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2017年2月

2017年2月27日 (月)

グラフを書く名作問題にチャレンジ!(筑波大学付属中学 2009年)

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下の図の黄色部分は半径12cmの円を4等分したものです。

また、水色部分と白い部分は、

一辺が15cmの正三角形をアを中心にしきつめたものです。

黄色部分が、アを中心に、下の図の位置から、

時計回りに2分間で一回転するとき、

黄色部分と水色部分とが重なる部分の面積の変化の様子を、

10秒後から60秒後まで、グラフに表しなさい。

ただし、円周率は3.1として計算しなさい。

1

2

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扇形が1秒間に動く角度は、360÷60×2=3°

30°回転する、30÷3=10秒間は面積が減り続けます。

その後の30°、10秒間は面積が減る部分と増える部分が等しく、

面積は変化しません。

次の30°、10秒間は面積が増え続けます。

その次の30°10秒間は面積が変化せず、この周期が繰り返されるので、

グラフは以下のようになります。

3

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2017年2月24日 (金)

本の厚さは何cm?(2016年  同志社中学)

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厚みのあるカバーのついた本が3冊あります。
 
1冊目の本は400ページで、本全体の厚さが 3.6cmありました。
 
また、同じカバーのついた2冊目の本は350ページで3.2cmでした。
 
3冊目も同じカバーがついていて、1000ページあります。
 
3冊目の本の厚さは何cmですか。
Readowl1376297_640

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カバーは同じ厚さなので、

3.6-3.2=0.4cmが

400-350=50ページに相当します。

1000ページは400ぺージより、600ページ多いので、

600÷50=12 より、

3冊目は、1冊目より、0.4×12=4.8cm厚くなるので、

3.6+4.8=8.4cmです。

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2017年2月20日 (月)

硬貨の枚数を最も少なくして!(2015年 白百合学園中学)

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買い物をしたときに、

おつりの硬貨の枚数がなるべく少なくなるような支払い方について考えてみましょう。

ただし、お財布の中にある硬貨は、硬貨の枚数が最も少ない状態とします。

以下のとき、いくら支払うと、お財布に残る硬貨の枚数が最も少なくなりますか。

427


(1)お財布の中に340円あり、160円の買い物をした。

(2)お財布の中に742円あり、286円の買い物をした。

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(1)財布の中は、

100円玉が3個、10円玉が4個、全部で7個の硬貨があるので、

100円×2+10円×1=210円 →3個の硬貨を支払うと、

210-160=50円玉が1個戻ってきて、

3-1=2個 硬貨が減り5個になります。

(2)財布の中は、

500円玉が1個、100円玉が2個、10円玉が4個、1円玉が2個、

全部で9個の硬貨があるので、

500円×1+10円×4+1円×1=541円 →6個の硬貨を支払うと、

541-286=255円 で、

100円玉が2個、50円玉と5円玉が1個ずつ、全部で4個戻ってきて、

6-4=2個 硬貨が減り7個になります。

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2017年2月15日 (水)

どの数字を打ちまちがえた?(2015年 東京学芸大学附属世田谷中学)

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2から9までの1けたの数を使って電卓でかけ算をしました。

2×3×6×8×9×7×5×2×5を計算しようと思っていましたが、

1つの数字を電卓で打ちまちがえてしまい、積が680400となりました。

どの数字を、2から9までのどの1けたの数字と打ちまちがえましたか。

Calculator168360_640

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2×2×5×5=100、

3×6×8×9×7=9072 なので、

9072が6804の何倍になったのか調べます。

9072/6804を約分していきますが、

すべての桁の和が9で割り切れるときは9の倍数なので、

分子分母を9で割って、1008/756、

さらに9で割って、112/84、

14で割って、8/6

4/3倍になっていることがわかります。

3、6、8、9、7のうち4/3で割って整数になるのは8だけなので、

8÷4/3=6

8を6と打ちまちがえました。

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2017年2月12日 (日)

同時に頭を出しているのは何秒?(2015年 清風南海中学)

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次のようなモグラたたきゲームがあります。

A,B,Cの3匹のモグラは,下のような動きをくり返します。

A:5秒間頭を出し,7秒間頭を引っ込める。

B:4秒間頭を出し,2秒間頭を引っ込める。

C:3秒間頭を出し,6秒間頭を引っ込める。

A,B,Cのモグラが同時に頭を出したところからゲームを始めます。

ゲームを始めてから7分間に

A,B,Cのモグラが同時に頭を出しているのは合計何秒ですか。
Game_moguratataki

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Aは頭を出す時間と引っ込めている時間のサイクルは、5+7=12秒

