場合の数を数える解法２例（神戸女学院中学 2012年）

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箱の中に１から７までの数字が書かれたカードが１枚ずつ入っています。

この箱の中からカードを１枚ずつ順に取り出し、

取り出したカードに書かれた数の和が３の倍数になったときに

終了することにします。

もし１枚目が３の倍数ならば、そこで終了です。

ただし、取り出したカードは元にもどさないものとします。

このとき次の問に答えなさい。

（１）２枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

（２）３枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

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こたえ

（１）２枚の合計が３の倍数となるカードの組は

　　　　　合計が３　・・・　（１，２）

　　　　　合計が６　・・・　（１，５）、（２，４）

　　　　　合計が９　・・・　（２，７）、（４，５）

　　　　　合計が１２　・・・　（５，７）

の６組あり、それぞれ取り出し方が２通りあるので、

カードの取り出し方は、６×２＝１２通り です。

　（２）３枚の合計が３の倍数となるカードの組は

合計が６　・・・　（１，２，３）

合計が９　・・・　（１，２，６）、（１，３，５）、（２，３，４）

合計が１２　・・・　（１，４，７）、（２，３，７）、（１，５，６）、（２，４，６）、

　　　　　　　　　　 （３，４，５）

合計が１５　・・・　（２，６，７）、（３，５，７）、（４，５，６）

合計が１８　・・・　（５，６，７）

以上１３組あります。このうち、（１，４，７）以外の１２組は

３または６の３の倍数が１枚含まれるので、このカードを１枚目に

取り出す方法は除かなければなりません。

また、残りの２枚の和が３の倍数となるので、この２枚を最初に

取り出してはいけません。つまり、３の倍数の数を最後に残しては

いけません。

（１，４，７）は、どのような順番でカードを取り出してもよく、

　　 ３×２×１＝６通り の取り出し方があります。

（１，４，７）以外の１２組は、３つの数を○、□、×として、

３の倍数を×とすると、×を最初にも最後にも取り出しては

いけないので、×は必ず２番目に取り出し、取り出し方は

　　 ○→×→□　、　□→×→○　の２通りです。

よって、３枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は

　　　６＋１２×２＝３０通り

となります。

＜別解＞

　１～７ の数字を、【３で割った余り別】に分けると、

　　　　　あまり０　・・・　３，６

　　　　　あまり１　・・・　１，４，７

　　　　　あまり２　・・・　２，５

となります。

選んだ数のあまりの数の合計が３の倍数（０も含む）になると、

選んだ数の和は、３の倍数となります。

３枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は、

（１枚目、２枚目、３枚目）＝（あまり１、あまり１、あまり１）・・・①

　　　　　　　　　　　　　　　　　（あまり２、あまり２、あまり２）・・・②

　　　　　　　　　　　　　　　　　（あまり１、あまり０、あまり２）・・・③

　　　　　　　　　　　　　　　　　（あまり２、あまり０、あまり１）・・・④

の順番に取り出せばよいことになります。

①（あまり１、あまり１、あまり１）のカードの取り出し方は、

　　１，４，７ のカードの並べ方になり、６通り です。

②（あまり２、あまり２、あまり２）のカードの取り出し方は、

　　あまり２ のカードが２枚しかないので、作れません。

③（あまり１、あまり０、あまり２）のカードの取り出し方は、

　　あまり１ → ３通り、あまり０ → ２通り、あまり２ → ２通り

　　の並べ方になり、３×２×２＝１２通り となります。

④（あまり２、あまり０、あまり１）のカードの取り出し方は、

　　③と同様に、２×２×３＝１２通り となります。

よって、３枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は

　　６＋１２＋１２＝３０通り

です。

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