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2017年6月

いくつを表していますか?(今年 2017年 山手学院中学)

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次の図は、その右側の整数を表すこととします。

このとき、次の各問いに答えなさい。

4221

(1)次の図は、いくつを表していますか?

4222

(2)21を表す図を描いてください。

4223

(3)次の図が表す2つの数の和を表す図を描いてください。

4224

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3つごとに位が上がる3進法を表しているので、

4227

緑は3、

黄は3×3=9、

赤は3×3×3=27を表します。

(1)27+3+2=32

(2)9×2+3=21

4226

(3)31+11=42 なので、

4225

27+9+6=42

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Bのおうぎ形の面積は?(早稲田中学 2008年)

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図は2つのおうぎ形を組み合わせたものです。

Aのおうぎ形は半径が1cmで,面積が2c㎡です。

Bのおうぎ形は半径が10cmです。

Bのおうぎ形の面積は何c㎡ですか。

ただし,円周率は3.14とします。

1

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こたえ

Aの半径を10倍するとBの半径になります。

すると面積は10×10倍になり、

2×100=200c㎡になります。・・・黄色部分

2

円全体は10×10×3.14=314c㎡なので、

B=314-200=114c㎡

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コインを多く持っているのはどちら?(麻布中学 2013年)

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コインがたくさんあり、そこからA君とB君の2人が交互にコインを取っていきます。

1回目はA君が1枚、2回目はB君が3枚、3回目はA君が5枚、

4回目はB君が7枚、5回目はA君が9枚、・・・・・・というように、

2人は自分が前に取った枚数より4枚多くコインを取ります。

何回か取った後、2人の持っているコインの枚数を比べたところ、差が31枚でした。

コインを多く持っているのはどちらですか。

また、その人が最後に取ったコインは何枚ですか。

Ilm06_cb02020sIlm06_cb02020sIlm06_cb02020s

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    ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

A君  1      5       9     13

B君    3       7      11  

①回目→Aが1枚多い

②回目→Bが2枚多い

③回目→Aが3枚多い

④回目→Bが4枚多い

⑤回目→Aが5枚多い

⑥回目→Bが6枚多い

⑦回目→Aが7枚多い

Aが奇数枚多くなり、Bは偶数枚多くなるので、

31枚多くなるのは、31回目で、A君になります。

コインを取る数は、何回目×2-1 で求められるので、

31回目では、31×2-1=61枚 です。

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不正確な巻尺、正確なキョリは?(高槻中学 2012年)

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全長50mと表示された巻尺A とB があります。

しかし、A,B両方ともに等間隔に目盛りはついていますが不良品で、

正確には 50mではありません。

いま、ある2点間のキョリを、巻尺A で計測すると 3332m となり、

巻尺B で計測すると3340m となりました。

巻尺A,Bの長さの差は、正しい物差しで測ると12cm だったとき、

次の問に答えなさい。

(1)長い方の巻尺の長さは正確には何mですか。

(2)2点間のキョリは正確には何mですか。

Measure289399_640

解法が表示されない場合は、
PC表示に切り替えてご覧ください!

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(1)巻尺A の【3332】m と巻尺B の[ 3340] m が等しいので、

巻尺B の[ 50] m と 巻尺A の

【3332 × 50/3340】=【8330/167】=【49と147/167】m

が等しいことになります。

この巻尺B の[ 50] m は、巻尺A の【50】m まで、【20/167】m足りないので、

巻尺A の方が長く、これが実際の12cm に等しいとわかります。

あとは比で、

20/167 : 0.12 = 50 : □

より、

□=12/100 × 50 ÷ 20/167=50.1 となり、

長い方の巻尺A の長さは、50.1m です。

(2)実際の50.1m が50m なので、実際の2点間のキョリを□とすると、

50.1 : 50 = □ : 3332  より、

□=3332×50.1÷50=3338,664m

と求められます。

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何回操作をしたか?(今年、2016年 慶應義塾中等部)

