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2016年11月

正六角形と正三角形

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正六角形の面積に関する問題の多くで、

正三角形に切り分ける方法が使われます。

例えばこんな、

↓色部分の面積は正六角形の何倍かという問題です。

Bandicam_20161124_095835134

正六角形をこんな風に分割してみます。

Bandicam_20161124_095847799

黄色部分を緑に移動すれば、小さな正三角形2つ分になります。

正六角形は正三角形6つに分割されているので、

2/6=1/3倍ということになります。

では次の問題。色部分は正六角形の何倍でしょう?

Bandicam_20161124_095859013

赤い1つ1つはみな正三角形です。

こんな風に分割してみると・・・

Bandicam_20161124_095911089

黄色い三角形は赤と同じ正三角形です。

緑の1つ1つも小さな正三角形と同じ面積ですから、

小さな正三角形18個に分割されています。

赤い部分はそのうちの6個。

つまり6/18=1/3倍です。

こんな問題はどうでしょうか?

黄色部分の正六角形の周りを、

90゜、60゜、30゜の三角定規で囲んだとき、

もとの正六角形の面積の何倍になるかというものです。

Bandicam_20161124_095923906

こんな風に分割してみます。

Bandicam_20161124_095936527

小さな正三角形の面積と同じ面積の部分が18個できました。

18÷6=3倍ですね。

いろいろなケースを確認してみましょう。

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Bandicam_20161124_100932675

Bandicam_20161124_100628796
Bandicam_20161124_100645333

Bandicam_20161124_100712632
Bandicam_20161124_100728326


Bandicam_20161124_100737449_2
Bandicam_20161124_100754053

Bandicam_20161124_100813795

Bandicam_20161124_100829685

Bandicam_20161124_100844259
Bandicam_20161124_100901096
(5)は等積移動も入ってくるので、応用問題です。


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表の世界、裏の世界

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ドラゴンクエストなどのゲームでよく、

表の世界、裏の世界というシチュエーションがでてきます。

算数では表の世界を実際の単位の世界、

裏の世界を比などの割合の世界と考えると、

整理がついてわかりやすくなります。

たとえばこんな問題。

以前、実際に中学入試で出題された問題です。

ディオファントスという数学者の墓石には、

次のようなことが書かれています。

「ディオファントスはその一生の1/6を少年、

一生の1/12を青年、さらにその後は、一生の1/7を独身ですごした。

彼は結婚してから5年後に子どもが生まれ、

子どもは彼より4年前に、彼の寿命の半分でこの世を去った。」

さて、ディオファントスは何歳まで生きましたか。


ここで表の世界は、5年、4年といった実際の単位です。

そして裏の世界は、1/6や1/12などの割合です。

ディオファントスの一生を1として考えてみましょう。

1/6を少年。

1/12を青年。

1/7が独身。

1/2が子どもの一生です。

結婚してから子どもが生まれるまでの5年間と、

子どもが亡くなってからディオファントスの寿命がつきるまでの4年間は

割合に入っていません。

5+4=9年間は、裏の世界、

つまり割合の世界ではどれだけになるでしょうか?

裏の世界でわかっている割合を全部加算して見ると、

1/6+1/12+1/7+1/2=75/84です。

残りは、1-75/84=9/84=3/28。

これが表の世界の9年に該当するわけです。

表の世界の9÷3=3年が裏の世界の3/28÷3=1/28にあたるので、

裏の世界の1は、表の世界の3×28=84年になります。

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では次の問題。

イチゴがいくつかあります。

A君は全体の1/4と3個もらい、

次にB君は残りの1/6と□個もらいました。

最後にC君が残りをもらうと、イチゴの数は3人とも同じになりました。

□は何個ですか?(聖光学院中学)


このように、裏の世界も一筋縄ではいかない問題も出てきます。

この比と、この比は全体の1に当たるものが違う!といった場合です。

上手に線分図などが描けるといいのですが、

これも訓練で、なるべく図を描く習慣を!

