算数解法の極意！

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周の長さは何ｃｍ？（今年　２０１７年　修道中学）

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次の図形の周の長さは何ｃｍですか？

一部、長さのわからない辺もあります。

２つの辺でつくられた角は、６０°か３００°です。

また、図の数の単位はｃｍです。

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青線部分を赤線部分に平行移動すると、

大きな正三角形ができあがります。

Freeillust32913

左辺の食い込んだ部分の（１２＋６）×２を加えると、

（１８＋７２＋１２＋１８）×３＋（１２＋６）×２＝３９６ｃｍ

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動く歩道の速さと長さ（徳島文理中学　2012年）

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入り口から最初の部屋まで【動く歩道】で移動するアトラクションがあります。

じっと立ったままだと、この歩道に乗っている時間は１８秒です。

文理君が、この歩道を１秒間に２歩のペースで歩いたとき、

歩道に乗っている時間は１２秒でした。

歩道の動く速さは一定で、文理君の１歩の幅は常に５０ｃｍとします。

（１）文理君が普通の道をこのペースで歩くと、１２秒間で何ｍ歩きますか。

（２）この【動く歩道】は、６秒間で何ｍ動きますか。

（３）この【動く歩道】は、何ｍありますか。

（４）１秒間に３歩のペースで歩くと、

　　　【動く歩道】に乗っている時間は何秒になりますか。

Hodo

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解法例

（１）１秒に２歩のペースで１２秒歩くので、２４歩歩くことになり、

１歩５０ｃｍなので、２４×０．５ｍ＝１２ｍ とわかります。

（２）この【動く歩道】に、文理君と、立ったまま動かないＡ君が

同時に乗ったとすると、１２秒後、文理君はＡ君より１２ｍ先の

【動く歩道の最後】にいて、Ａ君は【動く歩道】に乗ったまま、

あと６秒乗り続けて【動く歩道の最後】に着きます。

つまり、【動く歩道】は６秒で、１２ｍ 動くことがわかります。

（３）６秒で１２ｍ動くので、１８秒かかる【動く歩道】は、

１２×３＝３６ｍ

あることがわかります。

（４）文理君が１秒に３歩で歩くと、その速さは、秒速１．５ｍです。

【動く歩道】は、秒速２ｍで動いているので、文理君が【動く歩道】に

乗ると、秒速３．５ｍで移動することになります。

よって、かかる時間（【動く歩道】に乗っている時間）は、

３６÷３．５＝７２/７（秒）＝１０と２/７（秒）

と求められます。

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どうやって調べていきますか？（早稲田中学　２０１３年）

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１から１５までの１５個の整数をすべてかけたとき、

下４ケタはいくつですか。

○△□？？？？

Ilm18_ab05016s

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１×２×３×・・・×１３×１４×１５

の中には、５の倍数が、５，１０，１５の３個あります。

１×２×３×・・・×１５

＝１×３×６×７×８×９×１１×１２×１３×１４×

（２×５）×（４×１５）×１０

＝１×３×６×７×８×９×１１×１２×１３×１４×（６×１０００）

より、計算結果の下３ケタは、０００になります。

よって、下４ケタを求めるには、

計算結果の０の１つ上の位を調べればよく、

１×３×６×７×８×９×１１×１２×１３×１４×６

の結果は順に、

　１×３＝３

　３×６＝１８　（８だけ選ぶ）

　８×７＝５６　（６だけ選ぶ）

　６×８＝４８　（８だけ選ぶ）

　８×９＝７２　（２だけ選ぶ）

　２×１１＝２２　（２だけ選ぶ）

　２×１２＝２４　（４だけ選ぶ）

　４×１３＝５２　（２だけ選ぶ）

　２×１４＝２８　（８だけ選ぶ）

　８×６＝４８　　（８だけ選ぶ）

となるので、計算結果の下４ケタは、８０００ とわかります。

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トラック競争の原理（筑波大学附属駒場中学　2001年）

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下の図のように、半円部分と５０ｍの直線部分でできた走路があります。