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図のような縦3行・横3列の正方形のマスに数字が書かれています。

この中から縦2行・横2列の正方形のマスを選び、

その中のすべての数字を1ずつ増やす操作をA、

縦1行・横3列の長方形のマスを選び、

その中のすべての数字を1ずつ減らす操作をBとします。

すべてのマスには、最初は0が書かれています。

(1)操作Aだけを何回行うと、マスの数字は図1のようになりますか。

(2)操作Aを何回、操作Bを何回行うと、マスの数字は図2のようになりますか。

2071

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(1)操作Aだけなら、いつも真ん中のマスは加算されるので、

19回です。

(2)操作Aだけの場合、図の赤枠の左右の和が真ん中の数になりますが、

操作Bが何回か行われた結果、等しくならなくなったので、

(左+1)+(右+1)=(真ん中+1) となるように、1を加えてみます。

2072

(12+1)+(11+1)=(24+1)=25 より、

操作Aは25回です。

操作Aを25回行った結果、赤枠の行の左は13なので、

青列の上下が5+1=6より、

一番上の行と一番下の行で、

13-6=7回 操作Bが行われたことがわかります。

したがって、操作Bは 1+7=8回 です。

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この問題、全部解答できる小学生いますか?(東大寺学園中学 2014年)

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超激ムズレベル

下の図のような AB=2cm、AD=3cm、AE=4cm の直方体ABCE-EFGH があります。このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3831q

(1)点Q が CH上を自由に動くとき、AQ を AR:RQ=2:1に 分ける点 R が動くことのできる部分の長さは、CHの長さの何倍ですか。

 

(2)点P は AF上を自由に動き、点Qは点P の動きとは無関係にCH上を自由に動きます。PQを PR:RQ=2:1に分ける点をR とするとき、点 R が動くことのできる範囲は、どのような図形になりますか。最も適切な名称で答えなさい。また、その図形の面積を求めなさい。

 

(3)

(ア)三角すいACFH の体積を求めなさい。 ただし、三角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求めることができます。

(イ)三角すいACFH と三角すいBDEG の共通部分(どちらの三角すいにも含まれている部分)の体積を求めなさい。

(4)(2)で求めた図形のうち、(3)の(イ)の立体に含まれている部分の面積を求めなさい。

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こたえ

 (1)下の図1のように、三角形ACHで考えると、点R の

動く範囲は、図の矢印の部分となります。

     Pic_3832a

点R が、点A と CH上の点Q を結ぶ線を常に 2 : 1 に

分けるので、図1の矢印(点R の動く線)と CH は平行に

なります。(三角形A-CH と 三角形A-矢印 の相似により)

 

よって、点R の動く長さは、CH の 2/3倍 です。

 

 

 (2)(1)では、点P が点A にいるときを考えたことになります。

点P が点F にいて、点Qが自由に動くときは、下の図2のように

三角形FCH を考えると、

     Pic_3833a

FC を 2:1 に分ける点S と FH を 2:1 に分ける点T を

結んだ線上を点R は通ります。

 

次に、点Qを点Hに固定して、点P をAF上を自由に動かすと、

点R は下の図3のように、三角形AFHの

     Pic_3834a

AH を 2:1に分ける点U と、FH を 2:1 に分ける点T を

結んだ線上を通ります。

 

次に、点Qを点Cに固定して、点P をAF上を自由に動かすと、

点R は下の図4のように、三角形AFC の

     Pic_3835a

AC を 2:1に分ける点V と、CF を 2:1 に分ける点S を

結んだ線上を通ります。

 

また、(1)の場合は、下の図5のように、点U,点V を結んだ

線上を点R は動きます。

     Pic_3836a_2

点R の動く範囲は、図2~図5を合わせた

下の図6の四角形STUV の内部となり、

     Pic_3837a

ST=UV,SV=UT で、向き合う辺が平行なので、

四角形STUV は平行四辺形です。

 

