この問題、全部解答できる小学生いますか？（東大寺学園中学 2014年）

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

超激ムズレベル

下の図のような ＡＢ＝２ｃｍ、ＡＤ＝３ｃｍ、ＡＥ＝４ｃｍ の直方体ＡＢＣＥ－ＥＦＧＨ があります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　

（１）点Ｑ が ＣＨ上を自由に動くとき、ＡＱ を ＡＲ：ＲＱ＝２：１に 分ける点 Ｒ が動くことのできる部分の長さは、ＣＨの長さの何倍ですか。

（２）点Ｐ は ＡＦ上を自由に動き、点Ｑは点Ｐ の動きとは無関係にＣＨ上を自由に動きます。ＰＱを ＰＲ：ＲＱ＝２：１に分ける点をＲ とするとき、点 Ｒ が動くことのできる範囲は、どのような図形になりますか。最も適切な名称で答えなさい。また、その図形の面積を求めなさい。

（３）

（ア）三角すいＡＣＦＨ の体積を求めなさい。 ただし、三角すいの体積は、底面積×高さ÷３ で求めることができます。

（イ）三角すいＡＣＦＨ と三角すいＢＤＥＧ の共通部分（どちらの三角すいにも含まれている部分）の体積を求めなさい。

（４）（２）で求めた図形のうち、（３）の（イ）の立体に含まれている部分の面積を求めなさい。

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

こたえ

　（１）下の図１のように、三角形ＡＣＨで考えると、点Ｒ の

動く範囲は、図の矢印の部分となります。

　　　　　

点Ｒ が、点Ａ と ＣＨ上の点Ｑ を結ぶ線を常に ２ ： １ に

分けるので、図１の矢印（点Ｒ の動く線）と ＣＨ は平行に

なります。（三角形Ａ-ＣＨ と 三角形Ａ-矢印 の相似により）

よって、点Ｒ の動く長さは、ＣＨ の ２/３倍 です。

　（２）（１）では、点Ｐ が点Ａ にいるときを考えたことになります。

点Ｐ が点Ｆ にいて、点Ｑが自由に動くときは、下の図２のように

三角形ＦＣＨ を考えると、

　　　　　

ＦＣ を ２：１ に分ける点Ｓ と ＦＨ を ２：１ に分ける点Ｔ を

結んだ線上を点Ｒ は通ります。

次に、点Ｑを点Ｈに固定して、点Ｐ をＡＦ上を自由に動かすと、

点Ｒ は下の図３のように、三角形ＡＦＨの

　　　　　

ＡＨ を ２：１に分ける点Ｕ と、ＦＨ を ２：１ に分ける点Ｔ を

結んだ線上を通ります。

次に、点Ｑを点Ｃに固定して、点Ｐ をＡＦ上を自由に動かすと、

点Ｒ は下の図４のように、三角形ＡＦＣ の

　　　　　

ＡＣ を ２：１に分ける点Ｖ と、ＣＦ を ２：１ に分ける点Ｓ を

結んだ線上を通ります。

また、（１）の場合は、下の図５のように、点Ｕ，点Ｖ を結んだ

線上を点Ｒ は動きます。

　　　　　

点Ｒ の動く範囲は、図２～図５を合わせた

下の図６の四角形ＳＴＵＶ の内部となり、

　　　　　

ＳＴ＝ＵＶ，ＳＶ＝ＵＴ で、向き合う辺が平行なので、

四角形ＳＴＵＶ は平行四辺形です。

次に、ＳＴ，ＵＶ は ＣＨ に平行で、ＳＶ，ＵＴ は ＡＦ に平行なので

平行四辺形ＳＴＵＶ は 面ＡＢＦＥ と平行な面上にあります。

下の図７のように、直方体を平行四辺形ＳＴＵＶ を含む面で

切ると、面ＡＢＦＥ と平行な面ＷＸＹＺ で切ることができます。

　　　　　

三角形ＢＣＦ と三角形ＸＣＳ が相似で、ＦＣ ： ＳＣ ＝ ３：１ なので、

ＸＳ の長さは、ＢＦ の長さの １/３ で、４/３ｃｍ とわかります。

同様に、ＵＺ＝４/３ｃｍ、ＶＸ＝ＴＺ＝２/３ｃｍ です。

下の図８のように長さがわかるので、

　

