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2016年12月

2016年12月29日 (木)

出題頻度の高い正6角形の分割問題(田園調布学園中等部 2009年)

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図のように正六角形ABCDEFの頂点を結んで

2つの正三角形をつくったところ、

斜線部分の面積が10c㎡でした。

このとき次の問いに答えなさい。

(1)正三角形ACEの面積は何c㎡ですか。

(2)正六角形ABCDEFの面積は何c㎡ですか。

1

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こたえ

(1)図のように正六角形を分割すると、

斜線部分は小さな正三角形6個分、

△黄は9個分になるので、

10÷6×9=15c㎡

2

(2)△緑=△水色の正三角形 なので、

正六角形は小さな正三角形18個分です。

△黄(9個分)の2倍なので、

15×2=30c㎡

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2016年12月27日 (火)

線分図で考える旅人算(麻布中学 2013年)

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A君とB君がX地点を同時に出発して,

Y地点までそれぞれ一定の速さで歩き続けました。

C君は2人が出発して5分後にX地点を出発し,

一定の速さで走り続けて2人を追いかけました。

C君は出発して5分後にB君に追いつき,

その10分後にA君に追いつきました。

(1)A君,B君,C君の速さの比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

C君はA君に追いついて,すぐに来た道を同じ速さで引き返しました。

(2)次にC君がB君に出会うのは,C君がA君に追いついてから何分後ですか。

(3)C君はB君に出会って,すぐにまた同じ速さでY地点に向かったところ,

A君と同時にY地点に到着しました。

C君の走った道のりの合計が5kmのとき,

X地点からY地点までの距離を求めなさい。


1

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こたえ

(1)

1



A、B、Cの速さをそれぞれA、B、Cとすると、

Cは5分後に出発して、5分でBに追いついたので、

5×Bの距離を(C-B)の速さで5分で追いついたことになります。

5×B÷(C-B)=5

5×B=5×(C-B)

B=C-B

CはBの2倍の速さであることがわかります。

Cは5分後に出発して、15分でAに追いついたので、

5×Aの距離を(C-A)の速さで15分で追いついたことになります。

5×A÷(C-A)=15

5×A=15×(C-A)

A=3×C-3×A

3×C=4×A

CはAの4/3倍の速さであることがわかります。

A:B:C=3/4:1/2:1=3:2:4

(2)
2

CがAに追いついたとき、Aは3×20分=60の道のりを進んでいます。

そのときBは2×20分=40進んでいるので、

AとBの距離は60-40=20

CがAに追いついた後、Bに出会うまでは、

20÷(4+2)=20/6=3と1/3分 です。

(3)
3
CがBに出会うまで、15+10/3=55/3分

Bはそのとき2×(15/3+55/3)=140/3進んでいます。

Aはそのとき3×(15/3+55/3)=210/3進んできます。

その差の210/3-140/3=70/3の道のりを、

CはY地点で追いついたことになるので、

時間は70/3÷(4-3)=70/3分です。

Cの全所要時間は55/3+70/3=125/3分・・・・・これが5kmを進んだ時間です。

1分では5÷125/3=3/25kmの速さです。

Aの速さは毎分、3/25×3/4=9/100km

AはX地点からY地点まで、70/3+70/3=140/3分かかっています。

したがって、XY間の距離は、9/100×140/3=3×1.4=4.2km です。

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2016年12月24日 (土)

「ヒポクラテスの三日月」の面積の求め方(関東学院六浦中 2007年)

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図は、直角三角形ABCと、

それぞれの辺を直径とする半円です。

AB=8cm、BC=10cm、AC=6cmのとき

斜線の部分の面積は何cm2ですか。

ただし、円周率は3.14とします。

0801_0402

6082_2

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こたえ

1_2

図のように、

黄色部分の面積(ヒポクラテスの三日月)=直角三角形の面積

なので、

8×6÷2=24c㎡

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2016年12月22日 (木)

展開図から三角錐の体積を求める(開智中学 先端A改題 2009年)

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次の図1の正方形内の斜線部分と合同な二等辺三角形4枚で、

図2のような展開図を作りました。

この展開図を組み立てたときにできる三角錐の体積を求めなさい。


0903_0706

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こたえ

2

緑部分の三角錐になりますが、

体積計算は、この三角錐を囲む周りの4つの三角錐を

直方体から引いて求めます。

3×3×6-3×3÷2×6÷3×4=18立法cm

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2016年12月20日 (火)

おうぎ形が回転する旅人算を考える! (海城中学 2007年)

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半径の長さが等しく、中心角が120°と90°の2つのおうぎ形があり、

