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2017年1月

2017年1月30日 (月)

約束記号の捜査計算 (東大寺学園中学 2010年)

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整数A のなかに現れる 0 の個数をN(A)と表します。

たとえば、N(1000)=3、N(2010)=2 です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)1から199までの整数のなかに現れる 0 の個数の和

    N(1)+N(2)+・・・+N(199) を求めなさい。

(2)1000から1999までの整数のなかに現れる 0 の個数の和

     N(1000)+N(1001)+・・・+N(1999) を求めなさい。

Student148613_150

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(1)一の位が 0 になるとき → 10の倍数 が 19個

十の位が 0 になるとき → 100~109 の 10個なので、

 N(1)+N(2)+・・・+N(199)=19+10=29

となります。

 

(2)一の位が 0 になるとき → 10の倍数 が 100個

十の位が 0 になるとき → 10×10=100個

百の位が 0 になるとき → 1000~1099 の 100個なので、

 N(1000)+N(1001)+・・・+N(1999) = 300

となります。

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2017年1月26日 (木)

速さの比と距離の比の関係の考え方(雙葉中学 2013年)

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太郎と花子がA地点とB地点の間を往復します。

太郎と花子の速さの比は5:4で、

それぞれの速さはいつも変わりません。

2人は同時にAを出発し、C地点で初めて出会いました。

AからCまでと、CからBまでの距離の比は何対何ですか?

Ilm19_aa01016s  Ilm19_aa01022s


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解法例

同じ時間に進んだ距離は、速さに比例するので、

太郎:花子=5:4 です。

図のようにBC間の距離の2倍が⑤-④=①にあたります。

1

したがって、AC:BC=4:0.5=8:1 になります。

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2017年1月23日 (月)

点が動く範囲を考える(公文国際学園中等部 2007年)

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平面上で長さ3cmの直線を4本組み合わせて折れ線を作ります。両側の点をA,Bとし、つなぎ目の点をP,Q,Rとします。このとき、直線AP、PQ、QR、RBは重なったり回転したり自由に動けます。円周率を3.14として次の問に答えなさい。

    Pic_0959q

(1)点Aを固定するとき、折れ線APQが通過できる部分の面積を求めなさい。折れ線APQは直線になることもあります。

(2)2点A,Bを6cm離れたところで固定するとき、折れ線APQRBのうち、直線RBが通過できる部分の面積を求めなさい。

(3)2点A,Bを6cm離れたところで固定するとき、点Qが通過できる部分の周の長さは何cmですか。

(4)2点A,Bを、ABの長さが、面積が36c㎡の正方形の対角線の長さに等しくなるように固定すると点Qが通過できる部分の面積を求めなさい。

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(1)点Qが点Aからもっとも遠く離れるのは、A,P,Qが一直線に

並んだときなので、折れ線APQは、点Aを中心として半径6cmの

円の内部を動くので、通過できる部分の面積は、

 6×6×3.14=113.04c㎡ になります。

 

 (2)AとBの間は6cmなので、A,P,Q,Rを一直線にし、点Rで

折り返すことができ、点Rの動く範囲は下の図1のようになります。

    Pic_0960a

よって、直線RBが通過できる部分の面積は、

 3×3×3.14=28.26c㎡ となります。

 

 (3)APQを一直線に並べると、(1)で求めたような円が、

点Qの通過できる部分ですが、今回は点Bが固定されているので

BRQの通過できる部分も考えなければなりません。

 すると、(1)と同様に、折れ線BRQの通過できる部分も

半径6cmの円となります。

 

 折れ線APQ、BRQの両方が通過できる部分が、点Qが通過

できる部分で、下の図2のように囲まれた部分です。 

    Pic_0961a_2

それぞれの交点をC,Dとすると、三角形ABC、ABDは正三角形に

なりますので、点Qが通過できる部分の周の長さは、

 6×2×3.14×120/360 ×2 =25.12cm となります。

 

 (4) (3)と同様に、折れ線APQの通過できる部分と、

折れ線BRQの通過できる部分の重なる部分が、点Qの通過

できる部分となり、下の図3のようになります。

    Pic_0962a

A,Bは正方形の頂点になり、面積36c㎡ の正方形の1辺の

長さは6cmなので、点Qが通過できる部分の面積は、

6×6×3.14×90/360 ×2 - 36

=6×6×0.57=20.52c㎡ となります。

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2017年1月19日 (木)

円周の長さを説明して!(東京学芸大学附属世田谷中学 2014年)

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下の図のような正六角形があり,

その頂点ア,イ,ウ,エ,オ,カすべてを通るような半径10cmの円があります。

また円の外側に,正六角形の頂点ウ,カと,円周の上にある点キ,クを通るような

正方形ケ,コ,サ,シがあります。この図を用いて,

円周が直径の3倍より大きく,4倍より小さい値であることを鋭明しなさい。

なお,円周率が3.14であることは使ってはいけません。

7172

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図のように正六角形の1辺は円の半径10cmに等しく、

その周囲は60cmで、直径20cmの3倍です。

円周はこれより大きいことがわかります。

7173

正方形の1辺は円の直径と等しく20cm、

その周囲は80cmで、直径の4倍です。

円周はこれより小さいことわかります。

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2017年1月16日 (月)

周期性の特徴をつかむ(豊島岡女子学園中学 2009年)

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次のように21を2009個かけたときの下2けたの数はいくつですか。

1

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こたえ

下2けただけ計算して調べると、

21、

21×21→41、

41×21→61、

61×21→81、

81×21→01、

01×21→21、 

つまり、10の位の数字は2、4、6、8、0の繰り返しになります。

2009÷5=401・・・4なので、4番目と同じ8になります。

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2017年1月14日 (土)