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計算の工夫

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中学受験の算数問題は

最初に計算問題が出題されるケースがとても多いです。

地道に計算すれば勉強してきた子はほとんど解けるのですが、

問題はその速さです。

最初の計算で時間を使ってしまうと、

後の問題に使える時間が足りなくなってしまいます。

そこで計算するのにも工夫が必要になってきます。

たとえばこんな問題。

(洛南高校附属中学 2009年)

173×99+297×9=

173×99+297×9

=173×11×9+297×9

=(173×11+297)×9

99を11×9にしたのですが、もっと工夫できないでしょうか?

173×99+297×9

=173×(100-1)+297×(10-1)

=17300+2970-173-297

99=100-1、9=10-1と考えたのですね。

やや進化しました。

173×99+297×9

=173×99+27×11×9

=173×99+27×99

=(173+27)×99

=200×99

=200×(100-1)

=20000-200

=19800

とてもすっきりしましたが、297=27×11に気がつくかどうか?

297は99でも割れますから・・・

173×99+297×9

=173×99+99×3×9

これでもいいですよね。

では次の問題です。

(高槻中学 2003年)

2003×2004-2001×2002=

こんな図↓で考えてみたらどうでしょうか?

Bandicam_20161118_095034587

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ではこんな問題はどうでしょう。

0.32×12-0.018×32+1.48×3.2=

0.32を10倍して12を1/10にし、

0.018を10倍して32を1/10にします。

つまり、全部3.2でそろえてみます。

3.2×(1.2-0.18+1.48)

=3.2×2.5

=8

では最後の問題はどんな工夫が必要でしょうか?

6+66+666+6666+66666+666666=

この答え・・・

9+99+999+9999+99999+999999=

この2/3ですよね。

10+100+1000+10000+100000+1000000=1111110

ですから、

9+99+999+9999+99999+999999

=1111110―6

=1111104

1111104×2/3

=740736

もっと進化した解答は・・・

6×(1+11+111+1111+11111+111111)

6×123456

=740736

 

いかがでしたでしょうか?

やはり最後はパターン認識と慣れだと思います。

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比例と反比例の考え方

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1冊100円のノートを2冊買えば200円、3冊買えば300円です。

このように、一方が2倍、3倍、・・・になると、

もう一方も2倍、3倍、・・・となる関係を比例といいます。

     2倍   3倍   4倍   5倍

1冊、  2冊、  3冊、  4冊、  5冊・・・・・

100円、200円、300円、400円、500円、・・・・・

      2倍   3倍   4倍   5倍・・・・・

金額をY円、ノートの冊数をXとすると、

Y=100×X、で金額を求める式ができます。

このときの100にあたるのが1冊あたりのノートの値段で、

これは変化しません。

Y÷X=100、これはいつも一定です。

比例の関係を考える場合、

この変化しない決まった数に注目するとわかりやすくなります。

1冊なら、100円×1冊=100円

2冊なら、100円×2冊=200円

3冊なら、100円×3冊=300円

4冊なら、100円×4冊=400円

5冊なら、100円×5冊=500円

図に表すと↓こうなりますが・・・

Bandicam_20161114_084300507Bandicam_20161114_084300507

原点を通る直線になりますね。

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次に、一方が2倍、3倍、・・・になると、

もう一方は1/2倍、1/3倍・・・となる関係を反比例といいます、

長方形の面積が60c㎡のときのたてと横の長さの関係を考えてみましょう。

たてが

10cm、20cm、30cm、40cm、50cm・・・・・

横は

6cm、 3cm、 2cm、 1.5cm、1.2cm・・・・・

たてが2倍、3倍、4倍、5倍・・・となると、

横が1/2倍、1/3倍、1/4倍、1/5倍・・・になっていきます。

反比例の場合の変化しない決まった数は何でしょうか?

