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立方体の中にある三角すい

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たくさんの中学で出題されている問題です。

図の水色の部分は、1辺8cmの正方形から底辺が8cm、

高さが2cmの二等辺三角形4つを切り取ってできたものです。

これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められます。

図はこちら↓

Bandicam_20161102_074433631_2

底面積は正方形の対角線がわかるのですぐ求められます。

4×4÷2=8c㎡

さて、問題は高さですが・・・

1/4ずつに分けてみると

こんな↓展開図になります。

Bandicam_20161102_074505461

では組み立ててみましょう。


底面の二等辺三角形の両辺は、立方体の横の面の同じところに来ます。

頂点と辺のまん中を結ぶ線で、同じ長さになります。

すると高さは立方体の一辺の長さ!

そう、4cm。

8×4÷3=10と2/3立方cm

目で見ないで想像つくでしょうか?

高さがなぜ4cmになるかっていうところが問題ですが・・・

4等分した1つの正方形をもう一度見てください。

Bandicam_20161102_074713646

右の直角二等辺三角形が底面になりますが・・・

ABとADは4cmですから、AEとAFで折るとBとDが重なります。


このとき、重なったBDとEFでできる三角形は

△ECFと3つの辺が同じになりますから、同じ三角形です。

これは直角二等辺三角形です。

この三角形をEFで折ると、重なったBとDはCにも重なります。

∠ABEも∠ADFも90゜ですから、

この三角錐の高さはAB=AD=4cm。

Cに集まる辺はどれも90゜ですからAはCの真上にきます。

この同じ三角錐を4つ集めると、

底辺が8c㎡で高さ4cmの四角錐になるわけです。

8×4÷3=10と2/3立方cm

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ただ、逆に出題される場合もありそうですね。

この三角錐は立方体の頂点と、

その下の二辺の中点を通る面で切り取った立体でもあるわけですから・・・

Bandicam_20161102_082156503

この立体を展開するとどんな形になりますか?といった問題です。

正方形になります。

どちらからでも出題できそうです。

四角錐はこの三角錐を180゜回転させて、

立方体のまん中に4つ集めてもできます。

また、角に4つ集めてもできます。

どんな形でもできるように、

イメージで頭に入れておきたいですね。

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