次に、ST,UV は CH に平行で、SV,UT は AF に平行なので

平行四辺形STUV は 面ABFE と平行な面上にあります。

 

下の図7のように、直方体を平行四辺形STUV を含む面で

切ると、面ABFE と平行な面WXYZ で切ることができます。

     Pic_3838a

三角形BCF と三角形XCS が相似で、FC : SC = 3:1 なので、

XS の長さは、BF の長さの 1/3 で、4/3cm とわかります。

 

同様に、UZ=4/3cm、VX=TZ=2/3cm です。

下の図8のように長さがわかるので、

 Pic_3839a

平行四辺形STUV の面積は、

  2×4-( 4/3 × 8/3 ÷2 ×2 + 4/3 × 2/3 ÷2 ×2 )

= 8 -  40/9

= 32/9 = 3と5/9 (c㎡)

と求められます。

 

 

 (3)(ア)三角すいACFH の体積は、直方体から、

4つの三角すい、ABCF、ACDH、AEFH、CFGH を除けばよく、

三角すいABCF と三角すいCFGH が同じ形で、

三角すいACDH と三角すいAEFH が同じ形なので、

三角すいACFH の体積は、

  2×3×4-(2×3÷2×4÷3×2+3×4÷2×2÷3×2)

=24-16=立方cm

と求められます。

 

 (3)(イ)三角すいACFH が三角すいBDEG の面によって

切り取られる部分について考えます。(残った部分が共通部分)

 

下の図9のように、面DEG によって、三角すいH-IJK が

切り取られます。( I はDE とAH、JはFHとEG、KはCHとDG

のそれぞれの交点で、それぞれのまん中の点です)

     Pic_3840a

三角すいH-IJKは、三角すいH-ACF と相似で、

相似比が 1 : 2 なので、体積比は、

   1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8

です。(ア)より、三角すいH-ACF の体積は 8立方cmなので、

三角すい H-IJK の体積は、1立方cmです。

 

次に、下の図10のように面BDE によって、三角すいA-ILM が

切り取られます。( LはBE とAF、MはBD とAC のそれぞれの

交点で、それぞれのまん中の点です)

     Pic_3841a

三角すいA-ILMは、三角すいA-HDC と相似で、

図9と同様に相似比が 1 : 2 なので、体積比は、

   1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8

です。(ア)より、三角すいA-HDC の体積は 8立方cmなので、

三角すい A-ILM の体積は、1立方cmです。

 

次に、下の図11のように面BDG によって、三角すいC-KMN

が切り取られます。( NはBG とCF の交点で、それぞれの

まん中の点です)

     Pic_3842a

図9、図10と同様に、三角すいC-KMNの体積は 1立方cmです。

 

さらに、下の図12のように面BEG によって、三角すいF-JLN

が切り取られます。

     Pic_3843a

三角すいF-JLN も同様に、体積は1立方cmです。

 

切り取られる部分は、図9~図12の4つの三角すいで、

共通部分の体積は、8-1×4=4立方cm と求められます。

 

 

 (4)図6、図7より、下の図13のように、三角すいACFH と

面WXYZ の交わりが、平行四辺形STUV となります。

     Pic_3844a_2

次に、三角すいBDEG と面WXYZ の交わりは、

下の図14の平行四辺形S’T’U’V’になります。

     Pic_3845a

図13、図14を合わせた部分が(3)(イ)に含まれる部分で、

下の図15の青い部分となります。

 Pic_3846a

平行四辺形STUVは、S’V’、WY,T’U’により 4等分される

ので、求める面積は、平行四辺形STUV の面積の半分で、

(2)より、

   32/9 ÷ 2 = 16/9 = 1と7/9(c㎡)

となります。

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計算の正確さが求められる問題(灘中学 2014年)