Bは、4+2=6秒

Cは、3+6=9秒 なので、

最小公倍数の36秒で最初に戻ることになります。

この36秒間にABCが同時に頭を出していた時間を調べます。

Aは、0-5、12-17、24-29

Bは、0-4、6-10、12-16、18-22、24-28、30-34

Cは、0-3、9-12、18-21、27-30

図のように、最初の3秒間と、27-28の1秒間、同時に頭を出しています。

7042

36秒間に3+1=4秒 なので、

7分は420秒ですから、36秒×11+24秒

したがって、同時に頭を出しているのは、

合計 4×11+3=47 秒間です。

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2017年2月10日 (金)

複雑な旅人算をグラフで解く!(筑波大学附属駒場中学 2008年)

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学校から公園までの道の途中に、A地点とB地点がこの順にあります。花子さんは、午前9時に徒歩で学校を出発し、公園に向かいました。途中、A地点で7分間、B地点で12分間休みました。太郎君は、午前9時20分に自転車で学校を出発し、途中休まずに公園に行き、そこで7分間休んだ後、学校に向けて公園を出発しました。この間、午前9時28分にA地点の手前のP地点で、太郎君は花子さんを追い抜きました。また、太郎君は公園を出発してから10分後にB地点を通過し、そのときちょうど花子さんがB地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。ただし、花子さんの歩く速さと太郎君の自転車の速さは、それぞれ一定であるものとします。

(1)太郎君の速さは花子さんの速さの何倍ですか。

(2)P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の何倍ですか。

(3)花子さんが公園に着いたのは午前何時何分ですか。

Ilm13_ac06005s Clpe030s

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こたえ

旅人算ですが、グラフがあるとわかりやすいですね。

(1)問題文の流れを大ざっぱにグラフにすると、下の図1のように描いてイメージすることができます。

Pic_2426a_2

図1で、学校からP地点まで、花子さんは28分、太郎君は8分で着いていることがわかります。

同じ距離を進むのに、花子さんは28分、太郎君は8分かかっているので、速さの比は、時間の比の逆で、

花子さんの速さ : 太郎君の速さ = 8 : 28 = 2 : 7

とわかるので、太郎君の速さは、花子さんの速さの

7÷2=3.5倍 ということがわかります。

(2)P地点とB地点、B地点と公園の間の距離について考えるとき、着目すべきところは、図1のグラフの中の、下の図2の部分です。

Pic_2427a

P地点で太郎君が花子さんを追い抜いてから、

B地点で太郎君と花子さんが出会うまでは、2人とも7分間休んでいるので、同じ時間かかっています(進んだ距離は違う)

ここで、(1)より、太郎君は花子さんの3.5倍進むことから、

下の図3のように理解することができます。

      Pic_2428a_2

花子さんがP地点からB地点まで進んだ距離(PB間の距離)を【 1 】 とすると、

太郎君は同じ時間に 【 3.5 】 進むので、

P地点 → 公園 → P地点 と往復すると、【 4.5 】 の

距離になることがわかります。片道 【 2.25 】です。

P地点からB地点までが 【 1 】 なので、B地点から公園までは【 1.25 】 になります。

よって、P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の

 1 ÷ 1.25 = 0.8 倍 です。

(3)太郎君は公園からB地点まで 【 1.25 】 進むのに10分かかるので、

P地点から公園まで 【 2.25 】 進むのに18分かかります(10分の9/5 倍)

よって、花子さんがP地点からB地点に着くまでに、

休む7分以外で

10+18=28分 かかることがわかります。

B地点から公園の間の距離は、P地点とB地点の距離の1.25倍

なので、花子さんは、

28×1.25=35分 かかることがわかります。

ゆえに、花子さんは、

学校からP地点まで 28分

P地点からB地点まで 28分 途中 7分休み

B地点から公園まで 35分 途中 12分休み

という時間をかけ、学校を9時に出発してから

28+28+35+7+12=110分後1時間50分後

の、 午前10時50分 に公園に着きます。

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2017年2月 8日 (水)

等積移動で解く面積比問題(早稲田大学高等学院中学部 2014年)

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下の図の四角形ABCDは面積が24c㎡の平行四辺形です。

