算数解法の極意！

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速さの比と距離の比の関係の考え方（雙葉中学　２０１３年）

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太郎と花子がＡ地点とＢ地点の間を往復します。

太郎と花子の速さの比は５：４で、

それぞれの速さはいつも変わりません。

２人は同時にＡを出発し、Ｃ地点で初めて出会いました。

ＡからＣまでと、ＣからＢまでの距離の比は何対何ですか？

Ilm19_aa01016s Ilm19_aa01022s

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解法例

同じ時間に進んだ距離は、速さに比例するので、

太郎：花子＝５：４　です。

図のようにBC間の距離の２倍が⑤－④＝①にあたります。

したがって、AC：BC＝４：０．５＝８：１　になります。

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点が動く範囲を考える（公文国際学園中等部　2007年）

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平面上で長さ３ｃｍの直線を４本組み合わせて折れ線を作ります。両側の点をＡ，Ｂとし、つなぎ目の点をＰ，Ｑ，Ｒとします。このとき、直線ＡＰ、ＰＱ、ＱＲ、ＲＢは重なったり回転したり自由に動けます。円周率を３．１４として次の問に答えなさい。

　　　　 Pic_0959q

（１）点Ａを固定するとき、折れ線ＡＰＱが通過できる部分の面積を求めなさい。折れ線ＡＰＱは直線になることもあります。

（２）２点Ａ，Ｂを６ｃｍ離れたところで固定するとき、折れ線ＡＰＱＲＢのうち、直線ＲＢが通過できる部分の面積を求めなさい。

（３）２点Ａ，Ｂを６ｃｍ離れたところで固定するとき、点Ｑが通過できる部分の周の長さは何ｃｍですか。

（４）２点Ａ，Ｂを、ＡＢの長さが、面積が３６ｃ㎡の正方形の対角線の長さに等しくなるように固定すると点Ｑが通過できる部分の面積を求めなさい。

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（１）点Ｑが点Ａからもっとも遠く離れるのは、Ａ，Ｐ，Ｑが一直線に

並んだときなので、折れ線ＡＰＱは、点Ａを中心として半径６ｃｍの

円の内部を動くので、通過できる部分の面積は、

　６×６×３．１４＝１１３．０４ｃ㎡ になります。

　（２）ＡとＢの間は６ｃｍなので、Ａ，Ｐ，Ｑ，Ｒを一直線にし、点Ｒで

折り返すことができ、点Ｒの動く範囲は下の図１のようになります。

　　　　 Pic_0960a

よって、直線ＲＢが通過できる部分の面積は、

　３×３×３．１４＝２８．２６ｃ㎡ となります。

　（３）ＡＰＱを一直線に並べると、（１）で求めたような円が、

点Ｑの通過できる部分ですが、今回は点Ｂが固定されているので

ＢＲＱの通過できる部分も考えなければなりません。

　すると、（１）と同様に、折れ線ＢＲＱの通過できる部分も

半径６ｃｍの円となります。

　折れ線ＡＰＱ、ＢＲＱの両方が通過できる部分が、点Ｑが通過

できる部分で、下の図２のように囲まれた部分です。　

　　　　 Pic_0961a_2

それぞれの交点をＣ，Ｄとすると、三角形ＡＢＣ、ＡＢＤは正三角形に

なりますので、点Ｑが通過できる部分の周の長さは、

　６×２×３．１４×１２０/３６０ ×２＝２５．１２ｃｍ となります。

　（４）　（３）と同様に、折れ線ＡＰＱの通過できる部分と、

折れ線ＢＲＱの通過できる部分の重なる部分が、点Ｑの通過

できる部分となり、下の図３のようになります。

　　　　 Pic_0962a

Ａ，Ｂは正方形の頂点になり、面積３６ｃ㎡の正方形の１辺の

長さは６ｃｍなので、点Ｑが通過できる部分の面積は、

６×６×３．１４×９０/３６０ ×２　－　３６

＝６×６×０．５７＝２０．５２ｃ㎡ となります。

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円周の長さを説明して！（東京学芸大学附属世田谷中学　２０１４年）