この走路は、第１コースが１周２００ｍで、

第２コースが１周２０６ｍになっています。

Ａ君、Ｂ君、Ｃ君はこの走路を、図の矢印の向きに、

それぞれ一定の速さで走ります。

Ａ君が１００ｍ走る間にＢ君が８０ｍ走るとき、次の問に答えなさい。

（１）Ａ君が図のアの位置から第１コースを、

Ｂ君がアより前方の位置から第２コースを、同時に走り始めたとき、

Ｂ君がちょうど１００ｍ走ったところでＡ君に追いつかれました。

Ｂ君が走り始めた位置はアより何ｍ前方ですか。

（２）図のアの位置から、Ａ君は第１コースを、Ｂ君は第２コースを、

同時に走り始めて何周もまわると、Ａ君はＢ君を何度も追いぬきます。

２度目に追いぬくのは、Ａ君が何周目を走っているときですか。

（３）図のアの位置から、Ａ君は第１コースを、Ｃ君は第２コースを、

同時に走り始めて、Ａ君が１周する間にＣ君を追いぬくことがありました。

Ｃ君が１００ｍ走る間にＡ君が何ｍ走っているか考えるとき、

そのキョリとして考えられるもののうち、メートルの単位で考えて、

最も小さい整数を答えなさい。

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解法例

（１）Ａ君が１００ｍ走る間にＢ君が８０ｍ走るので、

Ａ君とＢ君の速さの比は、５：４です。

Ｂ君が１００ｍ走る間にＡ君は１２５ｍ走るので、

Ｂ君が走り始めた位置はＡ君が走り始めた位置アより、

１２５－１００＝２５ｍ 前方、と答えては間違いです。

下の図１のように、Ｂ君が１００ｍ走る間に、

Ａ君は赤い部分（５０ｍ）、Ｂ君は青い部分（５３ｍ）を通ります。

Pic_2757a_2

Ｂ君が１００ｍ走る間に、Ａ君は１２５ｍ走りますが、

その場合、さらにコースのキョリの差である３ｍ

余計に前に出てしまいます。

このことから、Ｂ君がアの位置から２５ｍより、さらに３ｍ前方、

２８ｍ 前方の位置から走り始めたことがわかります。

（２）Ａ君が１周（２００ｍ）走る間にＢ君は１６０ｍ走るので、

Ｂ君の１周（２０６ｍ）まで４６ｍ足りません。

Ａ君が２周すると、Ｂ君は２周目まで残り４６×２＝９２ｍです。

Ａ君が５周すると、Ｂ君は５周目まで残り４６×５＝２３０ｍで、

ここで、１度Ｂ君はＡ君に抜かれています。（２０６ｍより多いので）

Ａ君が１０周すると、Ｂ君は１０周目まで４６０ｍで、２周分より多く、

Ａ君が９周すると、Ｂ君は９周目まで４１４ｍで、２周分よりまだ多く、

Ａ君が８周すると、Ｂ君は８周目まで３６８ｍで、

２周差になりません。

よって、９周目のとちゅうにＡ君はＢ君を抜くことがわかります。

（３）まず、Ａ君はＣ君より速いのでしょうか？おそいのでしょうか？

Ａ君がＣ君より速かったら、Ａ君の方がＣ君より走るキョリは短く、

常に前に行くこととなり、１周目にＣ君を抜くということはないです。

（抜くとしたら２周目以降）

１周目に抜くということは、Ａ君はＣ君よりおそい、けれど、

カーブの部分でＣ君を抜いてしまう、

という絶妙な速度ということになります。

つまり、Ａ君が８０ｍ走る間にＣ君は８３ｍ走れば、

下の図２のイでは、Ｃ君が先にいて、

ウではちょうど追いつくことになります。

Pic_2758a

このとき、Ｃ君が１００ｍ走る間に、Ａ君は

８０÷８３ ×１００＝９６．３・・・（ｍ）走るので、

追い抜ける最も小さい整数は、９７（ｍ）となります。

また、図２のオの地点で追いつくことを考えると、

Ａ君が１８０ｍ走る間に、Ｃ君は１８６ｍ走ることになり、

Ｃ君が１００ｍ走る間にＡ君は、

１８０÷１８６ ×１００＝９６．７・・・（ｍ）走ればよく、

Ａ君は９７（ｍ）で走れば追いぬくことができます。

以上より、こたえは９７です。

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食塩水の濃度をてんびん図で解く！（神戸海星女子学院中学２０１２年）