面積の60c㎡です。

たてと横をかけた数ですね。

たてをX、横をYとすると、

いつもX×Y=60となり、一定です。

たて10cmなら、10cm×よこ6cm=60c㎡

たて20cmなら、20cm×よこ3cm=60c㎡

たて30cmなら、30cm×よこ2cm=60c㎡

たて40cmなら、40cm×よこ1.5cm=60c㎡

たて50cmなら、50cm×よこ1.2cm=60c㎡

 

図に表すと↓このような曲線になります。

Bandicam_20161114_084315669


タテ軸の数と横軸の数の交点は

両者を掛け合わせた決まった数になります。

 

比例する関係と反比例する関係を日常の世界から探してみてください。

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並び方と組み合わせの違いは?

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運動会の50m競争でA、B、C、D、E、Fの6人が走って、

1着、2着、3着が決まったとします。

その可能性は何通りあるか考えてみましょう。

1着には6人ですから6通り。

2着は6-1=5通り。

3着は5-1=4通りで、

6×5×4=120通りの並び方が考えられます。

では、この6人の中から3人が大玉ころがしに出場するとしたら、

何通りの組み合わせが考えられるでしょうか。

この場合は、A君、B君、C君がABCと並んでいても、

CBAと並んでいても、同じメンバーであることに変わりはありません。

では3人の並び方は何通りあるでしょうか。

3×2×1=6通りです。

つまり、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通り。

これだけが同じメンバーということになります。

ですから、6人の中から3人選ぶ組み合わせは、

並び方の6×5×4=120通りを、

同じメンバー(重なる場合の数)3×2×1=6通りで割ってあげる必要があります。

6×5×4 3×2×1 120÷6=20通りということになります。

6人の中から2人リレーの選手を選ぶ場合は、

分子が→6×5

分母が→2×1 15通りになります。

つまり、分子に6人の中から2人選んで並べる並べ方の数。

分母はこの2人の並べ方の数→重なる場合の数になります。

公式は、           

組み合わせの場合の数=(並べ方の場合の数) /  (重なりの場合の数)

でも、実際の入試問題は、

なかなか公式を使えばすぐできるような問題は出題されません。

パターンを分けていく地道な作業が有効な場合がしばしばあります。

たとえば、

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みかん3個、りんご3個、メロン1個、柿2個の果物があります。

この中から3個の果物を取る取り方は何通りあるか答えなさい。

同じ種類の果物を選んでもよいものとします。

(早稲田実業中学 2009年)


地道に数えていくのですが、問題はその数え方です。

まず同じ種類のくだものだけで3個選ぶとどうでしょうか。

みかん3個かりんご3個の2通りです。

次に、2個が同じ種類で、

あと1つは違う種類のくだものを選ぶ場合はどうでしょう。

みかん2個と、りんご、またはメロン、または柿の3通りと、

りんご2個と、みかん、またはメロン、または柿の3通りと、

柿2個と、みかん、またはりんご、またはメロンの3通りの

全部で9通り

すべて違う種類のもので3個を選ぶ場合はどうでしょうか。

3個選ぶと残った1種類がみかん、りんご、メロン、柿の4通りあるので、

選び方も4通り

2+9+4で15通になりますね。

みかんだけに注目するやり方もあります。

みかんを3つ取り出す場合と、

2つ取り出す場合と、

1つ取り出す場合と、

一つも取り出さない場合に分ける方法なのですが、

表にまとめると↓

Bandicam_20161110_085243518
1+3+5+6で15通りになりますね。

このように、丁寧に場合の数を分けて、

地道に数えていくのも一つの方法です。

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並び方の条件による場合の数

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1と2と3の3つの数字で3けたの整数を作る場合を考えます。