平行四辺形ＳＴＵＶ の面積は、

　 ２×４－（ ４/３ × ８/３ ÷２ ×２　＋ ４/３ × ２/３ ÷２ ×２ ）

＝ ８ －  ４０/９

＝ ３２/９ ＝ ３と５/９ （ｃ㎡）

と求められます。

　（３）（ア）三角すいＡＣＦＨ の体積は、直方体から、

４つの三角すい、ＡＢＣＦ、ＡＣＤＨ、ＡＥＦＨ、ＣＦＧＨ を除けばよく、

三角すいＡＢＣＦ と三角すいＣＦＧＨ が同じ形で、

三角すいＡＣＤＨ と三角すいＡＥＦＨ が同じ形なので、

三角すいＡＣＦＨ の体積は、

　 ２×３×４－（２×３÷２×４÷３×２＋３×４÷２×２÷３×２）

＝２４－１６＝８立方ｃｍ

と求められます。

　（３）（イ）三角すいＡＣＦＨ が三角すいＢＤＥＧ の面によって

切り取られる部分について考えます。（残った部分が共通部分）

下の図９のように、面ＤＥＧ によって、三角すいＨ－ＩＪＫ が

切り取られます。（ Ｉ はＤＥ とＡＨ、ＪはＦＨとＥＧ、ＫはＣＨとＤＧ

のそれぞれの交点で、それぞれのまん中の点です）

　　　　　

三角すいＨ－ＩＪＫは、三角すいＨ－ＡＣＦ と相似で、

相似比が １ ： ２ なので、体積比は、

　　　１×１×１ ： ２×２×２ ＝ １ ： ８

です。（ア）より、三角すいＨ－ＡＣＦ の体積は ８立方ｃｍなので、

三角すい Ｈ－ＩＪＫ の体積は、１立方ｃｍです。

次に、下の図１０のように面ＢＤＥ によって、三角すいＡ－ＩＬＭ が

切り取られます。（ ＬはＢＥ とＡＦ、ＭはＢＤ とＡＣ のそれぞれの

交点で、それぞれのまん中の点です）

　　　　　

三角すいＡ－ＩＬＭは、三角すいＡ－ＨＤＣ と相似で、

図９と同様に相似比が １ ： ２ なので、体積比は、

　　　１×１×１ ： ２×２×２ ＝ １ ： ８

です。（ア）より、三角すいＡ－ＨＤＣ の体積は ８立方ｃｍなので、

三角すい Ａ－ＩＬＭ の体積は、１立方ｃｍです。

次に、下の図１１のように面ＢＤＧ によって、三角すいＣ－ＫＭＮ

が切り取られます。（ ＮはＢＧ とＣＦ の交点で、それぞれの

まん中の点です）

　　　　　

図９、図１０と同様に、三角すいＣ－ＫＭＮの体積は １立方ｃｍです。

さらに、下の図１２のように面ＢＥＧ によって、三角すいＦ－ＪＬＮ

が切り取られます。

　　　　　

三角すいＦ－ＪＬＮ も同様に、体積は１立方ｃｍです。

切り取られる部分は、図９～図１２の４つの三角すいで、

共通部分の体積は、８－１×４＝４立方ｃｍ と求められます。

　（４）図６、図７より、下の図１３のように、三角すいＡＣＦＨ と

面ＷＸＹＺ の交わりが、平行四辺形ＳＴＵＶ となります。

　　　　　

次に、三角すいＢＤＥＧ と面ＷＸＹＺ の交わりは、

下の図１４の平行四辺形Ｓ’Ｔ’Ｕ’Ｖ’になります。

　　　　　

図１３、図１４を合わせた部分が（３）（イ）に含まれる部分で、

下の図１５の青い部分となります。

　

平行四辺形ＳＴＵＶは、Ｓ’Ｖ’、ＷＹ，Ｔ’Ｕ’により ４等分される

ので、求める面積は、平行四辺形ＳＴＵＶ の面積の半分で、

（２）より、

　　 ３２/９ ÷ ２ ＝ １６/９ ＝ １と７/９（ｃ㎡）

となります。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

↓こちらファミリーページにもどうぞ！

問題＋解法のセット集→「算数解き方ポータル」

どう解く？中学受験算数

パズルのような算数クイズ

算数オリンピック問題に挑戦！

全国１７０中学校の入試問題と解法

これが中学入試に出た図形問題！

公式、法則、受験算数の極意

中学受験算数分野別６８項目へ

中学受験の算数を解く

大人だって解ける、受験算数

算数、解法のリンク集

図で解く算数

大人の脳勝算数 

難問、奇問、名作にチャレンジ！

フォト＆ムービーで見る、不思議な世界 

にほんブログ村

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）

中学受験算数解法１０００→「イメージでわかる中学受験算数」