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並び方と組み合わせの違いは?

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運動会の50m競争でA、B、C、D、E、Fの6人が走って、

1着、2着、3着が決まったとします。

その可能性は何通りあるか考えてみましょう。

1着には6人ですから6通り。

2着は6-1=5通り。

3着は5-1=4通りで、

6×5×4=120通りの並び方が考えられます。

では、この6人の中から3人が大玉ころがしに出場するとしたら、

何通りの組み合わせが考えられるでしょうか。

この場合は、A君、B君、C君がABCと並んでいても、

CBAと並んでいても、同じメンバーであることに変わりはありません。

では3人の並び方は何通りあるでしょうか。

3×2×1=6通りです。

つまり、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通り。

これだけが同じメンバーということになります。

ですから、6人の中から3人選ぶ組み合わせは、

並び方の6×5×4=120通りを、

同じメンバー(重なる場合の数)3×2×1=6通りで割ってあげる必要があります。

6×5×4 3×2×1 120÷6=20通りということになります。

6人の中から2人リレーの選手を選ぶ場合は、

分子が→6×5

分母が→2×1 15通りになります。

つまり、分子に6人の中から2人選んで並べる並べ方の数。

分母はこの2人の並べ方の数→重なる場合の数になります。

公式は、           

組み合わせの場合の数=(並べ方の場合の数) /  (重なりの場合の数)

でも、実際の入試問題は、

なかなか公式を使えばすぐできるような問題は出題されません。

パターンを分けていく地道な作業が有効な場合がしばしばあります。

たとえば、

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みかん3個、りんご3個、メロン1個、柿2個の果物があります。

この中から3個の果物を取る取り方は何通りあるか答えなさい。

同じ種類の果物を選んでもよいものとします。

(早稲田実業中学 2009年)


地道に数えていくのですが、問題はその数え方です。

まず同じ種類のくだものだけで3個選ぶとどうでしょうか。

みかん3個かりんご3個の2通りです。

次に、2個が同じ種類で、

あと1つは違う種類のくだものを選ぶ場合はどうでしょう。

みかん2個と、りんご、またはメロン、または柿の3通りと、

りんご2個と、みかん、またはメロン、または柿の3通りと、

柿2個と、みかん、またはりんご、またはメロンの3通りの

全部で9通り

すべて違う種類のもので3個を選ぶ場合はどうでしょうか。

3個選ぶと残った1種類がみかん、りんご、メロン、柿の4通りあるので、

選び方も4通り

2+9+4で15通になりますね。

みかんだけに注目するやり方もあります。

みかんを3つ取り出す場合と、

2つ取り出す場合と、

1つ取り出す場合と、

一つも取り出さない場合に分ける方法なのですが、

表にまとめると↓

Bandicam_20161110_085243518
1+3+5+6で15通りになりますね。

このように、丁寧に場合の数を分けて、

地道に数えていくのも一つの方法です。

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