直角三角形が増える規則性は？（筑波大学附属駒場中学 2005年）

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直角三角形を次のような操作で、いくつかの直角三角形に分割していきます。

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ア：直角三角形の１つの辺を選び、そのまん中に印をつける。

イ：つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。

ウ：つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。

ただし、選んだ辺が２つの直角三角形の辺になっているときは

その２つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。

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上の操作を１回と数え、下の図の三角形ＡＢＣを分割してできた直角三角形に、

この操作を何回もくり返していきます。

たとえば、１回目の操作を行うと、図１、図２のように、

４個、３個の直角三角形に分割されます。

また、図１に対して２回目の操作を行うと、

たとえば、図３、図４のように８個、１０個の直角三角形に分割されます。

さらに３回目の操作を行うと、

たとえば図５、図６のように１０個、１３個の直角三角形に分割されます。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）操作を３回行ったとき、直角三角形ＡＢＣのそれぞれの辺に印が１つずつありました。

直角三角形ＡＢＣは何個の直角三角形に分割されますか。

考えられる個数をすべて答えなさい。

（２）操作を１０回行ったとき、直角三角形ＡＢＣの辺上にある印は １個だけでした。

直角三角形ＡＢＣは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。

（３）操作を５０回行ったとき、辺ＡＣ上にある印は１０個でした。

直角三角形ＡＢＣは、最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割 されますか。

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（１）操作を３回行って、三角形ＡＢＣのそれぞれの辺に印が１つずつあるので、

１個目の印を辺ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ のどこにつけるかで、図１、図２のように形が変わります。

まず、図１のように、辺ＡＣ上に印をつけると、４個の直角三角形に分割されるので、

残りの辺ＡＢ，ＢＣ上に１つずつ印をつけるので、

下の図７のように、４個の候補ができます。

辺ＡＢ上の２個から１つ、辺ＢＣ上の２個から１つ、それぞれ選び操作を行うと、

図７では直角三角形の個数は、８個となります。

次に、最初に辺ＡＢ、またはＢＣ上に印をつけるときは、下の図８のように、

７個に分割されます。

よって、考えられる個数は、８個、７個です。

（２）操作を１０回行い、直角三角形ＡＢＣの辺上に印が１個だけなので、

最初の１回目以外は、直角三角形ＡＢＣ の内部の辺に印をつけたことになります。

まず、多くの直角三角形に分割する方法について考えます。

１回目の操作では、図１、図２のように、４個、３個に分割できるので、

多くの直角三角形に分割するには、図１になるように、

斜辺（直角を含まない辺）に印をつけます。

図１のあと、２回目の操作では、図３または図４になり、図４の方が多くなります。

その後の３回目の操作では、下の図９、図１０のようになります。

ここで、図９の場合が最も多くの直角三角形に分割でき、

図４や図９の青い部分を作るように分割していくことを続ければ、

最も多くの直角三角形に分割することができることがわかります。

この方法を用いれば、

　１回目の操作　１個　→　４個　　　（図１）

　２回目の操作　４個　→　１０個　　（図４）

　３回目の操作　１０個　→　１６個　（図９）

のように、２回目以降は、ずっと ６個ずつ直角三角形が増えていくので、

最も多くて、４＋６×９＝５８個 に分割することができることがわかります。

では、最も少ない場合は、どのようにすればよいでしょうか。

図１０の赤い三角形に注目すると、印Ｅ によって３個に分割されています。

これは、図３→図５のところでも登場しているパターンの増え方です。

２個しか増えません。

１回目の操作で斜辺に印をつけると、

図１０の赤い直角三角形が現れるのは２回目の操作を行った図３の後で、

３回目の操作を行うと図５のようになり、以降は２個ずつ増えていくだけとなります。

よって、この後、図２について検証しますが、

２回目の操作で図３の８個より少なくなるかどうかを調べればよいことになります。

下の図のように、図２の場合は図１１、図１２のようになります。

ここで、図１１、図１２の黄色い直角三角形は、図１０の赤い直角三角形と同じように、

次の操作では青い点を印として、図１３のように、３個に分割されるだけとなります。

図１１と図１２では、図１１が７個、図１２は９個の直角三角形に分割されるので、

図１１の方が少ないことがわかります。

また、図３の８個よりも少ないことがわかります。

よって、分割の仕方としては、図１１→図１３の方法を用いれば、

分割される直角三角形の個数は最も少なくなり、

　 １回目の操作　１個　→　３個

　 ２回目の操作　３個　→　７個　

　 ３回目の操作以降は、２個ずつ増える

ということになり、 最も少ない数に分割すると、

７＋２×８＝２３個 の直角三角形になることがわかります。

（３）まず、最も多い場合について考えます。

これは、（２）の図１→図４→図９ のように増やしていけばよいですね。

ここで問題が、辺ＡＣ上に１０個の印があることです。

図１以外の残りの９個の印をＡＣ上に作らなければなりません。

これは、図４→図６のようになります。

すなわち、

　１個　→　４個 になるのが１０回、残りの４０回は、６個ずつ増えていく

ということになります。

よって、最も多くなると、

１個　→　４個　→　７個　→　・・・　→　３１個　→　６個ずつ増

１＋３×１０＋６×４０＝２７１個 の直角三角形に分割されます。

次に、最も少ない場合です。

（２）のときは、

　 １回目の操作　１個　→　３個

　 ２回目の操作　３個　→　７個　

　 ３回目の操作以降は、２個ずつ増えると考えましたが、

今回は辺ＡＣ上に１０個の印があるので、

下の図１４→図１５のように、図１１をはさまずに、２個増えるパターンにすることができます。

よって、最も少ない場合は、

　１個　→　３個　→　５個　→　・・・　→　ずっと２個ずつ増える

という場合になります。

（辺ＡＣ上に印をつける場合も、図２→図８のように２個増えさせる）

このとき、直角三角形の個数は、１＋２×５０＝１０１個 です。

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