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2017年5月

台形の組み合わせ問題(桐朋中学 2014年)

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Pic_3933q_2

上の図1のような台形の形をした2種類のタイルA,B が

それぞれ何枚かずつあります。

これらのタイルを 1cm の辺どうしをぴったりつなげて並べ、

最後のタイルの 1cm の辺が、

はじめに並べたタイルの 1cm の辺にぴったりとつながるようにします。

このように並べてできた図形について考えます。

たとえば、下の図2は、A を3枚並べた図形で、

下の図3は、A を2枚、B を2枚並べた図形です。

このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3934q

(1)A を2枚、B を6枚並べて図形を作ります。

  できた図形の内側の周で囲まれた部分の面積は、

  図3の図形の内側の周で囲まれた部分の面積の何倍ですか。

(2)A を4枚、B を2枚並べて図形を作ります。

  できた図形の外側の周の長さは何cmですか。

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 (1)A を2枚、B を6枚並べて作る図形は、下の図4のような長方形になります。

 Pic_3935a

台形B は正三角形5個でできているので、上底が2cmです。

よって、A を2枚、B を6枚並べて作ってできる図形の内側の長方形の横の長さは、

2+3+2=7cm で、図3の内側の長方形の横の長さが 2cm なので、

面積は  7÷2=3.5倍 になります。

 

(2)Bの方が枚数が少ないので、Bを基準としてAをつなげていくことを考えます。

下の図5のようにBにAを並べると、その先は下の図6のようになり、

     Pic_3936a

上手くつながりません。そこで、下の図7のようにつなげると、

 Pic_3937a

図7の太線は、平行になります。同じように、BにAをつなげると下の図8のようになり、

 Pic_3938a

図8を2つ合わせると、下の図9の図形ができます。

 Pic_3939a

この図9の図形が、 A を4枚、B を2枚並べてできる図形で、外側の周の長さは、

(3+2+3)×2=16cm  です。

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色のついた部分の面積合計は?(大阪星光学院中学 2012年)

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下の図のように、点Oを中心、ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

  Pic_3243q_2

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下の図1の三角形EOFに注目すると、

Pic_3244a

三角形EOF は正三角形に変形でき、

三角形COD と等しい面積ということがわかります。

よって、求める面積は、扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF と

扇形OGH から直角三角形OGH を除いた部分 の合計となり、

扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF  の合計の中心角は、

  60+(180-120)=120°

なので、求める面積は

 6×6×3.14×120/360  

     +(6×6×3.14×90/360-6×6÷2)

=(12+9)×3.14-18=21×3.14-18

47.94c㎡ です。

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パズルのような難問に挑戦!(筑波大学附属駒場中学 2004年)

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紙を使って底辺8cm、高さ9cmの二等辺三角形を作りました。

この二等辺三角形を、

1回切って、①:たて9cm、よこ4cmの長方形

2回切って、②:直角をはさむ辺が8cm、9cmの直角三角形

4回切って、③:1辺6cmの正方形

をそれぞれ作ろうと思います。

どのような構成になるか、①、②、③の図に書き込みなさい。

1

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Bandicam_20170522_085550920

Bandicam_20170522_085609873

Bandicam_20170522_085621419

Bandicam_20170522_085636664

Bandicam_20170522_085647066

Bandicam_20170522_085657038

Bandicam_20170522_085722666

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太郎君が持っていたお金は?(今年 2017年 慶應義塾中等部)

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はじめに太郎君と次郎君がそれぞれ持っていたお金は、

合わせて6000円でした。

太郎君は600円 の商品を買い、

次郎語は自分の持っていたお金の1/3を使ったところ、

2人の持っている金額が同じになりました。

太郎君がはじめに持っていたお金は何円ですか。

4271

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2201

図で表すと、6000円から600円を引いた金額は、

次郎君が使った1/3の金額5つ分になることがわかります。

その金額に相当するのは、

(6000-600)÷5=1080円

最初に太郎君が持っていた金額は、

1080×2+600=2760円

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十郎丸君はどこから蹴るかな?

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ラグビー選手の十郎丸君がトライをし、5点が入りました。

トライ後のコンバージョンキックでゴールが成功すれば、

さらに2点が入ります。

2本のゴールポストは青〇で、キックの位置は、

トライをした赤丸地点からゴールラインに垂直に引いた線上。

その線上のどこから蹴ってもいいのですが、

近づき過ぎるとゴールの角度が狭くなり、

あまり遠くても、入りにくくなりそうです。

さて、十郎丸君のベストなキック位置はどこでしょうか?

作図してみてください!

Bandicam_20170428_052129580
Bandicam_20170428_072017920

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図のように、2本のゴールポストを通り、

トライ地点からゴールラインに垂直な線と接する円を描いたときの

接点Pがベストポジションです。

Bandicam_20170428_053903360

∠AQBも∠ARBも、円周角∠APBより小さくなり、

ゴールポストの幅が狭くなってしまうので、

P地点が一番広く見えますね。

Bandicam_20170428_065645281

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表面積の比は?(今年 2017年 城北中学)

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図のような方眼に2つの図形ア、イをかき、

この2つの図形をABを軸にして回転させて2つの立体をつくったとき、

アを回転させた立体とイを回転させた立体の表面積の比は□:□です。

ただし、方眼の1めもりを1cmとします。

Bandicam201

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Bandicam_20170225_080403238

アの上面と下面は、

4×4×3.14なので、16×2×3.14=32×3.14

側面は、4×2×3.14×2=16×3.14

アの表面積の合計=48×3.14

イの上面と中段面を合わせて、

6×6×3.14

下面も同じなので、6×6×3.14×2=72×3.14

側面の上半分は、4×2×3.14×2=16×3.14

側面の下半分は、6×2×3.14×2=24×3.14

イの表面積の合計=112×3.14

ア:イ=48:112=3:7

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開いている?閉まっている?(今年、2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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三平方の定理、小学生バージョンの解き方(江戸川女子中 2009年)

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図のように、1辺17cmの正方形から同じ形の直角三角形を4つ切り取ってできる正方形の1辺の長さは何cmですか。

1

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こたえ

2

引き算で求めると・・・

大きい正方形が17×17=289c㎡

直角三角形4つで、12×5÷2×4=120c㎡

289-120=169c㎡

169=13×13

13cm

3

足し算で求めると・・・

真ん中の正方形が、(17-5×2)×(17-5×2)=49c㎡

直角三角形4つで、12×5÷2×4=120c㎡

49+120=169c㎡

169=13×13

13cm

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辺ACが通る部分の面積は?(2016年 学習院女子中等科)

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下の図のような直角三角形ABCを、

点Bを中心として時計の針と同じ向きに180°回転させます。

このとき、辺ACが通る部分の面積は何c㎡ですか?

円周率は3.14とします。

Bandicam_20160412_080240142

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辺ACが通る軌跡は図のようになります。

Gif412

水色部分を図のように等積移動します。

Gif4122

求める面積は、

5×5×3.14×1/2-3×3×3.14×1/2=

(5×5-3×3)×3.14×1/2=

8×3.14=

25.12c㎡

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