点が動く範囲を考える（公文国際学園中等部 2007年）

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平面上で長さ３ｃｍの直線を４本組み合わせて折れ線を作ります。両側の点をＡ，Ｂとし、つなぎ目の点をＰ，Ｑ，Ｒとします。このとき、直線ＡＰ、ＰＱ、ＱＲ、ＲＢは重なったり回転したり自由に動けます。円周率を３．１４として次の問に答えなさい。

　　　　

（１）点Ａを固定するとき、折れ線ＡＰＱが通過できる部分の面積を求めなさい。折れ線ＡＰＱは直線になることもあります。

（２）２点Ａ，Ｂを６ｃｍ離れたところで固定するとき、折れ線ＡＰＱＲＢのうち、直線ＲＢが通過できる部分の面積を求めなさい。

（３）２点Ａ，Ｂを６ｃｍ離れたところで固定するとき、点Ｑが通過できる部分の周の長さは何ｃｍですか。

（４）２点Ａ，Ｂを、ＡＢの長さが、面積が３６ｃ㎡の正方形の対角線の長さに等しくなるように固定すると点Ｑが通過できる部分の面積を求めなさい。

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（１）点Ｑが点Ａからもっとも遠く離れるのは、Ａ，Ｐ，Ｑが一直線に

並んだときなので、折れ線ＡＰＱは、点Ａを中心として半径６ｃｍの

円の内部を動くので、通過できる部分の面積は、

　６×６×３．１４＝１１３．０４ｃ㎡ になります。

　（２）ＡとＢの間は６ｃｍなので、Ａ，Ｐ，Ｑ，Ｒを一直線にし、点Ｒで

折り返すことができ、点Ｒの動く範囲は下の図１のようになります。

　　　　

よって、直線ＲＢが通過できる部分の面積は、

　３×３×３．１４＝２８．２６ｃ㎡ となります。

　（３）ＡＰＱを一直線に並べると、（１）で求めたような円が、

点Ｑの通過できる部分ですが、今回は点Ｂが固定されているので

ＢＲＱの通過できる部分も考えなければなりません。

　すると、（１）と同様に、折れ線ＢＲＱの通過できる部分も

半径６ｃｍの円となります。

　折れ線ＡＰＱ、ＢＲＱの両方が通過できる部分が、点Ｑが通過

できる部分で、下の図２のように囲まれた部分です。　

　　　　

それぞれの交点をＣ，Ｄとすると、三角形ＡＢＣ、ＡＢＤは正三角形に

なりますので、点Ｑが通過できる部分の周の長さは、

　６×２×３．１４×１２０/３６０ ×２ ＝２５．１２ｃｍ となります。

　（４）　（３）と同様に、折れ線ＡＰＱの通過できる部分と、

折れ線ＢＲＱの通過できる部分の重なる部分が、点Ｑの通過

できる部分となり、下の図３のようになります。

　　　　

Ａ，Ｂは正方形の頂点になり、面積３６ｃ㎡ の正方形の１辺の

長さは６ｃｍなので、点Ｑが通過できる部分の面積は、

６×６×３．１４×９０/３６０ ×２　－　３６

＝６×６×０．５７＝２０．５２ｃ㎡ となります。

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