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図形の回転移動(麻布中学、 2014年)

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Pic_3783q

図1のような、たて3cm、横4cm、対角線5cmの長方形を1辺の長さ 7cmの正六角形に沿って、すべらないように転がします。図2の位置から矢印の方向に転がしていったところ、1周して元の位置にもどりました。このとき、点A の描いた曲線で囲まれた図形から正六角形を除いた部分の面積を求めなさい。

1

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こたえ

点A の動いた図を描くと、下の図3のようになります。

 Pic_3784a

図3より、同じことが3回くり返されていることがわかります。

図3の青い扇形は、○+△=90°で、正六角形の1つの

角=120°より、中心角は、360-(90+120)=150°

とわかります。

 

よって、求める面積は、(赤、青、黄の扇形、長方形)×3 で、

 ( 3×3×3.14×90/360+4×4×3.14×90/360

 +5×5×3.14×150/360 + 3×4) × 3

={( 9/4+4+125/12 )×3.14 +12}×3

=(200/12 ×3.14 +12)×3

=157+36

193(c㎡)

となります。

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