点Oを中心として図の矢印の向きに回転します。

それぞれのおうぎ形は、点A,Bが重なった状態から回りはじめ、

120°のおうぎ形は40秒間で1回転、

90°のおうぎ形は60秒間で1回転します。


Pic_0730q

(1)回りはじめてから5分間で

点AとBが回りはじめた点以外の場所で重なるのは何回ありますか。

(2)2つのおうぎ形が重なっている部分のおうぎ形の中心角をa°とします。

回りはじめてからの時間と  a の関係を示すグラフを描きなさい。

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こたえ

(1)120°のおうぎ形は40秒で1回転するので、

1秒間に、360°÷40=9°回転します。

90°のおうぎ形は、60秒で1回転するので、

1秒間に、360°÷60=6°回転します。

 

最初、A,Bは重なっているので、2点の差は360°あります。

次に重なるのは、360°÷(9°+6°)=24秒後 です。

さらに、次に重なるのも、24秒後、つまり24秒ごとに点A,Bは

重なります

5分間では、5分=5×60=300秒なので、

300÷24=12.5より、12回重なることになります。

 

問題より、最初の場所以外で重なる回数を数えなければ

ならないので、最初の場所で重なる回数を調べます

点Bは60秒ごとに最初の場所に戻ってきます

一方、点A,Bが重なるのは24秒ごとなので、

60と24の最小公倍数が120なので、

120の倍数である120秒後、240秒後の2回、

最初の場所で点A,Bが重なることがわかりますので、

最初の場所以外で重なる回数は、

12-2=10回 となります。

 

(2)回転前に、120°のおうぎ形と90°のおうぎ形は、

360-(120+90)=150°離れています。

それぞれ1秒間に9°、6°回転するので、2つのおうぎ形が

初めて重なり始めるのは、150÷(9+6)=10秒後 からです。

 

a°は最大でも90°にまでしかならないので、a=90となるのは、

    10+90÷(9+6)=16秒後 です。

 

a=90 が持続する時間は、

    16+(120-90)÷(9+6)=18秒後 までです。

 

18秒後から6秒かけて、24秒後には、a=0となります。

(24秒後には、点A,Bが重なる状態になっています)

 

次に2つのおうぎ形が重なるのは、10秒後で、

    24+10=34秒後になります。

そこから6秒かけて、a=90となり、2秒間、a=90が続き、

6秒かけて、a=0に戻り、また10秒後から2つのおうぎ形が

重なり始める、ということの繰り返しとなり、グラフにすると

下図のようになります。

Pic_0731a_2

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2016年12月18日 (日)

複雑な旅人算をグラフで解く!(筑波大学附属駒場中学 2008年)

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学校から公園までの道の途中に、A地点とB地点がこの順にあります。

花子さんは、午前9時に徒歩で学校を出発し、公園に向かいました。

途中、A地点で7分間、B地点で12分間休みました。

太郎君は、午前9時20分に自転車で学校を出発し、

途中休まずに公園に行き、そこで7分間休んだ後、

学校に向けて公園を出発しました。

この間、午前9時28分にA地点の手前のP地点で、

太郎君は花子さんを追い抜きました。

また、太郎君は公園を出発してから10分後にB地点を通過し、

そのときちょうど花子さんがB地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。

ただし、花子さんの歩く速さと太郎君の自転車の速さは、

それぞれ一定であるものとします。

(1)太郎君の速さは花子さんの速さの何倍ですか。

(2)P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の何倍ですか。

(3)花子さんが公園に着いたのは午前何時何分ですか。

Ilm13_ac06005sClpe030s

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旅人算ですが、グラフがあるとわかりやすいですね。

(1)問題文の流れを大ざっぱにグラフにすると、下の図1のように描いてイメージすることができます。

Pic_2426a_2

図1で、学校からP地点まで、花子さんは28分、太郎君は8分で着いていることがわかります。

同じ距離を進むのに、花子さんは28分、太郎君は8分かかっているので、速さの比は、時間の比の逆で、

花子さんの速さ : 太郎君の速さ = 8 : 28 = 2 : 7

とわかるので、太郎君の速さは、花子さんの速さの

7÷2=3.5倍 ということがわかります。

(2)P地点とB地点、B地点と公園の間の距離について考えるとき、着目すべきところは、図1のグラフの中の、下の図2の部分です。

Pic_2427a

P地点で太郎君が花子さんを追い抜いてから、

B地点で太郎君と花子さんが出会うまでは、2人とも7分間休んでいるので、同じ時間かかっています(進んだ距離は違う)

ここで、(1)より、太郎君は花子さんの3.5倍進むことから、

下の図3のように理解することができます。

      Pic_2428a_2

花子さんがP地点からB地点まで進んだ距離(PB間の距離)を【 1 】 とすると、

太郎君は同じ時間に 【 3.5 】 進むので、

P地点 → 公園 → P地点 と往復すると、【 4.5 】 の

距離になることがわかります。片道 【 2.25 】です。

P地点からB地点までが 【 1 】 なので、B地点から公園までは【 1.25 】 になります。

よって、P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の

 1 ÷ 1.25 = 0.8 倍 です。

(3)太郎君は公園からB地点まで 【 1.25 】 進むのに10分かかるので、

P地点から公園まで 【 2.25 】 進むのに18分かかります(10分の9/5 倍)