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下の図のような正六角形があり，

その頂点ア，イ，ウ，エ，オ，カすべてを通るような半径１０ｃｍの円があります。

また円の外側に，正六角形の頂点ウ，カと，円周の上にある点キ，クを通るような

正方形ケ，コ，サ，シがあります。この図を用いて，

円周が直径の３倍より大きく，４倍より小さい値であることを鋭明しなさい。

なお，円周率が３．１４であることは使ってはいけません。

7172

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図のように正六角形の１辺は円の半径１０ｃｍに等しく、

その周囲は６０ｃｍで、直径２０ｃｍの３倍です。

円周はこれより大きいことがわかります。

7173

正方形の１辺は円の直径と等しく２０ｃｍ、

その周囲は８０ｃｍで、直径の４倍です。

円周はこれより小さいことわかります。

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周期性の特徴をつかむ（豊島岡女子学園中学　2009年）

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次のように21を2009個かけたときの下2けたの数はいくつですか。

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こたえ

下２けただけ計算して調べると、

21、

21×21→41、

41×21→61、

61×21→81、

81×21→01、

01×21→21、　

つまり、10の位の数字は2、4、6、8、0の繰り返しになります。

2009÷5＝401・・・4なので、4番目と同じ8になります。

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食塩水濃度と重さは？（筑波大学附属駒場中学　２０１４年）

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大きな水槽に、濃度１２％の食塩水が１ｋｇ入っています。

この水槽に、水と濃度１２％の食塩水を、交互に次のように入れていきます。

１回目：水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の４/５倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度１２％の食塩水を加えて、水槽の食塩水を２ｋｇにします。

２回目：水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の４/５倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度１２％の食塩水を加えて、水槽の食塩水を３ｋｇにします。

以下同様に、

水と食塩水を交互に入れて、水槽の食塩水を１ｋｇずつ増やしていきます。

そして、うすめるために一度に入れる水がちようど１ｋｇになったとき、

その後は、食塩水と水を交互に１ｋｇずつ入れ続けます。

（１）水槽の食塩水が２ｋｇになったとき、濃度は何％ですか。

（２）うすめるために一度に入れる水が、初めてちょうど１ｋｇになったとき、

　　　その１ｋｇの水を入れて、水槽の食塩水は何ｋｇになりましたか。

（３）水槽の食塩水の濃度が最も低くなるとき、その濃度は何％ですか。

Ilm05_cb10028s

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（１）濃度を４/５倍にするためには、食塩水の重さを５/４倍にすればいいので、

加えた水の量は、１/４ｋｇです。

以下、水と１２％の食塩水の重さを考えます。

　　　　　　　　　　水　　　　　　　　　　１２％の食塩水

最初　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１ｋｇ

１回目　　　　　１/４ｋｇ　　　　　　　　　　３/４ｋｇ　　　　　　　　＝２ｋｇ

２回目　　　　　２/４ｋｇ　　　　　　　　　　２/４ｋｇ　　　　　　　　＝３ｋｇ

３回目　　　　　３/４ｋｇ　　　　　　　　　　１/４ｋｇ　　　　　　　　＝４ｋｇ

４回目　　　　　４/４ｋｇ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５ｋｇ

２ｋｇのとき、水：１２％の食塩水＝１/４：（１＋３/４）＝１：７

１２％×７/８＝１０．５％

（２）４回目に水を１ｋｇ入れて、食塩水は５ｋｇになりました。

（３）水を１ｋｇ入れた時点で、

水：１２％の食塩水＝（１/４＋２/４＋３/４＋４/４）：（１＋３/４＋２/４＋１/４）

＝１０/４：１０/４＝１０：１０＝１：１

水と１２％の食塩水は１：１、つまり、２．５ｋｇずつなので、

濃度は１２×１/２＝６％　です。

次からは、１２％の食塩水１ｋｇと水１ｋｇが繰り返されるので、

６％の食塩水２ｋｇが入れ続けられる、と考えれば、

最低濃度は、６％です。

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四角すいと三角すいの組み合わせイメージ（栄光学園中　1998年　）

