開いている？閉まっている？（今年、２０１７年 筑波大学附属駒場中学）

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扉のついたロッカーが２００個あり、

それぞれのロッカーに１から２００までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら２００個のロッカーに、次の１００回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

１回目 すべてのロッカーを開ける

２回目 番号が２の倍数であるすべてのロッカーを閉める

３回目 番号が３の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

４回目 番号が４の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

１００回目 番号が１００の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば２回目の操作の直後は、

番号が奇数である１００個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である１００個のロ ッカーは閉まっています。

１００回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

（１）番号が １から１０までの１０個のロ ッカーのうち、

　　　開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

（２）番号が９９、１００、１０１のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

　　　開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

（３）２００個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

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（１） １～１０までのロッカーは、

１１回目～１００回目の操作はには影響されないので、

１～１０回目までの操作（赤字）について調べます。

開いているロッカーは、１と４と９です。

（２）１００までの、それぞれの約数について調べます。

９９→１、３、９、１１、３３、９９ 　なので、６回

１００→１、２、４、５、１０、２０、２５、５０、１００ 　なので、９回

１０１→１　なので、１回

（３）１６回の操作まで調べていくと、

開いているロッカーは、

１、４、９、１６・・・と、平方数になっていることがわかります。

１００までに平方数は、

１、４、９、１６、２５、３６、４９、６４、８１、１００　と１０個あります。

操作は１００回で終わってしまうので、

１０１～２００の場合は、自分自身の操作回数がないので、

１回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

１０１～２００までの平方数は、１２１、１４４、１６９、１９６の４つなので、

１００－４＝９６個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、１０＋９６＝１０６個です。

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