辺AD上に点E,辺AB上に点F,辺CD上に点Gをとります。

さらに,3点H,F,Eと3点H,B,Cが

それぞれ一直線上に並ぶように点Hをとります。

AF=FB,AE=ED=BH,CG:GD=3:2のとき,

色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

1

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こたえ

図のように△FHBと△AFEは合同なので、等積移動します。

2

色部分を図のように2つの三角形に分けてみます。

3

△緑は等積移動すると△ABCと面積が等しく、平行四辺形の1/2なので、

24÷2=12c㎡

△黄は△AGDの1/2

△AGDは平行四辺形の1/2の2/5なので、

△黄=24×1/2×2/5×1/2=2.4c㎡

色部分の合計=12+2.4=14.4c㎡

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2017年2月 6日 (月)

円周率が3.14のときのおうぎ形の割合(灘中学 2007年)

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図のように正方形が2つあり、小さい正方形の中に円があります。

色部分の面積は何cm2ですか。

1_4

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解法例

円周率が3.14のとき、赤部分の面積を1とすると、

緑部分=0.57

黄部分=0.43 の割合になります。

2_2

問題の、中の小さい正方形の面積は、

8×8-3×5÷2×4=34cm2

その中の青い正方形の面積はその半分なので、

黄部分=34÷2×0.43=7.31cm2

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2017年2月 4日 (土)

場合の数を数える解法2例(神戸女学院中学 2012年)

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箱の中に1から7までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。

この箱の中からカードを1枚ずつ順に取り出し、

取り出したカードに書かれた数の和が3の倍数になったときに

終了することにします。

もし1枚目が3の倍数ならば、そこで終了です。

ただし、取り出したカードは元にもどさないものとします。

このとき次の問に答えなさい。

01 02 03 04 05 06 07

(1)2枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

(2)3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

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こたえ

(1)2枚の合計が3の倍数となるカードの組は

     合計が3 ・・・ (1,2)

     合計が6 ・・・ (1,5)、(2,4)

     合計が9 ・・・ (2,7)、(4,5)

     合計が12 ・・・ (5,7)

の6組あり、それぞれ取り出し方が2通りあるので、

カードの取り出し方は、6×2=12通り です。

 

 

 (2)3枚の合計が3の倍数となるカードの組は

合計が6 ・・・ (1,2,3)

合計が9 ・・・ (1,2,6)、(1,3,5)、(2,3,4)

合計が12 ・・・ (1,4,7)、(2,3,7)、(1,5,6)、(2,4,6)、

           (3,4,5)

合計が15 ・・・ (2,6,7)、(3,5,7)、(4,5,6)

合計が18 ・・・ (5,6,7)

以上13組あります。このうち、(1,4,7)以外の12組は

3または6の3の倍数が1枚含まれるので、このカードを1枚目に

取り出す方法は除かなければなりません。

また、残りの2枚の和が3の倍数となるので、この2枚を最初に

取り出してはいけません。つまり、3の倍数の数を最後に残しては

いけません。

 

(1,4,7)は、どのような順番でカードを取り出してもよく、

   3×2×1=6通り の取り出し方があります。

(1,4,7)以外の12組は、3つの数を○、□、×として、

3の倍数を×とすると、×を最初にも最後にも取り出しては

いけないので、×は必ず2番目に取り出し、取り出し方は

   ○→×→□ 、 □→×→○ の2通りです。

 

よって、3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は

   6+12×2=30通り

となります。

 

<別解>

 1~7 の数字を、【3で割った余り別】に分けると、

     あまり0 ・・・ 3,6

     あまり1 ・・・ 1,4,7

     あまり2 ・・・ 2,5

となります。

 

選んだ数のあまりの数の合計が3の倍数(0も含む)になると、

選んだ数の和は、3の倍数となります。

 

3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は、

(1枚目、2枚目、3枚目)=(あまり1、あまり1、あまり1)・・・①

                 (あまり2、あまり2、あまり2)・・・②

                 (あまり1、あまり0、あまり2)・・・③

                 (あまり2、あまり0、あまり1)・・・④

の順番に取り出せばよいことになります。

 

①(あまり1、あまり1、あまり1)のカードの取り出し方は、

  1,4,7 のカードの並べ方になり、6通り です。

②(あまり2、あまり2、あまり2)のカードの取り出し方は、

  あまり2 のカードが2枚しかないので、作れません。

③(あまり1、あまり0、あまり2)のカードの取り出し方は、

  あまり1 → 3通り、あまり0 → 2通り、あまり2 → 2通り

  の並べ方になり、3×2×2=12通り となります。

④(あまり2、あまり0、あまり1)のカードの取り出し方は、

  ③と同様に、2×2×3=12通り となります。

 

よって、3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は

  6+12+12=30通り

です。

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