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複雑な旅人算をグラフで解く!(筑波大学附属駒場中学 2008年)

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学校から公園までの道の途中に、A地点とB地点がこの順にあります。

花子さんは、午前9時に徒歩で学校を出発し、公園に向かいました。

途中、A地点で7分間、B地点で12分間休みました。

太郎君は、午前9時20分に自転車で学校を出発し、

途中休まずに公園に行き、そこで7分間休んだ後、

学校に向けて公園を出発しました。

この間、午前9時28分にA地点の手前のP地点で、

太郎君は花子さんを追い抜きました。

また、太郎君は公園を出発してから10分後にB地点を通過し、

そのときちょうど花子さんがB地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。

ただし、花子さんの歩く速さと太郎君の自転車の速さは、

それぞれ一定であるものとします。

(1)太郎君の速さは花子さんの速さの何倍ですか。

(2)P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の何倍ですか。

(3)花子さんが公園に着いたのは午前何時何分ですか。

Ilm13_ac06005sClpe030s

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旅人算ですが、グラフがあるとわかりやすいですね。

(1)問題文の流れを大ざっぱにグラフにすると、下の図1のように描いてイメージすることができます。

Pic_2426a_2

図1で、学校からP地点まで、花子さんは28分、太郎君は8分で着いていることがわかります。

同じ距離を進むのに、花子さんは28分、太郎君は8分かかっているので、速さの比は、時間の比の逆で、

花子さんの速さ : 太郎君の速さ = 8 : 28 = 2 : 7

とわかるので、太郎君の速さは、花子さんの速さの

7÷2=3.5倍 ということがわかります。

(2)P地点とB地点、B地点と公園の間の距離について考えるとき、着目すべきところは、図1のグラフの中の、下の図2の部分です。

Pic_2427a

P地点で太郎君が花子さんを追い抜いてから、

B地点で太郎君と花子さんが出会うまでは、2人とも7分間休んでいるので、同じ時間かかっています(進んだ距離は違う)

ここで、(1)より、太郎君は花子さんの3.5倍進むことから、

下の図3のように理解することができます。

      Pic_2428a_2

花子さんがP地点からB地点まで進んだ距離(PB間の距離)を【 1 】 とすると、

太郎君は同じ時間に 【 3.5 】 進むので、

P地点 → 公園 → P地点 と往復すると、【 4.5 】 の

距離になることがわかります。片道 【 2.25 】です。

P地点からB地点までが 【 1 】 なので、B地点から公園までは【 1.25 】 になります。

よって、P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の

 1 ÷ 1.25 = 0.8 倍 です。

(3)太郎君は公園からB地点まで 【 1.25 】 進むのに10分かかるので、

P地点から公園まで 【 2.25 】 進むのに18分かかります(10分の9/5 倍)

よって、花子さんがP地点からB地点に着くまでに、

休む7分以外で

10+18=28分 かかることがわかります。

B地点から公園の間の距離は、P地点とB地点の距離の1.25倍

なので、花子さんは、

28×1.25=35分 かかることがわかります。

ゆえに、花子さんは、

学校からP地点まで 28分

P地点からB地点まで 28分 途中 7分休み

B地点から公園まで 35分 途中 12分休み

という時間をかけ、学校を9時に出発してから

28+28+35+7+12=110分後1時間50分後

の、 午前10時50分 に公園に着きます。

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