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下の図のように、

長方形の板から大小2つの直角二等辺三角形の部分を

切り取った板片があります。

ただし、板の厚さは考えないものとします。

この板片を直線【ア】の周りに1回転させたとき、

板片が通過する部分の体積を求めなさい。

Pic_3851q

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こたえ

元の板の状態で直線【ア】の周りに1回転させたときの体積は

    8×8×3.14×4=256×3.14(

です。ここから、直角二等辺三角形を1回転させたものを除いて

いきます。

 

まず、下の図1の青い部分を回転させた体積を求めます。

 Pic_3852a

求め方は、

    三角形ABC を回転させた円すい 

 + 三角形ADE を回転させた円すい

 - 三角形BDF を回転させた円すい

となり、

    7×7×3.14×7÷3 + 1×1×3.14×1÷3 

 - 4×4×3.14×8÷3

=  (343+1-128)×3.14÷3

=  72×3.14(

です。

 

次に、下の図2の赤い部分を回転させた体積を求めます。

 Pic_3853a

求め方は、

    長方形PQRS を回転させた円柱

 + 三角形QTU を回転させた円すい

 - 三角形PST を回転させた円すい

となり、

    8×8×3.14×3 + 5×5×3.14×5÷3 

 - 8×8×3.14×8÷3

= (192 +125/3 - 512/3 ) × 3.14

= 63×3.14(

です。

 

よって、求める体積は、

    256×3.14-(72×3.14+63×3.14)

 = 121×3.14

 = 379.94(㎤)

となります。

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直角三角形が増える規則性は?(筑波大学附属駒場中学 2005年)

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直角三角形を次のような操作で、いくつかの直角三角形に分割していきます。

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ア:直角三角形の1つの辺を選び、そのまん中に印をつける。

イ:つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。

ウ:つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。

ただし、選んだ辺が2つの直角三角形の辺になっているときは

その2つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。

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上の操作を1回と数え、下の図の三角形ABCを分割してできた直角三角形に

この操作を何回もくり返していきます。

たとえば、1回目の操作を行うと、図1、図2のように、

4個、3個の直角三角形に分割されます。

また、図1に対して2回目の操作を行うと、

たとえば、図3、図4のように8個、10個の直角三角形に分割されます。

さらに3回目の操作を行うと、

たとえば図5、図6のように10個、13個の直角三角形に分割されます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2746q

(1)操作を3回行ったとき、直角三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつありました。

直角三角形ABCは何個の直角三角形に分割されますか。

考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)操作を10回行ったとき、直角三角形ABCの辺上にある印は 1個だけでした。

直角三角形ABCは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。

(3)操作を50回行ったとき、辺AC上にある印は10個でした。

直角三角形ABCは、最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割 されますか。

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(1)操作を3回行って、三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつあるので、

1個目の印を辺AB,BC,AC のどこにつけるかで、図1、図2のように形が変わります。

まず、図1のように、辺AC上に印をつけると、4個の直角三角形に分割されるので、

残りの辺AB,BC上に1つずつ印をつけるので、

下の図7のように、4個の候補ができます。

Pic_2751a

辺AB上の2個から1つ、辺BC上の2個から1つ、それぞれ選び操作を行うと、

図7では直角三角形の個数は、8個となります。

次に、最初に辺AB、またはBC上に印をつけるときは、下の図8のように、

7個に分割されます。

Pic_2752a

よって、考えられる個数は、8個、7個です。

 

(2)操作を10回行い、直角三角形ABCの辺上に印が1個だけなので、

最初の1回目以外は、直角三角形ABC の内部の辺に印をつけたことになります。

まず、多くの直角三角形に分割する方法について考えます。

1回目の操作では、図1、図2のように、4個、3個に分割できるので、

多くの直角三角形に分割するには、図1になるように、

斜辺(直角を含まない辺)に印をつけます。

図1のあと、2回目の操作では、図3または図4になり、図4の方が多くなります。

その後の3回目の操作では、下の図9、図10のようになります。

Pic_2753a

ここで、図9の場合が最も多くの直角三角形に分割でき、

図4や図9の青い部分を作るように分割していくことを続ければ、

最も多くの直角三角形に分割することができることがわかります。

この方法を用いれば、

 1回目の操作 1個 → 4個   (図1)

