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計算の正確さが求められる問題(灘中学 2014年)

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下の図のように、

長方形の板から大小2つの直角二等辺三角形の部分を

切り取った板片があります。

ただし、板の厚さは考えないものとします。

この板片を直線【ア】の周りに1回転させたとき、

板片が通過する部分の体積を求めなさい。

Pic_3851q

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こたえ

元の板の状態で直線【ア】の周りに1回転させたときの体積は

    8×8×3.14×4=256×3.14(

です。ここから、直角二等辺三角形を1回転させたものを除いて

いきます。

 

まず、下の図1の青い部分を回転させた体積を求めます。

 Pic_3852a

求め方は、

    三角形ABC を回転させた円すい 

 + 三角形ADE を回転させた円すい

 - 三角形BDF を回転させた円すい

となり、

    7×7×3.14×7÷3 + 1×1×3.14×1÷3 

 - 4×4×3.14×8÷3

=  (343+1-128)×3.14÷3

=  72×3.14(

です。

 

次に、下の図2の赤い部分を回転させた体積を求めます。

 Pic_3853a

求め方は、

    長方形PQRS を回転させた円柱

 + 三角形QTU を回転させた円すい

 - 三角形PST を回転させた円すい

となり、

    8×8×3.14×3 + 5×5×3.14×5÷3 

 - 8×8×3.14×8÷3

= (192 +125/3 - 512/3 ) × 3.14

= 63×3.14(

です。

 

よって、求める体積は、

    256×3.14-(72×3.14+63×3.14)

 = 121×3.14

 = 379.94(㎤)

となります。

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