）

６×１２３４５６

＝７４０７３６

いかがでしたでしょうか？

やはり最後はパターン認識と慣れだと思います。

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比例と反比例の考え方

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１冊１００円のノートを２冊買えば２００円、３冊買えば３００円です。

このように、一方が２倍、３倍、・・・になると、

もう一方も２倍、３倍、・・・となる関係を比例といいます。

　　　　　２倍　　　３倍　　　４倍　　　５倍

１冊、　　２冊、　　３冊、　　４冊、　　５冊・・・・・

１００円、２００円、３００円、４００円、５００円、・・・・・

　　　　　　２倍　　　３倍　　　４倍　　　５倍・・・・・

金額をＹ円、ノートの冊数をＸとすると、

Ｙ＝１００×Ｘ、で金額を求める式ができます。

このときの１００にあたるのが１冊あたりのノートの値段で、

これは変化しません。

Ｙ÷Ｘ＝１００、これはいつも一定です。

比例の関係を考える場合、

この変化しない決まった数に注目するとわかりやすくなります。

１冊なら、１００円×１冊＝１００円

２冊なら、１００円×２冊＝２００円

３冊なら、１００円×３冊＝３００円

４冊なら、１００円×４冊＝４００円

５冊なら、１００円×５冊＝５００円

図に表すと↓こうなりますが・・・

Bandicam_20161114_084300507

原点を通る直線になりますね。

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次に、一方が２倍、３倍、・・・になると、

もう一方は１/２倍、１/３倍・・・となる関係を反比例といいます、

長方形の面積が６０ｃ㎡のときのたてと横の長さの関係を考えてみましょう。

たてが

１０ｃｍ、２０ｃｍ、３０ｃｍ、４０ｃｍ、５０ｃｍ・・・・・

横は

６ｃｍ、　３ｃｍ、　２ｃｍ、　１．５ｃｍ、１．２ｃｍ・・・・・

たてが２倍、３倍、４倍、５倍・・・となると、

横が１/２倍、１/３倍、１/４倍、１/５倍・・・になっていきます。

反比例の場合の変化しない決まった数は何でしょうか？

面積の６０ｃ㎡です。

たてと横をかけた数ですね。

たてをＸ、横をＹとすると、

いつもＸ×Ｙ＝６０となり、一定です。

たて１０ｃｍなら、１０ｃｍ×よこ６ｃｍ＝６０ｃ㎡

たて２０ｃｍなら、２０ｃｍ×よこ３ｃｍ＝６０ｃ㎡

たて３０ｃｍなら、３０ｃｍ×よこ２ｃｍ＝６０ｃ㎡

たて４０ｃｍなら、４０ｃｍ×よこ１．５ｃｍ＝６０ｃ㎡

たて５０ｃｍなら、５０ｃｍ×よこ１．２ｃｍ＝６０ｃ㎡

図に表すと↓このような曲線になります。

Bandicam_20161114_084315669

タテ軸の数と横軸の数の交点は

両者を掛け合わせた決まった数になります。

比例する関係と反比例する関係を日常の世界から探してみてください。

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並び方と組み合わせの違いは？

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運動会の５０ｍ競争でＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆの６人が走って、

１着、２着、３着が決まったとします。

その可能性は何通りあるか考えてみましょう。

１着には６人ですから６通り。

２着は６－１＝５通り。

３着は５－１＝４通りで、

６×５×４＝１２０通りの並び方が考えられます。

では、この６人の中から３人が大玉ころがしに出場するとしたら、

何通りの組み合わせが考えられるでしょうか。

この場合は、Ａ君、Ｂ君、Ｃ君がＡＢＣと並んでいても、

ＣＢＡと並んでいても、同じメンバーであることに変わりはありません。

では３人の並び方は何通りあるでしょうか。

３×２×１＝６通りです。

つまり、ＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢ、ＣＢＡの６通り。

これだけが同じメンバーということになります。

ですから、６人の中から３人選ぶ組み合わせは、

並び方の６×５×４＝１２０通りを、

同じメンバー（重なる場合の数）３×２×１＝６通りで割ってあげる必要があります。

６×５×４３×２×１１２０÷６＝２０通りということになります。

６人の中から２人リレーの選手を選ぶ場合は、

分子が→６×５

分母が→２×１１５通りになります。

つまり、分子に６人の中から２人選んで並べる並べ方の数。

分母はこの２人の並べ方の数→重なる場合の数になります。

公式は、　　　　　　　　　　

組み合わせの場合の数＝（並べ方の場合の数）　/ 　（重なりの場合の数）

でも、実際の入試問題は、

なかなか公式を使えばすぐできるような問題は出題されません。

パターンを分けていく地道な作業が有効な場合がしばしばあります。

たとえば、

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みかん３個、りんご３個、メロン１個、柿２個の果物があります。

