並び方と組み合わせの違いは?
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運動会の50m競争でA、B、C、D、E、Fの6人が走って、
1着、2着、3着が決まったとします。
その可能性は何通りあるか考えてみましょう。
1着には6人ですから6通り。
2着は6-1=5通り。
3着は5-1=4通りで、
6×5×4=120通りの並び方が考えられます。
では、この6人の中から3人が大玉ころがしに出場するとしたら、
何通りの組み合わせが考えられるでしょうか。
この場合は、A君、B君、C君がABCと並んでいても、
CBAと並んでいても、同じメンバーであることに変わりはありません。
では3人の並び方は何通りあるでしょうか。
3×2×1=6通りです。
つまり、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6通り。
これだけが同じメンバーということになります。
ですから、6人の中から3人選ぶ組み合わせは、
並び方の6×5×4=120通りを、
同じメンバー(重なる場合の数)3×2×1=6通りで割ってあげる必要があります。
6×5×4
3×2×1
120÷6=20通りということになります。
6人の中から2人リレーの選手を選ぶ場合は、
分子が→6×5
分母が→2×1
15通りになります。
つまり、分子に6人の中から2人選んで並べる並べ方の数。
分母はこの2人の並べ方の数→重なる場合の数になります。
公式は、
組み合わせの場合の数=(並べ方の場合の数) /
(重なりの場合の数)
でも、実際の入試問題は、
なかなか公式を使えばすぐできるような問題は出題されません。
パターンを分けていく地道な作業が有効な場合がしばしばあります。
たとえば、
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みかん3個、りんご3個、メロン1個、柿2個の果物があります。
この中から3個の果物を取る取り方は何通りあるか答えなさい。
同じ種類の果物を選んでもよいものとします。
(早稲田実業中学 2009年)
地道に数えていくのですが、問題はその数え方です。
まず同じ種類のくだものだけで3個選ぶとどうでしょうか。
みかん3個かりんご3個の2通りです。
次に、2個が同じ種類で、
あと1つは違う種類のくだものを選ぶ場合はどうでしょう。
みかん2個と、りんご、またはメロン、または柿の3通りと、
りんご2個と、みかん、またはメロン、または柿の3通りと、
柿2個と、みかん、またはりんご、またはメロンの3通りの
全部で9通り
すべて違う種類のもので3個を選ぶ場合はどうでしょうか。
3個選ぶと残った1種類がみかん、りんご、メロン、柿の4通りあるので、
選び方も4通り
2+9+4で15通になりますね。
みかんだけに注目するやり方もあります。
みかんを3つ取り出す場合と、
2つ取り出す場合と、
1つ取り出す場合と、
一つも取り出さない場合に分ける方法なのですが、
表にまとめると↓
1+3+5+6で15通りになりますね。
このように、丁寧に場合の数を分けて、
地道に数えていくのも一つの方法です。
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