まず、同じ数字を何回でも使ってよい場合。

百の位では1,2,3のどれか、ですから3通りです。

十の位も1,2,3の3通り。

一の位も1.2.3の3通り。

したがって、百の位→3通り、十の位→3通り、一の位→3通りですから、

3×3×3=27通りということになります。

では一度使った数字は使えない場合はどうでしょうか。

百の位は1,2,3どれでも使えますが、

十の位では百の位で使った数字は使えません。

ですから十の位は3-1=2通り。

一の位は2つの数字が使えないので、3-2=1通りということになるので、

3×2×1=6通りということになります。

5つの数字ならどうでしょうか。

1,2,3,4,5で3けたの整数を作りますが、数字は1度しか使えません。

百の位→1,2,3,4,5の5通り。

十の位→5-1=4通り。

一の位→4-1=3通りですから、

5×4×3=60通りということになります。

試験ではもう少しひねった出題になります。

0,1,2,3,4の5つの数字で3けたの整数を作る、といった問題です。

数字は1度しか使えません。

百の位に来る数字はいくつでしょう?

0は使えません。

したがって、1,2,3,4の4つですね。

では、十の位は?

こんどは0が使えるので、やっぱり4通り。

一の位は5-2=3通りになります。

したがって、4×4×3=48通りということになります。

1,2,3,4,5の5つの数字で3けたの偶数を作る場合はどうでしょうか。

一度使った数字は使えないものとします。

偶数になるには一の位が問題で、この場合は2か4の2通りです。

十の位は5-1=4通り。

百の位は4-1=3通りと、一の位から逆に考えていきます。

2×4×3=24通りになります。

このように、並び方は条件によって異なってきます。

問題文から条件をパターンに分けて、その一つ一つについて調べていきます。

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最後に、入試問題の例をみてみましょう。

0000から9999までの電話番号に用いられている4けたの数のうち、

0545のように5を2個以上ふくむのは何通りあるか、求めなさい。

(駒場東邦中学 2007年)


考え方と答えはこちらです↓。
Bandicam_20161107_071743350

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立方体の中にある三角すい

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たくさんの中学で出題されている問題です。

図の水色の部分は、1辺8cmの正方形から底辺が8cm、

高さが2cmの二等辺三角形4つを切り取ってできたものです。

これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められます。

図はこちら↓

Bandicam_20161102_074433631_2

底面積は正方形の対角線がわかるのですぐ求められます。

4×4÷2=8c㎡

さて、問題は高さですが・・・

1/4ずつに分けてみると

こんな↓展開図になります。

Bandicam_20161102_074505461

では組み立ててみましょう。


底面の二等辺三角形の両辺は、立方体の横の面の同じところに来ます。

頂点と辺のまん中を結ぶ線で、同じ長さになります。

すると高さは立方体の一辺の長さ!

そう、4cm。

8×4÷3=10と2/3立方cm

目で見ないで想像つくでしょうか?

高さがなぜ4cmになるかっていうところが問題ですが・・・

4等分した1つの正方形をもう一度見てください。

Bandicam_20161102_074713646

右の直角二等辺三角形が底面になりますが・・・

ABとADは4cmですから、AEとAFで折るとBとDが重なります。


このとき、重なったBDとEFでできる三角形は

△ECFと3つの辺が同じになりますから、同じ三角形です。

これは直角二等辺三角形です。

この三角形をEFで折ると、重なったBとDはCにも重なります。

∠ABEも∠ADFも90゜ですから、

この三角錐の高さはAB=AD=4cm。

Cに集まる辺はどれも90゜ですからAはCの真上にきます。

この同じ三角錐を4つ集めると、

底辺が8c㎡で高さ4cmの四角錐になるわけです。

8×4÷3=10と2/3立方cm

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ただ、逆に出題される場合もありそうですね。

この三角錐は立方体の頂点と、

その下の二辺の中点を通る面で切り取った立体でもあるわけですから・・・

Bandicam_20161102_082156503

この立体を展開するとどんな形になりますか?といった問題です。

正方形になります。

どちらからでも出題できそうです。

四角錐はこの三角錐を180゜回転させて、

立方体のまん中に4つ集めてもできます。

また、角に4つ集めてもできます。

どんな形でもできるように、

イメージで頭に入れておきたいですね。

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