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どの辺の長さも3cmである四角すいをA、

どの辺の長さも3cmである三角すいをBとします。

AとBを何個か使って、すき間なく組み合わせると、

どの辺の長さも6cmである四角すいができます。

AとBはそれぞれ何個ずつ必要ですか。

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こたえ

1_2

４つの面の隙間部分に三角すいが入ります。

Ａが６個、Ｂが４個

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和と差の活用法、３つの荷物の重さは？（早稲田実業学校中等部　２０１４年）

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３つの荷物があります。

２つずつ重さを量ったら，155g，270g，365gでした。

３つの荷物の中で２番目に軽い荷物の重さは何ｇですか。

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こたえ

重い順にA、B、C　とします。

A＋B＝３６５ｇ

B＋C＝１５５ｇ　になるので、

AとCの差は　A－C＝３６５－１５５＝２１０ｇ

A＋C＝２７０ｇなので、和差算で考えると、

C＝（２７０－２１０）÷２＝３０ｇ

A＝２７０－３０＝２４０ｇ

２番目に軽いB＝１５５－３０＝１２５ｇ

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光の反射の特徴と回数を考えよう！（甲陽学院中　2004年）

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図1のように、正三角形ABCの頂点Aから出た光が、

まず辺BC上の点Dではねかえり、

以後正三角形の辺にぶつかるたびにはねかえり続けて、

正三角形の頂点に到達したときに止まるものとします。

ただし、光が辺にぶつかると

図2の(あ)と(い)の角度が等しくるようにはねかえります。

（1）点Dが辺BCを3等分する点のうちの頂点Bに近い方の点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

（2）点Dが辺BCを4等分する点のうちの頂点Bに一番近い点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

0801_0701

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こたえ

（１）光はまっすぐ進むので、辺に鏡を置いたように、

正三角形を図のようにしきつめると、

DはBCを１：２で分ける点なので、

３段目の正三角形を横に５つ並べた底辺を、

１：２に分ける（正三角形１個と２個の間）B''で止まります。

辺を横切った（反射した）回数は３回、頂点はBです。

1_6

（２）同様に、DはBCを１：３で分ける点なので、

４段目の正三角形を横に７つ並べた底辺を、

１：３に分ける（正三角形１個と３個の間）C'''で止まります。

辺を横切った（反射した）回数は５回、頂点はCです。

2_2

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速さと時間の関係を図解して解く！（女子学院中学　２０１０年）

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花子さんは、自転車に乗って分速３２０ｍでＪ町からＧ町に向かった。

バスはＪ町とＧ町を往復している。

花子さんは、バスがＧ町を出発してから５分後にＪ町を出発し、

花子さんが出発してから２０分後にバスと出会った。

バスはＪ町に到着してから５分後に出発し、

花子さんと出会ってから３５分後に花子さんを追いぬいた。

（１）バスの時速は何kｍですか。

（２）Ｊ町からＧ町までの道のりは何kmですか。

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解法例

1_2

（１）

図のように、バスが３５－５＝３０分で進む道のりを、

花子は２０×２＋３５＝７５分　かかります。

速さの比は逆比で、花子：バス＝３０：７５＝２：５

バスの速さ＝３２０×５/２＝８００ｍ/分速

時速→　８００×６０＝４８０００ｍ→４８ｋｍ

（２）

３２０ｍ×２０分＋８００ｍ×２５分＝２６４００ｍ＝２６．４ｋｍ

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図形の対称性をイメージでとらえる！（普連土学園中学　２００９年）

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１辺が6ｃｍの正方形の２辺を３等分した点を，

図のように直線で結びました。

斜線部分の面積の和を求めなさい。

1_2

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こたえ

図形の対称性から、

上の黄色部分と緑部分は同じ面積です。

2_2

したがって、直角三角形の面積として計算できます。

６×２/３×６÷２＝１２ｃ㎡

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