この中から３個の果物を取る取り方は何通りあるか答えなさい。

同じ種類の果物を選んでもよいものとします。

（早稲田実業中学　２００９年）

地道に数えていくのですが、問題はその数え方です。

まず同じ種類のくだものだけで３個選ぶとどうでしょうか。

みかん３個かりんご３個の２通りです。

次に、２個が同じ種類で、

あと1つは違う種類のくだものを選ぶ場合はどうでしょう。

みかん２個と、りんご、またはメロン、または柿の３通りと、

りんご２個と、みかん、またはメロン、または柿の３通りと、

柿２個と、みかん、またはりんご、またはメロンの３通りの

全部で９通り

すべて違う種類のもので３個を選ぶ場合はどうでしょうか。

３個選ぶと残った１種類がみかん、りんご、メロン、柿の４通りあるので、

選び方も４通り

２＋９＋４で１５通になりますね。

みかんだけに注目するやり方もあります。

みかんを３つ取り出す場合と、

２つ取り出す場合と、

１つ取り出す場合と、

一つも取り出さない場合に分ける方法なのですが、

表にまとめると↓

Bandicam_20161110_085243518
１＋３＋５＋６で１５通りになりますね。

このように、丁寧に場合の数を分けて、

地道に数えていくのも一つの方法です。

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並び方の条件による場合の数

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１と２と３の３つの数字で３けたの整数を作る場合を考えます。

まず、同じ数字を何回でも使ってよい場合。

百の位では１，２，３のどれか、ですから３通りです。

十の位も１，２，３の３通り。

一の位も１．２．３の３通り。

したがって、百の位→３通り、十の位→３通り、一の位→３通りですから、

３×３×３＝２７通りということになります。

では一度使った数字は使えない場合はどうでしょうか。

百の位は１，２，３どれでも使えますが、

十の位では百の位で使った数字は使えません。

ですから十の位は３－１＝２通り。

一の位は２つの数字が使えないので、３－２＝１通りということになるので、

３×２×１＝６通りということになります。

５つの数字ならどうでしょうか。

１，２，３，４，５で３けたの整数を作りますが、数字は１度しか使えません。

百の位→１，２，３，４，５の５通り。

十の位→５－１＝４通り。

一の位→４－１＝３通りですから、

５×４×３＝６０通りということになります。

試験ではもう少しひねった出題になります。

０，１，２，３，４の５つの数字で３けたの整数を作る、といった問題です。

数字は１度しか使えません。

百の位に来る数字はいくつでしょう？

０は使えません。

したがって、１，２，３，４の４つですね。

では、十の位は？

こんどは０が使えるので、やっぱり４通り。

一の位は５－２＝３通りになります。

したがって、４×４×３＝４８通りということになります。

１，２，３，４，５の５つの数字で３けたの偶数を作る場合はどうでしょうか。

一度使った数字は使えないものとします。

偶数になるには一の位が問題で、この場合は２か４の２通りです。

十の位は５－１＝４通り。

百の位は４－１＝３通りと、一の位から逆に考えていきます。

２×４×３＝２４通りになります。

このように、並び方は条件によって異なってきます。

問題文から条件をパターンに分けて、その一つ一つについて調べていきます。

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最後に、入試問題の例をみてみましょう。

0000から9999までの電話番号に用いられている４けたの数のうち、

0545のように５を２個以上ふくむのは何通りあるか、求めなさい。

（駒場東邦中学　２００７年）

考え方と答えはこちらです↓。
Bandicam_20161107_071743350

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立方体の中にある三角すい

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たくさんの中学で出題されている問題です。

図の水色の部分は、１辺８ｃｍの正方形から底辺が８ｃｍ、

高さが２ｃｍの二等辺三角形４つを切り取ってできたものです。

これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷３で求められます。

図はこちら↓

Bandicam_20161102_074433631_2

底面積は正方形の対角線がわかるのですぐ求められます。

４×４÷２＝８ｃ㎡

さて、問題は高さですが・・・

１/４ずつに分けてみると

こんな↓展開図になります。

Bandicam_20161102_074505461

では組み立ててみましょう。

底面の二等辺三角形の両辺は、立方体の横の面の同じところに来ます。

頂点と辺のまん中を結ぶ線で、同じ長さになります。

すると高さは立方体の一辺の長さ！

そう、４ｃｍ。

８×４÷３＝１０と２/３立方ｃｍ

目で見ないで想像つくでしょうか？

高さがなぜ４ｃｍになるかっていうところが問題ですが・・・

４等分した１つの正方形をもう一度見てください。

Bandicam_20161102_074713646

右の直角二等辺三角形が底面になりますが・・・

ABとADは４ｃｍですから、AEとAFで折るとBとDが重なります。

このとき、重なったBDとEFでできる三角形は

△ECFと３つの辺が同じになりますから、同じ三角形です。

これは直角二等辺三角形です。

この三角形をEFで折ると、重なったBとDはCにも重なります。

∠ABEも∠ADFも９０゜ですから、

この三角錐の高さはAB＝AD＝４ｃｍ。

Cに集まる辺はどれも９０゜ですからAはCの真上にきます。

この同じ三角錐を４つ集めると、

底辺が８ｃ㎡で高さ４ｃｍの四角錐になるわけです。

８×４÷３＝１０と２/３立方ｃｍ

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ただ、逆に出題される場合もありそうですね。

この三角錐は立方体の頂点と、

その下の二辺の中点を通る面で切り取った立体でもあるわけですから・・・

Bandicam_20161102_082156503

この立体を展開するとどんな形になりますか？といった問題です。

正方形になります。

どちらからでも出題できそうです。

四角錐はこの三角錐を１８０゜回転させて、

立方体のまん中に４つ集めてもできます。

また、角に４つ集めてもできます。

どんな形でもできるように、

イメージで頭に入れておきたいですね。

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