約数の和はいくつ？（横浜共立学園中学 2012年）

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Ａ は０でない整数とし、＜Ａ＞はＡの約数の和を表すものとします。

たとえば、＜８＞＝１＋２＋４＋８＝１５ です。

（１）＜１６＞－＜２５＞を求めなさい。

（２）＜Ａ＞＝２４ となるＡ は全部で ３個あります。すべて答えなさい。

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（１）

＜１６＞＝１＋２＋４＋８＋１６＝３１

＜２５＞＝１＋５＋２５＝３１

よって、＜１６＞－＜２５＞＝０ です。

（２）

まず、２４以上の数になると、＜Ａ＞＝１＋Ａ 以上なので

＜Ａ＞＝２４ になりません。よって、２３までの数で考えます。

１＋Ａ＝２４ となる Ａ は、Ａ＝２３ で、２３は他に約数がないので

Ａ＝２３ が１つ決まります。

調べてみると、素数（１とその数しか約数がないもの）は、２３だけが成立します。

次に、Ａが素数の２より大きい２の倍数のものを考えると、

＜Ａ＞＝１＋２＋（Ａ÷２）＋Ａ＝２４

より、（Ａ÷２）＋Ａ＝２１ で、これが成り立つのは Ａ＝１４ です。

確かに、＜１４＞＝１＋２＋７＋１４＝２４ で成り立ちます。

次に、同じ方法でＡが３より大きい３の倍数のものを考えると、

＜Ａ＞＝１＋３＋（Ａ÷３）＋Ａ＝２４

より、（Ａ÷３）＋Ａ＝２０ で、これが成り立つのは Ａ＝１５ です。

確かに、＜１５＞＝１＋３＋５＋１５＝２４ で成り立ちます。

これで３つ見つかりました。

以上より、＜Ａ＞＝２４ となるのは、Ａ＝１４，１５，２３ です。

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