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2017年3月

4人の順位は?(東京都市大学等々力中学 2014年)

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A君、B君、C君、D君の4人が50m走をし、

その結果について次のように述べています。

A君「僕は3位の人より2秒早くゴールした。」

B君「僕は秒速5mの速さで走った。」

C君「僕の記録は12.5秒だった。」 

D君「僕は4位の人の2倍の速さで走った。」

このとき、4人の順位はどうなっていましたか。

また、2位の人の速さは毎秒何mですか。

Hasiru

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B君のタイムは、50÷5=10秒なので、

順位はC君より上になります。

A君とD君の順位の可能性は下図のように12通りありますが、

825

A君は1位か2位で、D君は4位ではないので、この条件に合うのは、

3、5、6、11の4通りになりますが、

3と11はD君が12.5÷2=6.25秒なので、B君より遅いわけはなく、

5もA君が10-2=8秒なので、D君の6.25秒より速くないので、

6の、

D(6.25秒)、A(8秒)、B(10秒)、C(12.5秒)の順番になります。

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どちらに何m離れているか?(青山学院中等部 2013年)

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東西にのびた道にA,B,C,D,E の5つの地点があります。

A の東80mにBがあり、C の西40mにDがあります。

DとE は110m、C とBは130m離れていて、

BはE のとなりに、CはAとDの間にあります。

CとE のまん中の地点は、

Aから見てどちらの方角へ何mのところにありますか。

Apf0107s

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A の東80mにBがあり、C の西40mにDがあり、

CはAとDの間にあり、BとCが130m離れているので、

下の図1のようになります。

  Pic_3577a

次に、BはE のとなりで、DとEは110m離れているので、

下の図2のようになることがわかります。

  Pic_3578a

このことから、CとE のまん中の地点は、Aから西へ15m

地点ということがわかります。

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頂点Aの軌跡はどんなイメージになるか?(大阪女学院中学 2008年)

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半径6cmの円があり、

その中に1辺の長さが6cmの正三角形ABCがあります。

いま、下の図のように、

2つの頂点B,Cが円周上に重なるように置いてから、

正三角形を円の内部ですべることなく元の位置にもどるまで転がします。 

  Pic_1423q

このとき、頂点Aの動いた長さを求めなさい。

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AB、ACは半径に等しく、頂点Aは円の中心にあります。

正三角形の1つの角の角度が60度なので、

円(360度)の中を転がると、360÷6=6回転します。

 

正三角形が6回転するので、正六角形をイメージすればよく、

頂点Aの動く様子を図に示すと、下の図のようになり、

Pic_1424a

矢印のように、まずAからPへ移動し、PからAにもどります。

次にAからQへ移動し、最後にQから最初の位置にもどります。

 

Aの動いた長さ(図の太線)は、半径6cm、中心角60度の

おうぎ形の弧4個分の長さに等しく、

6×2×60/360 ×4=25.12cm と求められます。

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光の反射の特徴をと回数を考える(甲陽学院中 2004年)

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図1のように、正三角形ABCの頂点Aから出た光が、

まず辺BC上の点Dではねかえり、

以後正三角形の辺にぶつかるたびにはねかえり続けて、

正三角形の頂点に到達したときに止まるものとします。

ただし、光が辺にぶつかると図2の(あ)と(い)の角度が等しくるようにはねかえります。

(1) 点Dが辺BCを3等分する点のうちの頂点Bに近い方の点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

(2) 点Dが辺BCを4等分する点のうちの頂点Bに一番近い点であるとき、

何回はねかえって、どの頂点で止まりますか。

0801_0701

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(1)光はまっすぐ進むので、辺に鏡を置いたように、

正三角形を図のようにしきつめると、

DはBCを1:2で分ける点なので、

3段目の正三角形を横に5つ並べた底辺を、

1:2に分ける(正三角形1個と2個の間)B''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は3回、頂点はBです。

1_6

(2)同様に、DはBCを1:3で分ける点なので、

4段目の正三角形を横に7つ並べた底辺を、

1:3に分ける(正三角形1個と3個の間)C'''で止まります。

辺を横切った(反射した)回数は5回、頂点はCです。

2_2

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公園の旅人算 (2015年、麻布中学)

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公園内に図のようなコースがあります。

からは100m,からを通ってまでは200m,

からは100m,からは100mです。

Aさんは一定の速さで歩き,の位置から出発して,

コース上をあ→い→う→え→の順に進みます。

Bさんは自転車に乗って分速280mで走り,

の位置から出発してに進み,

に着いたあとはえ→う→い→え→う→い・・

池の周りを反時計回りに何度も周回します。

2人とも同時に出発したとして,次の間いに答えなさい。

ただし,答えは整数または分数で書きなさい。

 