食塩水濃度と重さは?(筑波大学附属駒場中学 2014年)

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大きな水槽に、濃度12%の食塩水が1kg入っています。

この水槽に、水と濃度12%の食塩水を、交互に次のように入れていきます。

1回目:水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を2kgにします。

2回目:水を入れて、

水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。

うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を3kgにします。

以下同様に、

水と食塩水を交互に入れて、水槽の食塩水を1kgずつ増やしていきます。

そして、うすめるために一度に入れる水がちようど1kgになったとき、

その後は、食塩水と水を交互に1kgずつ入れ続けます。

(1)水槽の食塩水が2kgになったとき、濃度は何%ですか。

(2)うすめるために一度に入れる水が、初めてちょうど1kgになったとき、

   その1kgの水を入れて、 水槽の食塩水は何kgになりましたか。

(3)水槽の食塩水の濃度が最も低くなるとき、その濃度は何%ですか。

Ilm05_cb10028s

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(1)濃度を4/5倍にするためには、食塩水の重さを5/4倍にすればいいので、

加えた水の量は、1/4kgです。

以下、水と12%の食塩水の重さを考えます。

          水          12%の食塩水

最初                      1kg

1回目     1/4kg          3/4kg        =2kg

2回目     2/4kg          2/4kg        =3kg

3回目     3/4kg          1/4kg        =4kg

4回目     4/4kg                       =5kg

2kgのとき、水:12%の食塩水=1/4:(1+3/4)=1:7

12%×7/8=10.5%

(2)4回目に水を1kg入れて、食塩水は5kgになりました。

(3)水を1kg入れた時点で、

水:12%の食塩水=(1/4+2/4+3/4+4/4):(1+3/4+2/4+1/4)

=10/4:10/4=10:10=1:1

水と12%の食塩水は1:1、つまり、2.5kgずつなので、

濃度は12×1/2=6% です。

次からは、12%の食塩水1kgと水1kgが繰り返されるので、

6%の食塩水2kgが入れ続けられる、と考えれば、

最低濃度は、6%です。

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2017年1月10日 (火)

四角すいと三角すいの組み合わせイメージ(栄光学園中 1998年 )

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どの辺の長さも3cmである四角すいをA、

どの辺の長さも3cmである三角すいをBとします。

AとBを何個か使って、すき間なく組み合わせると、

どの辺の長さも6cmである四角すいができます。

AとBはそれぞれ何個ずつ必要ですか。

0_2   

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こたえ

1_2

4つの面の隙間部分に三角すいが入ります。

Aが6個、Bが4個

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2017年1月 8日 (日)

和と差の活用法、3つの荷物の重さは?(早稲田実業学校中等部 2014年)

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3つの荷物があります。

2つずつ重さを量ったら,155g,270g,365gでした。

3つの荷物の中で2番目に軽い荷物の重さは何gですか。

Cmv601s

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こたえ

重い順にA、B、C とします。

A+B=365g

B+C=155g になるので、

AとCの差は A-C=365-155=210g

A+C=270gなので、和差算で考えると、

C=(270-210)÷2=30g

A=270-30=240g

2番目に軽いB=155-30=125g

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2017年1月 6日 (金)

光の反射の特徴と回数を考えよう!(甲陽学院中 2004年)

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図1のように、正三角形ABCの頂点Aから出た光が、

まず辺BC上の点Dではねかえり、

以後正三角形の辺にぶつかるたびにはねかえり続けて、

正三角形の頂点に到達したときに止まるものとします。

ただし、光が辺にぶつかると

図2の(あ)と(い)の角度が等しくるようにはねかえります。

(1) 点Dが辺BCを3等分する点のうちの頂点Bに近い方の点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

(2) 点Dが辺BCを4等分する点のうちの頂点Bに一番近い点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

0801_0701

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こたえ

(1)光はまっすぐ進むので、辺に鏡を置いたように、

正三角形を図のようにしきつめると、

DはBCを1:2で分ける点なので、

3段目の正三角形を横に5つ並べた底辺を、

1:2に分ける(正三角形1個と2個の間)B''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は3回、頂点はBです。

1_6

 

(2)同様に、DはBCを1:3で分ける点なので、

4段目の正三角形を横に7つ並べた底辺を、

1:3に分ける(正三角形1個と3個の間)C'''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は5回、頂点はCです。

2_2

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2017年1月 4日 (水)

速さと時間の関係を図解して解く!(女子学院中学 2010年)

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花子さんは、自転車に乗って分速320mでJ町からG町に向かった。

バスはJ町とG町を往復している。

花子さんは、バスがG町を出発してから5分後にJ町を出発し、

花子さんが出発してから20分後にバスと出会った。

バスはJ町に到着してから5分後に出発し、

花子さんと出会ってから35分後に花子さんを追いぬいた。

(1)バスの時速は何kmですか。

(2)J町からG町までの道のりは何kmですか。

2_2 Ilm03_ba08038s

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解法例

1_2

(1)

図のように、バスが35-5=30分で進む道のりを、

花子は20×2+35=75分 かかります。

速さの比は逆比で、花子:バス=30:75=2:5

バスの速さ=320×5/2=800m/分速

時速→ 800×60=48000m→48km

(2)

320m×20分+800m×25分=26400m=26.4km

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2017年1月 1日 (日)

図形の対称性をイメージでとらえる!(普連土学園中学 2009年)

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1辺が6cmの正方形の2辺を3等分した点を,

図のように直線で結びました。

斜線部分の面積の和を求めなさい。

1_2

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こたえ

図形の対称性から、

上の黄色部分と緑部分は同じ面積です。

2_2

したがって、直角三角形の面積として計算できます。

6×2/3×6÷2=12c㎡

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