立方体の中にある三角すい

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たくさんの中学で出題されている問題です。

図の水色の部分は、１辺８ｃｍの正方形から底辺が８ｃｍ、

高さが２ｃｍの二等辺三角形４つを切り取ってできたものです。

これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷３で求められます。

図はこちら↓

底面積は正方形の対角線がわかるのですぐ求められます。

４×４÷２＝８ｃ㎡

さて、問題は高さですが・・・

１/４ずつに分けてみると

こんな↓展開図になります。

では組み立ててみましょう。

底面の二等辺三角形の両辺は、立方体の横の面の同じところに来ます。

頂点と辺のまん中を結ぶ線で、同じ長さになります。

すると高さは立方体の一辺の長さ！

そう、４ｃｍ。

８×４÷３＝１０と２/３立方ｃｍ

目で見ないで想像つくでしょうか？

高さがなぜ４ｃｍになるかっていうところが問題ですが・・・

４等分した１つの正方形をもう一度見てください。

右の直角二等辺三角形が底面になりますが・・・

ABとADは４ｃｍですから、AEとAFで折るとBとDが重なります。

このとき、重なったBDとEFでできる三角形は

△ECFと３つの辺が同じになりますから、同じ三角形です。

これは直角二等辺三角形です。

この三角形をEFで折ると、重なったBとDはCにも重なります。

∠ABEも∠ADFも９０゜ですから、

この三角錐の高さはAB＝AD＝４ｃｍ。

Cに集まる辺はどれも９０゜ですからAはCの真上にきます。

この同じ三角錐を４つ集めると、

底辺が８ｃ㎡で高さ４ｃｍの四角錐になるわけです。

８×４÷３＝１０と２/３立方ｃｍ

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ただ、逆に出題される場合もありそうですね。

この三角錐は立方体の頂点と、

その下の二辺の中点を通る面で切り取った立体でもあるわけですから・・・

この立体を展開するとどんな形になりますか？といった問題です。

正方形になります。

どちらからでも出題できそうです。

四角錐はこの三角錐を１８０゜回転させて、

立方体のまん中に４つ集めてもできます。

また、角に４つ集めてもできます。

どんな形でもできるように、

イメージで頭に入れておきたいですね。

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