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【　ア　】％の食塩水Ａ１００ｇと６％の食塩水Ｂ５０ｇを

よくかき混ぜて食塩水Ｃを作りました。

次に、食塩水Ｃ１００ｇと食塩水Ｂ５０ｇを

よくかき混ぜて食塩水Ｄを作りました。

さらに食塩水Ｄ１００ｇと食塩水Ｂ５０ｇをよくかき混ぜると、

１０％の食塩水になりました。

【　ア　】に入る数を答えなさい。

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こたえ

まず、Ｄの濃度は下の図１のてんびん図より、

５０　：　１００　＝　１　：　２　なので、

　　 Pic_3874a

Ｄ＝１０＋（１０－６）÷２＝１２％　とわかります。

次に、下の図２のように、ＣとＢを混ぜるとＤになるので、

　 Pic_3875a

Ｃ＝１２＋（１２－６）÷２＝１５％　とわかります。

最後に、下の図３のように、ＡとＢを混ぜるとＣになるので、

　 Pic_3876a

Ａ＝１５＋（１５－６）÷２＝１９．５％　とわかります。

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（あ）＝？、（い）＝？（今年　２０１７年　栄東中学東大クラス選抜）

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同じ整数を３回かけた値を、連続する奇数の和で表すことにします。

例えば

２×２×２＝３＋５　

３×３×３＝７＋９＋１１　

４×４×４＝１３＋１５＋１７＋１９　

５×５×５＝２１＋２３＋２５＋２７＋２９　

のような式で表すことができます。

（１）

　（あ）＝？

（２）

連続する奇数の和の中に２０１７を含む式は

（い）×（い）×（い）　です。　（い）＝？

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（１）

２×２×２は２個の連続奇数で、

真ん中の数は２×２＝４、（３と５の間）

３×３×３は３個の連続奇数で、

真ん中の数は３×３＝９

４×４×４は４個の連続奇数で、

真ん中の数は４×４＝１６、（１５と１７の間）

５×５×５は５個の連続奇数で、

真ん中の数は５×５＝２５

・・・・・

９×９×９は９個の連続した奇数の和になり、

９×９＝８１が真ん中の奇数になるので、

（あ）＝７３＋７５＋７７＋７９＋８１＋８３＋８５＋８７＋８９

（２）

２０１７の近くの平方数を探すと、

４４×４４＝１９３６

４５×４５＝２０２５

４６×４６＝２１１６

４４×４４×４４＝・・・・・１９３５＋１９３７・・・・・　では

１９３７以上の奇数は２２個なので、

１９３７＋２２×２＝１９８１で２０１７に届きません。

４６×４６×４６＝・・・・・２１１５＋２１１７・・・・・　では

２１１５以下の奇数は２３個なので、届きません。

よって、（い）＝４５　で、

４５×４５×４５＝・・・・＋２０１７＋・・・・　となります。

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正方形の中の正三角形以外の部分の和は？（2011年城北中学）

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四角形ABCDは正方形で、

三角形DEFは1辺の長さが10cmの正三角形です。

このとき、色のついた部分の面積の和は何cm²ですか？

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こたえ

下図のように、１辺が１０ｃｍの正方形を２つ描いてみます。

２つの△緑は直角三角形なので合同です。

したがって、ＡＥ＝ＣＦ、ＢＥ＝ＢＦ

直角以外の小さい方の角度が１５゜、大きい方が７５゜です。

なので、下図のように移動できます。

さらに移動して・・・

黄部分も緑部分も下図のように等積移動すると・・・

１辺が１０ｃｍの正方形の半分になりました。

１０×１０÷２＝５０ｃ㎡

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グラフにしてください！（桜蔭中学　２０１３年）

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ふもと駅と山頂駅を往復する２台のケーブルカーＡ，Ｂがあります。

他に駅はありません。

２駅間の距離は６ｋｍで，２ｋｍごとにすれちがうためのポイントがあり，

２台はこの２ヵ所のポイントでしかすれちがうことができません。

同時にポイントに到着できなかった場合には，

どちらかのケーブルカーがどちらかのポイントで待つことになります。

待ち方は所要時間を短くするように決めることとします。

また，すれちがうための時間はかかりません。

ケーブルカーは，ふもと駅から山頂駅までの上りでは時速８ｋｍ，

山頂駅からふもと駅までの下りでは時速12ｋｍで進むものとします。

ケーブルカーは駅では５分ずつ停車します。

ＡとＢのケーブルカーは朝８時にＡはふもと駅を，

Ｂは山頂駅を出発します。

このとき，次の問いに答えなさい。

(1)8時から10時までのＡとＢの動くようすを表すグラフをかきなさい。

(2)2台が５回目にすれちがうのは何時何分か求めなさい。

1_2

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こたえ

（１）

（２）グラフを延長してみると、

５回目にすれちがうのは、１１時１０分です。

3_2

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