よって、花子さんがP地点からB地点に着くまでに、

休む7分以外で

10+18=28分 かかることがわかります。

B地点から公園の間の距離は、P地点とB地点の距離の1.25倍

なので、花子さんは、

28×1.25=35分 かかることがわかります。

ゆえに、花子さんは、

学校からP地点まで 28分

P地点からB地点まで 28分 途中 7分休み

B地点から公園まで 35分 途中 12分休み

という時間をかけ、学校を9時に出発してから

28+28+35+7+12=110分後1時間50分後

の、 午前10時50分 に公園に着きます。

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2016年12月14日 (水)

等積移動して求めやすい形に!(大阪星光学院中学 2012年)

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下の図のように、点Oを中心、

ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

 

Pic_3243q_2

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下の図1の三角形EOFに注目すると、

Pic_3244a

三角形EOF は正三角形に変形でき、

三角形COD と等しい面積ということがわかります。

よって、求める面積は、扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF と

扇形OGH から直角三角形OGH を除いた部分 の合計となり、

扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF  の合計の中心角は、

60+(180-120)=120°

なので、求める面積は

6×6×3.14×120/360  

+(6×6×3.14×90/360-6×6÷2)

=(12+9)×3.14-18=21×3.14-18

47.94c㎡ です。

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2016年12月11日 (日)

てんびん図の使い方(洗足学園中学 2011年)

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4%の食塩水10gに6%と10%の食塩水を加えて,

7%の食塩水を100g作りました。

このとき,6%の食塩水は何g加えましたか。


0 0

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7%の食塩水が100gできたので、

4%の食塩水に加えた食塩水は90gです。

これをてんびん図で表すと下図のようになります。

1

重さの比は1:9ですから、てんびんの長さの比は逆比になって、

9:1

4%から7%までを9つ分割すると、1目盛りは1/3%です。

加えた食塩水は7と1/3%であったことがわかります。

6%の食塩水と10%の食塩水を加えて、

7と1/3%の食塩水90gを作ったと考えると、

てんびん図では下図のようになります。

2

1目盛りを1/3%ととして考えると、

てんびんの長さ比は4:8=1:2 です。

重さの比は逆比になり、2:1なので、

6%の食塩水は、90g×2/(2+1)=60g になります。

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2016年12月 8日 (木)

かけっこの差は何m?(暁星国際中学校  2012年)

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あきお君とたけし君とよしお君の3人が600m競争をしました。

あきお君が1分36秒でゴールに入ったとき、

たけし君はゴールまであと24mのところを走っていました。

また、よしお君がゴールに入ったのは、

たけし君がゴールに入ってから2.4秒後でした。

あきお君がゴールに入ったとき、

よしお君はゴールまで何mのところを走っていましたか。

Ilm03_bb01006s

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たけし君は1分36秒=96秒で、600-24=576m走るので、

1秒間に576÷96=6m走ります。

24mは、24÷6=4秒かかるので、ゴールしたのは96+4=100秒後、

よしお君は、その2.4秒後なので、102.4秒でゴールしました。

あきお君との差は、102.4-96=6.4秒、

よしお君が6.4秒で走るキョリは、

600m×6.4/102.4=600×1/16=37.5m です。

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2016年12月 6日 (火)

0.57は木の葉形の面積として覚える数字!

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中学入試でよく出題される、

図のような正方形の中の木の葉形部分の面積ですが、

正方形の1辺を1、円周率を3.14とすると、答えは0.57になります。

この数字覚えておくと便利です。

1

木の葉形には姿を変えた仲間たちがたくさんいます。

みんな同じ面積なので、0.57がとても重要になってくるわけです。

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Bandicam_20140712_124346281

Bandicam_20140712_124416312

Bandicam_20140712_124506218

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2016年12月 5日 (月)

円が転がったあとの長さと面積は?

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半径2cmの円が、半径5cmの半円のまわりを1周します。

(1)半径2cmの円の中心Oが通った後の長さは何cmですか。

(2)半径2cmの円が通った部分にできる図形の面積は何c㎡ですか。

0_2

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1

2_2

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2016年12月 3日 (土)

条件整理と図解の仕方

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ある学校の入学試験の結果、

180人の合格者と270人の不合格者が出ました。

そして450人の受験者全体の平均点は110点でした。

合格者全体の平均点と合格者の最低点との差は20点で、

不合格者全体の平均点と合格者の最低点との差は25点でした。

合格者の最低点は何点ですか。

Ilm03_be05001s

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1

2 

3_2 

4

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2016年12月 1日 (木)

相似比から長さ比と面積を求める

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