図形の回転移動（麻布中学、 ２０１４年）

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図１のような、たて３ｃｍ、横４ｃｍ、対角線５ｃｍの長方形を１辺の長さ ７ｃｍの正六角形に沿って、すべらないように転がします。図２の位置から矢印の方向に転がしていったところ、１周して元の位置にもどりました。このとき、点Ａ の描いた曲線で囲まれた図形から正六角形を除いた部分の面積を求めなさい。

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こたえ

点Ａ の動いた図を描くと、下の図３のようになります。

　

図３より、同じことが３回くり返されていることがわかります。

図３の青い扇形は、○＋△＝９０°で、正六角形の１つの

角＝１２０°より、中心角は、３６０－（９０＋１２０）＝１５０°

とわかります。

よって、求める面積は、（赤、青、黄の扇形、長方形）×３ で、

　（　３×３×３．１４×９０/３６０＋４×４×３．１４×９０/３６０

　＋５×５×３．１４×１５０/３６０　＋　３×４）　× ３

＝｛（ ９/４＋４＋１２５/１２ ）×３．１４　＋１２｝×３

＝（２００/１２　×３．１４　＋１２）×３

＝１５７＋３６

＝１９３（ｃ㎡）

となります。

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