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頂点Aの軌跡はどんなイメージになるか?(大阪女学院中学 2008年)

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半径6cmの円があり、

その中に1辺の長さが6cmの正三角形ABCがあります。

いま、下の図のように、

2つの頂点B,Cが円周上に重なるように置いてから、

正三角形を円の内部ですべることなく元の位置にもどるまで転がします。 

  Pic_1423q

このとき、頂点Aの動いた長さを求めなさい。

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AB、ACは半径に等しく、頂点Aは円の中心にあります。

正三角形の1つの角の角度が60度なので、

円(360度)の中を転がると、360÷6=6回転します。

 

正三角形が6回転するので、正六角形をイメージすればよく、

頂点Aの動く様子を図に示すと、下の図のようになり、

Pic_1424a

矢印のように、まずAからPへ移動し、PからAにもどります。

次にAからQへ移動し、最後にQから最初の位置にもどります。

 

Aの動いた長さ(図の太線)は、半径6cm、中心角60度の

おうぎ形の弧4個分の長さに等しく、

6×2×60/360 ×4=25.12cm と求められます。

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