算数解法の極意！

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ＣとＤの面積の比は？（中央大学附属中学　２０１０年）

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長方形を下の図のように２本の直線で区切ったところ、

Ａの部分とＢの部分の面積の比が３：２となりました。

このとき、Ｃの部分とＤの部分の面積の比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

1_2

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図のように△Ａと△Ｂは底辺□が共通なので、

高さの比が３：２になります。

2_2

△緑と△黄が相似になるので、辺△：辺○＝３：２

したがって、△Ｂ：△Ｃの面積比は、（２×２）：（３×３）＝④：⑨

△Ａ：△Ｂ＝３：２＝？：④　より　△Ａ＝？＝⑥

△Ａ＋△Ｃ＝⑥＋⑨＝⑮が長方形の半分なので、

四角形Ｄは、⑮－④＝⑪

よって、Ｃ：Ｄ＝⑨：⑪

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約数の和はいくつ？（横浜共立学園中学　2012年）

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Ａは０でない整数とし、＜Ａ＞はＡの約数の和を表すものとします。

たとえば、＜８＞＝１＋２＋４＋８＝１５です。

（１）＜１６＞－＜２５＞を求めなさい。

（２）＜Ａ＞＝２４となるＡは全部で３個あります。すべて答えなさい。

Hpsd1201cs_2

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（１）

＜１６＞＝１＋２＋４＋８＋１６＝３１

＜２５＞＝１＋５＋２５＝３１

よって、＜１６＞－＜２５＞＝０です。

（２）

まず、２４以上の数になると、＜Ａ＞＝１＋Ａ以上なので

＜Ａ＞＝２４になりません。よって、２３までの数で考えます。

１＋Ａ＝２４となるＡは、Ａ＝２３で、２３は他に約数がないので

Ａ＝２３が１つ決まります。

調べてみると、素数（１とその数しか約数がないもの）は、２３だけが成立します。

次に、Ａが素数の２より大きい２の倍数のものを考えると、

＜Ａ＞＝１＋２＋（Ａ÷２）＋Ａ＝２４

より、（Ａ÷２）＋Ａ＝２１で、これが成り立つのはＡ＝１４です。

確かに、＜１４＞＝１＋２＋７＋１４＝２４で成り立ちます。

次に、同じ方法でＡが３より大きい３の倍数のものを考えると、

＜Ａ＞＝１＋３＋（Ａ÷３）＋Ａ＝２４

より、（Ａ÷３）＋Ａ＝２０で、これが成り立つのはＡ＝１５です。

確かに、＜１５＞＝１＋３＋５＋１５＝２４で成り立ちます。

これで３つ見つかりました。

以上より、＜Ａ＞＝２４となるのは、Ａ＝１４，１５，２３ です。

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１回転してできる図形の面積は？（久留米大学附設中学　２０１４年）

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図のような２つの正方形ではさまれた斜線部分を、

正方形の対角線の交点Oのまわりに１回転してできる図形の面積は何ｃ㎡ですか。

5271

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斜線の４つの直角三角形はすべて合同です。

したがって、白い正方形の面積は、

（６＋８）×（６＋８）－６×８÷２×４＝１００ｃ㎡

１辺の長さは１０ｃｍです。

求める面積は図の黄色部分なので、

5272

２×□×２×□÷２＝１９６　なので、

□×□＝９８　より、

９８×３．１４－５×５×３．１４

＝（９８－２５）×３．１４＝２２９．２２ｃ㎡

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ＣとＤの面積の比は？（中央大学附属中学　２０１０年）

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長方形を下の図のように２本の直線で区切ったところ、

Ａの部分とＢの部分の面積の比が３：２となりました。

このとき、Ｃの部分とＤの部分の面積の比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

1_2

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図のように△Ａと△Ｂは底辺□が共通なので、

高さの比が３：２になります。

2_2

△緑と△黄が相似になるので、辺△：辺○＝３：２

したがって、△Ｂ：△Ｃの面積比は、（２×２）：（３×３）＝④：⑨

△Ａ：△Ｂ＝３：２＝？：④　より　△Ａ＝？＝⑥

△Ａ＋△Ｃ＝⑥＋⑨＝⑮が長方形の半分なので、

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四角形Ｄは、⑮－④＝⑪

よって、Ｃ：Ｄ＝⑨：⑪

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２人の間の距離の変化は？（今年　２０１７年　学習院中等科）

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太郎と次郎はA町を同時に出発し、B町へ行きました。

太郎は自転車で、次郎は自動車で移動しました。

次郎は途中のC地点で自動車の通行止めがあったので、引き返して

D地点の駅で自動車を降り、9分間待って、

毎時112kmで走る電車に乗ってB町へ行きました。

そして2人は同時にB町に着きました。

下の図はA町を出発してからの時間と2人の間の距離の関係を表したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

ただし、自転車、自動車、電車の速さはどれも一定であるものとします。

(1) 太郎の自転車の速さは毎時何kmでしたか

(2) 次郎が電車でD地点の駅を出発するとき、

　　2人の間の距離は何kmでしたか？

(3) A町とB町の間の距離は何kmですか？

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（１）

自転車の速さを□ｋｍ/分

自動車の速さを△ｋｍ/分　とすると、

（１４－１０）×（□＋△）＝４　より、

□＋△＝１

１０×（△－□）＝４　より、

△－□＝２/５

したがって、□＝（１－２/５）÷２＝３/１０＝０，３ｋｍ/分

自転車の速さは、毎時　０．３×６０＝１８ｋｍ

（２）

自動車の速さは、△＝０．７ｋｍ/分＝４２ｋｍ/時

２人がすれ違って、D地点までは２分なので、

（１８＋４２）×１/３０時間＝２ｋｍ

９分間で自転車は、１８×３/２０時間＝２．７ｋｍ　進みます。

したがって、

次郎が電車に乗った時、２＋２．７＝４．７ｋｍ離れていました。

（３）

電車に乗っていた時間は、４．７÷（１１２－１８）＝０．０５時間＝３分

太郎がB町まで自転車に乗っていた時間は、

１６＋９＋３＝２８分

A～Bの距離は、１８×２８/６０＝８．４ｋｍ

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図形の回転移動（麻布中学、　２０１４年）

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Pic_3783q

図１のような、たて３ｃｍ、横４ｃｍ、対角線５ｃｍの長方形を１辺の長さ７ｃｍの正六角形に沿って、すべらないように転がします。図２の位置から矢印の方向に転がしていったところ、１周して元の位置にもどりました。このとき、点Ａの描いた曲線で囲まれた図形から正六角形を除いた部分の面積を求めなさい。

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こたえ

点Ａの動いた図を描くと、下の図３のようになります。

　 Pic_3784a

図３より、同じことが３回くり返されていることがわかります。

図３の青い扇形は、○＋△＝９０°で、正六角形の１つの

角＝１２０°より、中心角は、３６０－（９０＋１２０）＝１５０°

とわかります。

よって、求める面積は、（赤、青、黄の扇形、長方形）×３で、

　（　３×３×３．１４×９０/３６０＋４×４×３．１４×９０/３６０

　＋５×５×３．１４×１５０/３６０　＋　３×４）　× ３

＝｛（９/４＋４＋１２５/１２）×３．１４　＋１２｝×３

＝（２００/１２　×３．１４　＋１２）×３

＝１５７＋３６

＝１９３（ｃ㎡）

となります。

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