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直角三角形が増える規則性は?(筑波大学附属駒場中学 2005年)

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直角三角形を次のような操作で、いくつかの直角三角形に分割していきます。

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ア:直角三角形の1つの辺を選び、そのまん中に印をつける。

イ:つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。

ウ:つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。

ただし、選んだ辺が2つの直角三角形の辺になっているときは

その2つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。

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上の操作を1回と数え、下の図の三角形ABCを分割してできた直角三角形に

この操作を何回もくり返していきます。

たとえば、1回目の操作を行うと、図1、図2のように、

4個、3個の直角三角形に分割されます。

また、図1に対して2回目の操作を行うと、

たとえば、図3、図4のように8個、10個の直角三角形に分割されます。

さらに3回目の操作を行うと、

たとえば図5、図6のように10個、13個の直角三角形に分割されます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2746q

(1)操作を3回行ったとき、直角三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつありました。

直角三角形ABCは何個の直角三角形に分割されますか。

考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)操作を10回行ったとき、直角三角形ABCの辺上にある印は 1個だけでした。

直角三角形ABCは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。

(3)操作を50回行ったとき、辺AC上にある印は10個でした。

直角三角形ABCは、最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割 されますか。

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(1)操作を3回行って、三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつあるので、

1個目の印を辺AB,BC,AC のどこにつけるかで、図1、図2のように形が変わります。

まず、図1のように、辺AC上に印をつけると、4個の直角三角形に分割されるので、

残りの辺AB,BC上に1つずつ印をつけるので、

下の図7のように、4個の候補ができます。

Pic_2751a

辺AB上の2個から1つ、辺BC上の2個から1つ、それぞれ選び操作を行うと、

図7では直角三角形の個数は、8個となります。

次に、最初に辺AB、またはBC上に印をつけるときは、下の図8のように、

7個に分割されます。

Pic_2752a

よって、考えられる個数は、8個、7個です。

 

(2)操作を10回行い、直角三角形ABCの辺上に印が1個だけなので、

最初の1回目以外は、直角三角形ABC の内部の辺に印をつけたことになります。

まず、多くの直角三角形に分割する方法について考えます。

1回目の操作では、図1、図2のように、4個、3個に分割できるので、

多くの直角三角形に分割するには、図1になるように、

斜辺(直角を含まない辺)に印をつけます。

図1のあと、2回目の操作では、図3または図4になり、図4の方が多くなります。

その後の3回目の操作では、下の図9、図10のようになります。

Pic_2753a

ここで、図9の場合が最も多くの直角三角形に分割でき、

図4や図9の青い部分を作るように分割していくことを続ければ、

最も多くの直角三角形に分割することができることがわかります。

この方法を用いれば、

 1回目の操作 1個 → 4個   (図1)

 2回目の操作 4個 → 10個  (図4)

 3回目の操作 10個 → 16個 (図9)

のように、2回目以降は、ずっと 6個ずつ直角三角形が増えていくので、

最も多くて、4+6×9=58個 に分割することができることがわかります。

 

では、最も少ない場合は、どのようにすればよいでしょうか。

図10の赤い三角形に注目すると、印E によって3個に分割されています。

これは、図3→図5のところでも登場しているパターンの増え方です。

2個しか増えません。

1回目の操作で斜辺に印をつけると、

図10の赤い直角三角形が現れるのは2回目の操作を行った図3の後で、

3回目の操作を行うと図5のようになり、以降は2個ずつ増えていくだけとなります。

よって、この後、図2について検証しますが、

2回目の操作で図3の8個より少なくなるかどうかを調べればよいことになります。

下の図のように、図2の場合は図11、図12のようになります。

ここで、図11、図12の黄色い直角三角形は、図10の赤い直角三角形と同じように、

次の操作では青い点を印として、図13のように、3個に分割されるだけとなります。

Pic_2754a_2

図11と図12では、図11が7個、図12は9個の直角三角形に分割されるので、

図11の方が少ないことがわかります。

また、図3の8個よりも少ないことがわかります。

よって、分割の仕方としては、図11→図13の方法を用いれば、

分割される直角三角形の個数は最も少なくなり、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増える

ということになり、 最も少ない数に分割すると、

7+2×8=23個 の直角三角形になることがわかります。

 

(3)まず、最も多い場合について考えます。

これは、(2)の図1→図4→図9 のように増やしていけばよいですね。

ここで問題が、辺AC上に10個の印があることです。

図1以外の残りの9個の印をAC上に作らなければなりません。

これは、図4→図6のようになります。

すなわち、

 1個 → 4個 になるのが10回、残りの40回は、6個ずつ増えていく

ということになります。

よって、最も多くなると、

1個 → 4個 → 7個 → ・・・ → 31個 → 6個ずつ増

1+3×10+6×40=271個 の直角三角形に分割されます。

 

次に、最も少ない場合です。

(2)のときは、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増えると考えましたが、

今回は辺AC上に10個の印があるので、

下の図14→図15のように、図11をはさまずに、2個増えるパターンにすることができます。

Pic_2755a

よって、最も少ない場合は、

 1個 → 3個 → 5個 → ・・・ → ずっと2個ずつ増える

という場合になります。

(辺AC上に印をつける場合も、図2→図8のように2個増えさせる)

このとき、直角三角形の個数は、1+2×50=101個 です。

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