立方体の中にある三角すい
---------------------------------------------------
----------------------------------------------------
たくさんの中学で出題されている問題です。
図の水色の部分は、1辺8cmの正方形から底辺が8cm、
高さが2cmの二等辺三角形4つを切り取ってできたものです。
これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。
ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められます。
図はこちら↓
底面積は正方形の対角線がわかるのですぐ求められます。
4×4÷2=8c㎡
さて、問題は高さですが・・・
1/4ずつに分けてみると
こんな↓展開図になります。
では組み立ててみましょう。
底面の二等辺三角形の両辺は、立方体の横の面の同じところに来ます。
頂点と辺のまん中を結ぶ線で、同じ長さになります。
すると高さは立方体の一辺の長さ!
そう、4cm。
8×4÷3=10と2/3立方cm
目で見ないで想像つくでしょうか?
高さがなぜ4cmになるかっていうところが問題ですが・・・
4等分した1つの正方形をもう一度見てください。
右の直角二等辺三角形が底面になりますが・・・
ABとADは4cmですから、AEとAFで折るとBとDが重なります。
このとき、重なったBDとEFでできる三角形は
△ECFと3つの辺が同じになりますから、同じ三角形です。
これは直角二等辺三角形です。
この三角形をEFで折ると、重なったBとDはCにも重なります。
∠ABEも∠ADFも90゜ですから、
この三角錐の高さはAB=AD=4cm。
Cに集まる辺はどれも90゜ですからAはCの真上にきます。
この同じ三角錐を4つ集めると、
底辺が8c㎡で高さ4cmの四角錐になるわけです。
8×4÷3=10と2/3立方cm
---------------------------------------------------
----------------------------------------------------
ただ、逆に出題される場合もありそうですね。
この三角錐は立方体の頂点と、
その下の二辺の中点を通る面で切り取った立体でもあるわけですから・・・
この立体を展開するとどんな形になりますか?といった問題です。
正方形になります。
どちらからでも出題できそうです。
四角錐はこの三角錐を180゜回転させて、
立方体のまん中に4つ集めてもできます。
また、角に4つ集めてもできます。
どんな形でもできるように、
イメージで頭に入れておきたいですね。
----------------------------------------------------
----------------------------------------------------
↓こちらファミリーページにもどうぞ!
« てんびん図で食塩水の濃度を考えると? | トップページ | 並び方の条件による場合の数 »
「日記・コラム・つぶやき」カテゴリの記事
- 色のついた図形の面積は?(今年 2018年 栄東中学東大クラス選抜 改題)(2018.10.05)
- 直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)(2018.09.10)
- 切断される立方体の個数は?(今年、2018年 浦和明の星女子中学)(2018.09.02)
- この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)(2018.07.27)
- 開いている?閉まっている?(2017年 筑波大学附属駒場中学)(2018.07.13)
「算数」カテゴリの記事
- 色のついた図形の面積は?(今年 2018年 栄東中学東大クラス選抜 改題)(2018.10.05)
- 直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)(2018.09.10)
- 切断される立方体の個数は?(今年、2018年 浦和明の星女子中学)(2018.09.02)
- この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)(2018.07.27)
- 開いている?閉まっている?(2017年 筑波大学附属駒場中学)(2018.07.13)
「中学入試」カテゴリの記事
- 色のついた図形の面積は?(今年 2018年 栄東中学東大クラス選抜 改題)(2018.10.05)
- 直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)(2018.09.10)
- 切断される立方体の個数は?(今年、2018年 浦和明の星女子中学)(2018.09.02)
- この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)(2018.07.27)
- 開いている?閉まっている?(2017年 筑波大学附属駒場中学)(2018.07.13)
「パズル」カテゴリの記事
- 色のついた図形の面積は?(今年 2018年 栄東中学東大クラス選抜 改題)(2018.10.05)
- 直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)(2018.09.10)
- 切断される立方体の個数は?(今年、2018年 浦和明の星女子中学)(2018.09.02)
- この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)(2018.07.27)
- 開いている?閉まっている?(2017年 筑波大学附属駒場中学)(2018.07.13)
「クイズ」カテゴリの記事
- 色のついた図形の面積は?(今年 2018年 栄東中学東大クラス選抜 改題)(2018.10.05)
- 直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)(2018.09.10)
- 切断される立方体の個数は?(今年、2018年 浦和明の星女子中学)(2018.09.02)
- この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)(2018.07.27)
- 開いている?閉まっている?(2017年 筑波大学附属駒場中学)(2018.07.13)
「立方体」カテゴリの記事
- 残された空間図形は?(駒場東邦中学 2017年)(2018.02.01)
- 積み重ねた立方体の個数(東邦大学付属東邦中学 2012年)(2017.12.20)
- 立方体の中にある三角すい(2016.11.02)
- 立方体の切り口のイメージを見る(2016.04.27)
- 立方体の積み木に色を塗る(渋谷教育学園幕張中学 2012年)(2015.11.23)
「立体図形」カテゴリの記事
- 切断される立方体の個数は?(今年、2018年 浦和明の星女子中学)(2018.09.02)
- この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)(2018.07.27)
- 立方体の切断と体積(東邦大学付属東邦中学 2017)(2018.06.02)
- 知っておきたい立体の体積の計算方法(芝中学 2012年)(2018.04.25)
- 目の出方は何通り?(今年 2018年 雙葉中学)(2018.04.04)
GOOD
投稿: | 2021年9月17日 (金) 12時51分