トラック競争の原理（筑波大学附属駒場中学 2001年）

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下の図のように、半円部分と５０ｍの直線部分でできた走路があります。

この走路は、第１コースが１周２００ｍで、

第２コースが１周２０６ｍになっています。

Ａ君、Ｂ君、Ｃ君はこの走路を、図の矢印の向きに、

それぞれ一定の速さで走ります。

Ａ君が１００ｍ走る間にＢ君が８０ｍ走るとき、次の問に答えなさい。

（１）Ａ君が図のアの位置から第１コースを、

Ｂ君がアより前方の位置から第２コースを、同時に走り始めたとき、

Ｂ君がちょうど１００ｍ走ったところでＡ君に追いつかれました。

Ｂ君が走り始めた位置はアより何 ｍ 前方ですか。

（２）図のアの位置から、Ａ君は第１コースを、Ｂ君は第２コースを、

同時に走り始めて何周もまわると、Ａ君はＢ君を何度も追いぬきます。

２度目に追いぬくのは、Ａ君が何周目を走っているときですか。

（３）図のアの位置から、Ａ君は第１コースを、Ｃ君は第２コースを、

同時に走り始めて、Ａ君が１周する間にＣ君を追いぬくことがありました。

Ｃ君が１００ｍ走る間にＡ君が何 ｍ 走っているか考えるとき、

そのキョリとして考えられるもののうち、メートルの単位で考えて、

最も小さい整数を答えなさい。

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解法例

（１）Ａ君が１００ｍ走る間にＢ君が８０ｍ走るので、

Ａ君とＢ君の速さの比は、５ ： ４です。

Ｂ君が１００ｍ走る間にＡ君は１２５ｍ走るので、

Ｂ君が走り始めた位置はＡ君が走り始めた位置アより、

１２５－１００＝２５ｍ 前方、と答えては間違いです。

下の図１のように、Ｂ君が１００ｍ走る間に、

Ａ君は赤い部分（５０ｍ）、Ｂ君は青い部分（５３ｍ）を通ります。

Ｂ君が１００ｍ走る間に、Ａ君は１２５ｍ走りますが、

その場合、さらにコースのキョリの差である３ｍ

余計に前に出てしまいます。

このことから、Ｂ君がアの位置から２５ｍより、さらに３ｍ前方、

２８ｍ 前方の位置から走り始めたことがわかります。

（２）Ａ君が１周（２００ｍ）走る間にＢ君は１６０ｍ走るので、

Ｂ君の１周（２０６ｍ）まで４６ｍ足りません。

Ａ君が２周すると、Ｂ君は２周目まで残り４６×２＝９２ｍです。

Ａ君が５周すると、Ｂ君は５周目まで残り４６×５＝２３０ｍで、

ここで、１度Ｂ君はＡ君に抜かれています。（２０６ｍより多いので）

Ａ君が１０周すると、Ｂ君は１０周目まで４６０ｍで、２周分より多く、

Ａ君が９周すると、Ｂ君は９周目まで４１４ｍで、２周分よりまだ多く、

Ａ君が８周すると、Ｂ君は８周目まで３６８ｍで、

２周差になりません。

よって、９周目のとちゅうにＡ君はＢ君を抜くことがわかります。

（３）まず、Ａ君はＣ君より速いのでしょうか？おそいのでしょうか？

Ａ君がＣ君より速かったら、Ａ君の方がＣ君より走るキョリは短く、

常に前に行くこととなり、１周目にＣ君を抜くということはないです。

（抜くとしたら２周目以降）

１周目に抜くということは、Ａ君はＣ君よりおそい、けれど、

カーブの部分でＣ君を抜いてしまう、

という絶妙な速度ということになります。

つまり、Ａ君が８０ｍ走る間にＣ君は８３ｍ走れば、

下の図２のイでは、Ｃ君が先にいて、

ウではちょうど追いつくことになります。

このとき、Ｃ君が１００ｍ走る間に、Ａ君は

８０÷８３ ×１００＝９６．３・・・（ｍ）走るので、

追い抜ける最も小さい整数は、９７（ｍ）となります。

また、図２のオの地点で追いつくことを考えると、

Ａ君が１８０ｍ走る間に、Ｃ君は１８６ｍ走ることになり、

Ｃ君が１００ｍ走る間にＡ君は、

１８０÷１８６ ×１００＝９６．７・・・（ｍ）走ればよく、

Ａ君は９７（ｍ）で走れば追いぬくことができます。

以上より、こたえは ９７ です。

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