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台形の組み合わせ問題(桐朋中学 2014年)

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Pic_3933q_2

上の図1のような台形の形をした2種類のタイルA,B が

それぞれ何枚かずつあります。

これらのタイルを 1cm の辺どうしをぴったりつなげて並べ、

最後のタイルの 1cm の辺が、

はじめに並べたタイルの 1cm の辺にぴったりとつながるようにします。

このように並べてできた図形について考えます。

たとえば、下の図2は、A を3枚並べた図形で、

下の図3は、A を2枚、B を2枚並べた図形です。

このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3934q

(1)A を2枚、B を6枚並べて図形を作ります。

  できた図形の内側の周で囲まれた部分の面積は、

  図3の図形の内側の周で囲まれた部分の面積の何倍ですか。

(2)A を4枚、B を2枚並べて図形を作ります。

  できた図形の外側の周の長さは何cmですか。

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 (1)A を2枚、B を6枚並べて作る図形は、下の図4のような長方形になります。

 Pic_3935a

台形B は正三角形5個でできているので、上底が2cmです。

よって、A を2枚、B を6枚並べて作ってできる図形の内側の長方形の横の長さは、

2+3+2=7cm で、図3の内側の長方形の横の長さが 2cm なので、

面積は  7÷2=3.5倍 になります。

 

(2)Bの方が枚数が少ないので、Bを基準としてAをつなげていくことを考えます。

下の図5のようにBにAを並べると、その先は下の図6のようになり、

     Pic_3936a

上手くつながりません。そこで、下の図7のようにつなげると、

 Pic_3937a

図7の太線は、平行になります。同じように、BにAをつなげると下の図8のようになり、

 Pic_3938a

図8を2つ合わせると、下の図9の図形ができます。

 Pic_3939a

この図9の図形が、 A を4枚、B を2枚並べてできる図形で、外側の周の長さは、

(3+2+3)×2=16cm  です。

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