場合の数を数える解法2例(神戸女学院中学 2012年)
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箱の中に1から7までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。
この箱の中からカードを1枚ずつ順に取り出し、
取り出したカードに書かれた数の和が3の倍数になったときに
終了することにします。
もし1枚目が3の倍数ならば、そこで終了です。
ただし、取り出したカードは元にもどさないものとします。
このとき次の問に答えなさい。
(1)2枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。
(2)3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。
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こたえ
(1)2枚の合計が3の倍数となるカードの組は
合計が3 ・・・ (1,2)
合計が6 ・・・ (1,5)、(2,4)
合計が9 ・・・ (2,7)、(4,5)
合計が12 ・・・ (5,7)
の6組あり、それぞれ取り出し方が2通りあるので、
カードの取り出し方は、6×2=12通り です。
(2)3枚の合計が3の倍数となるカードの組は
合計が6 ・・・ (1,2,3)
合計が9 ・・・ (1,2,6)、(1,3,5)、(2,3,4)
合計が12 ・・・ (1,4,7)、(2,3,7)、(1,5,6)、(2,4,6)、
(3,4,5)
合計が15 ・・・ (2,6,7)、(3,5,7)、(4,5,6)
合計が18 ・・・ (5,6,7)
以上13組あります。このうち、(1,4,7)以外の12組は
3または6の3の倍数が1枚含まれるので、このカードを1枚目に
取り出す方法は除かなければなりません。
また、残りの2枚の和が3の倍数となるので、この2枚を最初に
取り出してはいけません。つまり、3の倍数の数を最後に残しては
いけません。
(1,4,7)は、どのような順番でカードを取り出してもよく、
3×2×1=6通り の取り出し方があります。
(1,4,7)以外の12組は、3つの数を○、□、×として、
3の倍数を×とすると、×を最初にも最後にも取り出しては
いけないので、×は必ず2番目に取り出し、取り出し方は
○→×→□ 、 □→×→○ の2通りです。
よって、3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は
6+12×2=30通り
となります。
<別解>
1~7 の数字を、【3で割った余り別】に分けると、
あまり0 ・・・ 3,6
あまり1 ・・・ 1,4,7
あまり2 ・・・ 2,5
となります。
選んだ数のあまりの数の合計が3の倍数(0も含む)になると、
選んだ数の和は、3の倍数となります。
3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は、
(1枚目、2枚目、3枚目)=(あまり1、あまり1、あまり1)・・・①
(あまり2、あまり2、あまり2)・・・②
(あまり1、あまり0、あまり2)・・・③
(あまり2、あまり0、あまり1)・・・④
の順番に取り出せばよいことになります。
①(あまり1、あまり1、あまり1)のカードの取り出し方は、
1,4,7 のカードの並べ方になり、6通り です。
②(あまり2、あまり2、あまり2)のカードの取り出し方は、
あまり2 のカードが2枚しかないので、作れません。
③(あまり1、あまり0、あまり2)のカードの取り出し方は、
あまり1 → 3通り、あまり0 → 2通り、あまり2 → 2通り
の並べ方になり、3×2×2=12通り となります。
④(あまり2、あまり0、あまり1)のカードの取り出し方は、
③と同様に、2×2×3=12通り となります。
よって、3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は
6+12+12=30通り
です。
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