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場合の数を数える解法2例(神戸女学院中学 2012年)

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箱の中に1から7までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。

この箱の中からカードを1枚ずつ順に取り出し、

取り出したカードに書かれた数の和が3の倍数になったときに

終了することにします。

もし1枚目が3の倍数ならば、そこで終了です。

ただし、取り出したカードは元にもどさないものとします。

このとき次の問に答えなさい。

01 02 03 04 05 06 07

(1)2枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

(2)3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

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こたえ

(1)2枚の合計が3の倍数となるカードの組は

     合計が3 ・・・ (1,2)

     合計が6 ・・・ (1,5)、(2,4)

     合計が9 ・・・ (2,7)、(4,5)

     合計が12 ・・・ (5,7)

の6組あり、それぞれ取り出し方が2通りあるので、

カードの取り出し方は、6×2=12通り です。

 

 

 (2)3枚の合計が3の倍数となるカードの組は

合計が6 ・・・ (1,2,3)

合計が9 ・・・ (1,2,6)、(1,3,5)、(2,3,4)

合計が12 ・・・ (1,4,7)、(2,3,7)、(1,5,6)、(2,4,6)、

           (3,4,5)

合計が15 ・・・ (2,6,7)、(3,5,7)、(4,5,6)

合計が18 ・・・ (5,6,7)

以上13組あります。このうち、(1,4,7)以外の12組は

3または6の3の倍数が1枚含まれるので、このカードを1枚目に

取り出す方法は除かなければなりません。

また、残りの2枚の和が3の倍数となるので、この2枚を最初に

取り出してはいけません。つまり、3の倍数の数を最後に残しては

いけません。

 

(1,4,7)は、どのような順番でカードを取り出してもよく、

   3×2×1=6通り の取り出し方があります。

(1,4,7)以外の12組は、3つの数を○、□、×として、

3の倍数を×とすると、×を最初にも最後にも取り出しては

いけないので、×は必ず2番目に取り出し、取り出し方は

   ○→×→□ 、 □→×→○ の2通りです。

 

よって、3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は

   6+12×2=30通り

となります。

 

<別解>

 1~7 の数字を、【3で割った余り別】に分けると、

     あまり0 ・・・ 3,6

     あまり1 ・・・ 1,4,7

     あまり2 ・・・ 2,5

となります。

 

選んだ数のあまりの数の合計が3の倍数(0も含む)になると、

選んだ数の和は、3の倍数となります。

 

3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は、

(1枚目、2枚目、3枚目)=(あまり1、あまり1、あまり1)・・・①

                 (あまり2、あまり2、あまり2)・・・②

                 (あまり1、あまり0、あまり2)・・・③

                 (あまり2、あまり0、あまり1)・・・④

の順番に取り出せばよいことになります。

 

①(あまり1、あまり1、あまり1)のカードの取り出し方は、

  1,4,7 のカードの並べ方になり、6通り です。

②(あまり2、あまり2、あまり2)のカードの取り出し方は、

  あまり2 のカードが2枚しかないので、作れません。

③(あまり1、あまり0、あまり2)のカードの取り出し方は、

  あまり1 → 3通り、あまり0 → 2通り、あまり2 → 2通り

  の並べ方になり、3×2×2=12通り となります。

④(あまり2、あまり0、あまり1)のカードの取り出し方は、

  ③と同様に、2×2×3=12通り となります。

 

よって、3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は

  6+12+12=30通り

です。

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