1527

 

(1)Aさんの速さは分速70mであるとします。

①2人が最初に出会うのは出発してから何分後ですか。

②2人が最後に出会うのは出発してから何分後ですか。

(2)AさんとBさんがちょうど3回出会うとき,

Aさんの速さとして考えられるもののうち,最も速いのは分速何mですか。

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(1)

Aがに着く時間は、100÷70=10/7分→1と3/7分

Bがに着く時間は、300÷280=15/14分→1と1/14分

Bがに着いてもAはまだに着いていないので、Bはもう1周することになり、

2人の進むキョリの合計は、100+100+300+200=700m

出会うまでの時間を□分とすると、

70×□+280×□=700 で、

□=700÷(70+280)=2 より

2分後

Aがに着く時間は、300÷70=4と2/7分後

最初にBと会ってから、4と2/7-2=2と2/7=16/7分後 です。

最初に会ってから、次に会うまでに2人が進むキョリは池の周りの300m

その時間は、300÷(70+280)=6/7分

16/7分の間に2回会えることになり、

3回目まで、6/7×2=12/7分 なので、

出発してから、2+12/7=3と5/7分後になります。

(2)

BがAと3回会う最短距離は、池を2周してでAと会うときなので、

そのキョリは、100+300×2=700m

時間は、700÷280=5/2分

その時間でAはに着くことになるので、

その速さは、300÷5/2=120m/分

分速120mです。

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出題頻度の高い正6角形の分割問題(田園調布学園中等部 2009年)

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図のように正六角形ABCDEFの頂点を結んで2つの正三角形をつくったところ、斜線部分の面積が10c㎡でした。このとき次の問いに答えなさい。

(1)正三角形ACEの面積は何c㎡ですか。

(2)正六角形ABCDEFの面積は何c㎡ですか。

1

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こたえ

(1)図のように正六角形を分割すると、

斜線部分は小さな正三角形6個分、

△黄は9個分になるので、

10÷6×9=15c㎡

2

(2)△緑=△水色の正三角形 なので、

正六角形は小さな正三角形18個分です。

△黄(9個分)の2倍なので、

15×2=30c㎡

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重なり部分の面積を考える(麻布中学 2013年)

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半径が3cmの円の周上に点Aがあります。

点Aを中心として,

この円を30°回転させてできる円が図のようにあります。

斜線部の面積を求めなさい。

3

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こたえ

回転前の円の中心をO、回転後の円の中心をO’とします。

図のように線を引いてみると、

△緑は低角が(180-30)÷2=75゜の二等辺三角形です。

4

緑+黄は中心角75゜の扇形になるので、

斜線部分の面積はこの扇形4つから、

重なっている緑と水色の三角形を引けばよいことになります。

緑の三角形の高さは赤い線で、

30゜、60、゜90゜の三角形ですから3cmの半分の1.5cm

面積は3×1.5÷2=2.25c㎡

緑+水色=2.25×2=4.5c㎡

斜線部分=3×3×3.14×75/360×4-4.5

=19.05c㎡

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円周率が3.14のときのおうぎ形の割合(灘中学 2007年)

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図のように正方形が2つあり、小さい正方形の中に円があります。

色部分の面積は何cm2ですか。

1_4

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解法例

円周率が3.14のとき、赤部分の面積を1とすると、

緑部分=0.57

黄部分=0.43 の割合になります。

2_2

問題の、中の小さい正方形の面積は、

8×8-3×5÷2×4=34cm2

その中の青い正方形の面積はその半分なので、

黄部分=34÷2×0.43=7.31cm2

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食塩水Aの濃度は?(2016年 海城中学)

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10%の食塩水100gに、濃度がわからない食塩水Aを50g加えて、

さらに50gの水を加えたところ、食塩水の濃度は6%になりました。

加えた食塩水Aの濃度は何%ですか。

Scl007s

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50gの食塩水Aに50gの水を加え、□%の食塩水100gを加えたと考えます。

すると、図のように、重さは1:1なので、

てんびんの長さも1:1になり、

□=2% になります。

3051
水50gを加えて2%の食塩水になったと考えると、

重さは1:1なので、てんびんの長さも1:1になり、

△=4%

食塩水Aは4%の濃度です。

3052

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