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点が動く範囲を考える(公文国際学園中等部 2007年)

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平面上で長さ3cmの直線を4本組み合わせて折れ線を作ります。両側の点をA,Bとし、つなぎ目の点をP,Q,Rとします。このとき、直線AP、PQ、QR、RBは重なったり回転したり自由に動けます。円周率を3.14として次の問に答えなさい。

    Pic_0959q

(1)点Aを固定するとき、折れ線APQが通過できる部分の面積を求めなさい。折れ線APQは直線になることもあります。

(2)2点A,Bを6cm離れたところで固定するとき、折れ線APQRBのうち、直線RBが通過できる部分の面積を求めなさい。

(3)2点A,Bを6cm離れたところで固定するとき、点Qが通過できる部分の周の長さは何cmですか。

(4)2点A,Bを、ABの長さが、面積が36c㎡の正方形の対角線の長さに等しくなるように固定すると点Qが通過できる部分の面積を求めなさい。

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(1)点Qが点Aからもっとも遠く離れるのは、A,P,Qが一直線に

並んだときなので、折れ線APQは、点Aを中心として半径6cmの

円の内部を動くので、通過できる部分の面積は、

 6×6×3.14=113.04c㎡ になります。

 

 (2)AとBの間は6cmなので、A,P,Q,Rを一直線にし、点Rで

折り返すことができ、点Rの動く範囲は下の図1のようになります。

    Pic_0960a

よって、直線RBが通過できる部分の面積は、

 3×3×3.14=28.26c㎡ となります。

 

 (3)APQを一直線に並べると、(1)で求めたような円が、

点Qの通過できる部分ですが、今回は点Bが固定されているので

BRQの通過できる部分も考えなければなりません。

 すると、(1)と同様に、折れ線BRQの通過できる部分も

半径6cmの円となります。

 

 折れ線APQ、BRQの両方が通過できる部分が、点Qが通過

できる部分で、下の図2のように囲まれた部分です。 

    Pic_0961a_2

それぞれの交点をC,Dとすると、三角形ABC、ABDは正三角形に

なりますので、点Qが通過できる部分の周の長さは、

 6×2×3.14×120/360 ×2 =25.12cm となります。

 

 (4) (3)と同様に、折れ線APQの通過できる部分と、

折れ線BRQの通過できる部分の重なる部分が、点Qの通過

できる部分となり、下の図3のようになります。

    Pic_0962a

A,Bは正方形の頂点になり、面積36c㎡ の正方形の1辺の

長さは6cmなので、点Qが通過できる部分の面積は、

6×6×3.14×90/360 ×2 - 36

=6×6×0.57=20.52c㎡ となります。

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