食塩水濃度と重さは?(筑波大学附属駒場中学 2014年)
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大きな水槽に、濃度12%の食塩水が1kg入っています。
この水槽に、水と濃度12%の食塩水を、交互に次のように入れていきます。
1回目:水を入れて、
水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。
うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を2kgにします。
2回目:水を入れて、
水槽の食塩水の濃度を、水を入れはじめる前の4/5倍の濃度にうすめます。
うすまったら、濃度12%の食塩水を加えて、水槽の食塩水を3kgにします。
以下同様に、
水と食塩水を交互に入れて、水槽の食塩水を1kgずつ増やしていきます。
そして、うすめるために一度に入れる水がちようど1kgになったとき、
その後は、食塩水と水を交互に1kgずつ入れ続けます。
(1)水槽の食塩水が2kgになったとき、濃度は何%ですか。
(2)うすめるために一度に入れる水が、初めてちょうど1kgになったとき、
その1kgの水を入れて、 水槽の食塩水は何kgになりましたか。
(3)水槽の食塩水の濃度が最も低くなるとき、その濃度は何%ですか。
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(1)濃度を4/5倍にするためには、食塩水の重さを5/4倍にすればいいので、
加えた水の量は、1/4kgです。
以下、水と12%の食塩水の重さを考えます。
水 12%の食塩水
最初 1kg
1回目 1/4kg 3/4kg =2kg
2回目 2/4kg 2/4kg =3kg
3回目 3/4kg 1/4kg =4kg
4回目 4/4kg =5kg
2kgのとき、水:12%の食塩水=1/4:(1+3/4)=1:7
12%×7/8=10.5%
(2)4回目に水を1kg入れて、食塩水は5kgになりました。
(3)水を1kg入れた時点で、
水:12%の食塩水=(1/4+2/4+3/4+4/4):(1+3/4+2/4+1/4)
=10/4:10/4=10:10=1:1
水と12%の食塩水は1:1、つまり、2.5kgずつなので、
濃度は12×1/2=6% です。
次からは、12%の食塩水1kgと水1kgが繰り返されるので、
6%の食塩水2kgが入れ続けられる、と考えれば、
最低濃度は、6%です。
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