 2回目の操作 4個 → 10個  (図4)

 3回目の操作 10個 → 16個 (図9)

のように、2回目以降は、ずっと 6個ずつ直角三角形が増えていくので、

最も多くて、4+6×9=58個 に分割することができることがわかります。

 

では、最も少ない場合は、どのようにすればよいでしょうか。

図10の赤い三角形に注目すると、印E によって3個に分割されています。

これは、図3→図5のところでも登場しているパターンの増え方です。

2個しか増えません。

1回目の操作で斜辺に印をつけると、

図10の赤い直角三角形が現れるのは2回目の操作を行った図3の後で、

3回目の操作を行うと図5のようになり、以降は2個ずつ増えていくだけとなります。

よって、この後、図2について検証しますが、

2回目の操作で図3の8個より少なくなるかどうかを調べればよいことになります。

下の図のように、図2の場合は図11、図12のようになります。

ここで、図11、図12の黄色い直角三角形は、図10の赤い直角三角形と同じように、

次の操作では青い点を印として、図13のように、3個に分割されるだけとなります。

Pic_2754a_2

図11と図12では、図11が7個、図12は9個の直角三角形に分割されるので、

図11の方が少ないことがわかります。

また、図3の8個よりも少ないことがわかります。

よって、分割の仕方としては、図11→図13の方法を用いれば、

分割される直角三角形の個数は最も少なくなり、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増える

ということになり、 最も少ない数に分割すると、

7+2×8=23個 の直角三角形になることがわかります。

 

(3)まず、最も多い場合について考えます。

これは、(2)の図1→図4→図9 のように増やしていけばよいですね。

ここで問題が、辺AC上に10個の印があることです。

図1以外の残りの9個の印をAC上に作らなければなりません。

これは、図4→図6のようになります。

すなわち、

 1個 → 4個 になるのが10回、残りの40回は、6個ずつ増えていく

ということになります。

よって、最も多くなると、

1個 → 4個 → 7個 → ・・・ → 31個 → 6個ずつ増

1+3×10+6×40=271個 の直角三角形に分割されます。

 

次に、最も少ない場合です。

(2)のときは、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増えると考えましたが、

今回は辺AC上に10個の印があるので、

下の図14→図15のように、図11をはさまずに、2個増えるパターンにすることができます。

Pic_2755a

よって、最も少ない場合は、

 1個 → 3個 → 5個 → ・・・ → ずっと2個ずつ増える

という場合になります。

(辺AC上に印をつける場合も、図2→図8のように2個増えさせる)

このとき、直角三角形の個数は、1+2×50=101個 です。

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え の部分の面積は?(桜蔭中学 2013年)

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下の図は,長方形の土地を幅3mの道(斜鉛部分)で

5つの長方形の土地に分けたものです。

あ、い、う、え、お の部分の面積をそれぞれ あ、い、う、え、お とします。

あ:い:う:え:お=1:2:3:4:5となるとき、

え の部分の面積を求めなさい。

1_2

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こたえ

(あ)と(い)の2つの長方形の面積比は1:2なので、

高さが同じなので横の長さ比も1:2です。

(あ)の横の長さ=(300-3)÷(1+2)×1=99m

(う)と(え)と(お)の3つの長方形の面積比は3:4:5なので、

高さが同じなので横の長比も3:4:5です。

(え)の横の長さ=(300-3×2)÷(3+4+5)×4=98m

(あ)の長方形と(え)の長方形の面積比は1:4なので、

横の長さは99mと98mですから、

縦の長さの比は,(1÷99):(4÷98)=49:198

(え)の長方形の縦の長さは、

(250-3)÷(49+198)×198=198m

求める長方形の面積は、

198×98=19404㎡

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